专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 1.掌握有理数乘法法则，准确判断符号，活用乘法交换律、结合律、分配律简便计算。 2.理解倒数概念，熟练把除法转化为乘法进行运算，牢记 0 不能作除数。 3.规范有理数乘除、乘除混合运算步骤，攻克符号易错坑。 4.会利用有理数乘除列式，解决生活实际问题。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01: 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数。积的绝对值等于各乘数的绝对值的积。 2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘，都得0。 3.有理数乘法法则也可以表示如下： 设 a,b 为正有理数，c 为任意有理数， 则 (+a)(+b) = a b,-a)(-b) = ab; (-a)(+b) = -(a b), (+a)(-b) = -(a b); c 0 = 0, 0 c = 0. 知识点 02 多个有理数相乘符号规律（必考） 1.步骤：先定符号，再把所有绝对值相乘 2.符号判定口诀：奇负偶正 负因数个数为奇数，积为负；负因数个数为偶数，积为正。 3.特殊结论：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 例：(-1)×2×0×(-5)=0 知识点 03 乘法三大运算律（简便计算核心） 简便计算常用技巧 ① 互为倒数先相乘凑 1；② 小数、整数凑整；③ 同分母分数结合；④ 分配律拆分简化。 知识点04:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点 05 有理数除法核心转化法则（本节重难点） 1.除法转化公式：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 字母表示：ab=a(b≠0) 运算符号变：除号变乘号； 除数变：除数换成它的倒数； 被除数保持不变。 2.两数相除符号法则：同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数，结果为 0。 3.硬性规定：0 不能作除数，无意义。 知识点 06 有理数乘除混合运算规则 1.统一转化：全部除法转化为乘法，整体写成连乘形式，便于约分； 2.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内部； 3.符号处理：统一转化后，用 “奇负偶正” 判断整体符号； 4.书写规范：乘除混合不出现除号，全部化为分数乘法约分计算。 知识点 07 乘除加减混合运算顺序 先乘除，后加减； 有括号先算括号内；多层括号：小括号→中括号→大括号； 可灵活使用乘法分配律简化含加减乘的综合算式。 知识点08:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算：_________． 【答案】 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解： 3．若，满足，，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C．当，时， D．当，时， 【答案】C 【分析】由得异号，结合可知正数的绝对值更大，据此判断各选项． 【详解】解：∵， ∴，异号， ∵， ∴正数的绝对值大于负数的绝对值． 选项A，B：未明确，的正负，无法确定与的大小关系，均错误． 当，时，为正数，为负数，故，选项C正确． 当，时，为正数，为负数，故，即，选项D错误． 4．，，且，则的值等于（   ） A．9 或 B．9 或 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法、乘法．先由绝对值得到，，再由得到，或，，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， ∴的值等于1或． 故选：C 题型二 多个有理数的乘法运算 5．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多个有理数相乘的乘法法则，掌握法则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数转化为假分数，再确定积的符号，运用乘法交换律和结合律进行简便运算即可求解． 【详解】解： 故答案为： 6．计算： _______； _______； _______； _______． 【答案】 30 【分析】本题考查多个有理数乘法运算，解答时除了正确运用乘法法则外，还需注意利用运算律进行简便运算．先确定积的符号，再计算绝对值即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ． 故答案为：，，30， 7．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 有理数乘法的实际应用 8．如图，小林有张标有数字的卡片，从中取出张，则卡片上两数乘积的最大值为________．              【答案】 【分析】根据有理数乘法的运算法则逐一分析各数，找到乘积的绝对值最大，且同号相乘的数，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得卡片上两数乘积的最大值为． 9．初二年级8个班举行相棋积分赛，每个班派两名棋手参加，每名棋手都要和其他班的所有棋手比赛一场，那么这次比赛的总场数是______． 【答案】112 【分析】本题考查了单循环赛问题．熟练掌握单循环赛制特点，是解题的关键． 单循环赛：每个班派两名棋手参加，按照1到16编号，不重复枚举计数：一共要举行（场）． 【详解】解：（场）． 故答案为：112． 10．某童装店用400元购进了8套儿童服装．如果每套儿童服装的售价以55元为标准，高于55元的记作正数，低于55元的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，（单位：元），则卖完这8套儿童服装后该童装店（     ） A．亏损了1元 B．亏损了15元 C．盈利了15元 D．盈利了39元 【答案】D 【分析】先根据正负数的意义计算出这8套儿童服装的销售收入，再减去成本即可得到答案． 【详解】解：根据题意，销售收入为（元）， （元）． 即卖完这8套儿童服装后该童装店盈利了39元． 题型四 倒数 11．（1）的倒数是______； （2）的倒数是______； （3）的倒数是______； （4）的倒数是______． 【答案】 / 【分析】乘积为的两个数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的倒数是； （2）∵，， ∴的倒数是； （3）∵，， ∴的倒数是； （4）∵，， ∴的倒数是． 12．小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值以及倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据绝对值等于相反数以及倒数等于本身即可得到答案． 【详解】解：负数和0的绝对值等于它的相反数，的倒数等于它本身， 故小安心里想的这个数是， 故答案为：． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则代数式的值是（   ） A．6 B．8 C．8或6 D．8或0 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，绝对值定义求出，及的值，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得，，， ； 故选：B． 题型五 有理数乘法运算律 14．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 【答案】C 【分析】根据有理数混合运算的运算定律进行判断即可． 【详解】解：将1.25与交换位置，运用了乘法交换律，将1.25与结合计算，运用了乘法结合律． 15．下列各式运用的运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，正确运用了乘法交换律，故选项A不符合题意； B、，正确运用了乘法结合律，故选项B不符合题意； C、，正确运用了乘法交换律和结合律，故选项C不符合题意； D、，错误运用了乘法分配律，故选项D符合题意． 16．计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． 题型六 有理数的除法运算 17．计算_________． 【答案】 【详解】解：． 18．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 19．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键； 根据有理数的除法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 20．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分子相同、分式相等推出分母相等，设分母的值为m，再用m分别表示出a，b，c，d，最后比较大小． 【详解】解：∵，且分子均为1， ∴， 设该公共值为，则 ，，，， ∵， ∴， ∴． 题型七 有理数除法的应用 21．一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用等知识点，读懂题意，根据“路程速度时间”正确列出算式是解题的关键． 先将换算成，然后根据“路程速度时间”列式计算即可． 【详解】解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 22．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 【答案】 2 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数加减法的应用、有理数除法的应用，正确列式是解题关键．先求出大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为，再利用减去即可得表示的两个数的和；假设所表示的数为3，则所表示的数为，然后分别求出表示的两个数的和、表示的两个数的和，据此解答即可得． 【详解】解：∵，， ∴大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为， ∴表示的两个数的和为． 若所表示的数为3，则所表示的数为， ∴表示的两个数的和为， 表示的两个数的和为， ∴此时所表示的数分别为， 故答案为：2；（答案不唯一）． 23．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走（     ）颗棋子． A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】解：已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 题型八 有理数乘除混合运算 24．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再按顺序从左到右计算即可． 【详解】解： ． 25．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据有理数运算的符号规律排除错误选项，再计算验证剩余选项． 【详解】解：选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，错误． 选项D：，正确． 26．计算接力游戏，每人接续前一步运算，下列计算过程出错的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】按照有理数乘除混合运算法则进行判断． 【详解】解： ， 故过程出错的是甲． 题型九 有理数四则混合运算 27．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么=（     ） A．22 B．24 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 28．我们规定“※”是一种新定义的运算符号．对于任意两个运算对象和，其运算法则为，例如：．按上述法则计算_______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解： ． 故答案为：． 29．对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 30．某商店以每套80元的价格购进8套服装，并以每套90元的价格卖出．如果以90元为标准，超过标准的部分记为正数，不足标准的部分记为负数，售价与标准的差额记录如下（单位：元）：，，，，，，0，．其他收支不计，当商店卖完这8套服装后，该商店的盈亏情况为（     ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．盈亏不明 【答案】A 【分析】先计算出实际总售价，再与成本比较即可． 【详解】以90元为标准，超过标准的售价记为正数，不足标准的售价记为负数， 可得． 所以商店卖完这8套服装后，实际总售价为（元）． 由题知，每套服装进价为80元， 所以8套服装的成本为（元）． 因为， 所以卖完这8套服装后，该商店盈利． 31．给一部百科全书编上页码需要6869个数字（说明：一个两位数包含两个数字，如55视为2个数字），那么这部书共有__________页． 【答案】 【分析】分段计算不同位数页码所用数字总数，判断总页数范围，再计算剩余数字对应的四位数页码数量，最终得到总页数． 【详解】解：分段计算不同位数页码的数字用量： 1.页为一位数页码，共页，所用数字总数为 个； 2.页为两位数页码，共页，所用数字总数为 个； 前两段累计数字总数为 个； 3.页为三位数页码，共页，所用数字总数为 个； 前三段累计数字总数为 个； ∵， ∴总页数包含四位数页码， 剩余可用于编排四位数页码的数字个数为 个， 每个四位数页码用个数字，可得四位数页码的页数为页， ∴这部书的总页数为页． 32．阅读一： 纽约 伦敦 东京 下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数．譬如：现在北京时间是2026年10月1号10点，东京时间是2026年10月1号11点 阅读二： 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 28.5 31 指示时间（北京时间） ？ 则箭尺读数为时，指示伦敦时间应为（    ） A． B． C．第二天凌晨 D． 【答案】A 【分析】根据表格数据得出箭尺读数与时间的变化规律，求出读数为时的北京时间，再根据时差计算伦敦时间 【详解】解：由表可知，时间每增加，箭尺读数增加， ， ， 箭尺读数为时，即北京时间为， 伦敦时间比北京时间晚， 伦敦时间为，即． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上有理数m、n的位置可得m、n的范围，即可判断答案． 【详解】解：由图可知，，， 所以，，， 所以A、B、D错误，C正确． 34．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子的结果是正数的有（）个 ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围，结合不等式性质及绝对值意义判断各代数式的符号． 【详解】解：由数轴可知，． ， ，是正数； ②，， ， ，不是正数； ③，， ，不是正数； ④， ， ，不是正数； ⑤， ，是正数； ⑥，， ，， ，不是正数． 综上所述，结果为正数的有①⑤，共2个． 35．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有________．（填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和性质，有理数的运算．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，，，， 观察①②③④四个结论，结论③错误； 故答案为：①②④． 题型十二 数轴上的翻折 36．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数定义，数轴折叠问题，由题可知的倒数为，则点表示，又、重合，故有折痕点，从而可得与重合的点表示的数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题可知：的倒数为， ∴点表示， ∵、重合， ∴折痕点：， ∴与重合的点表示的数为：， 故答案为：． 37．在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】需分类讨论点的位置，结合折叠后折点为重合两点的中点求解． 【详解】解：∵ 点表示的数是，， ∴ 分两种情况讨论． ①当点在点左侧时， 点表示的数为． 由折叠性质可知，点是线段的中点， ∵ 点表示的数为， ∴ 点表示的数为． ②当点在点右侧时， 点表示的数为． 同理，点是线段的中点， ∴ 点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 38．如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…则表示的数为________． 【答案】 【分析】首先根据题意得到点，，，，，分别表示的数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， … ∴，， ∴表示的数为． 解答题 39．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 40．计算下列各题： (1)； (2)； (3)(−+)÷()； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：(−+)÷() ； （4）解： ． 41．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【分析】仿照材料中的倒数法，先计算原式的倒数，利用乘法分配律简化运算，再取倒数得到原式结果． 【详解】解：先求原式的倒数， 得 ， ∴ 原式． 42．如图，小李在某运动APP中设定每天的步数目标为8000步，该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周 ，步数最少的是周 ，步数相差 步； (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量． 【答案】(1)三；五； (2)小李这5天平均每天的步数是8190步． (3)该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量卡． 【分析】（1）根据该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，观察目标线上方、下方的柱状图，即可得这5天中，步数最多的是周三，步数最少的是周五，用这5天中的最多步数减最少步数即可得相差步数． （2）先求出这5天的总步数，再除以天数5即可得小李这5天平均每天的步数． （3）根据每1000步消耗热量约为50卡求出一步消耗的热量，再乘以总步数，再乘以总天数即可得该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量． 【详解】（1）解：根据该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，观察目标线上方的柱状图可得：这5天中，步数最多的是周三；观察目标线下方的柱状图可得：步数最少的是周五；这5天中的最多步数与最少步数相差步数为： （步）， ∴这5天中，步数最多的是周三，步数最少的是周五，最多步数与最少步数相差步． （2）解：根据题意得： （步）， ∴小李这5天平均每天的步数是8190步． （3）解：根据题意得： （卡） ∴该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量是卡． 43．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 1.掌握有理数乘法法则，准确判断符号，活用乘法交换律、结合律、分配律简便计算。 2.理解倒数概念，熟练把除法转化为乘法进行运算，牢记 0 不能作除数。 3.规范有理数乘除、乘除混合运算步骤，攻克符号易错坑。 4.会利用有理数乘除列式，解决生活实际问题。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01: 有理数乘法法则 1.正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数。积的绝对值等于各乘数的绝对值的积。 2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘，都得0。 3.有理数乘法法则也可以表示如下： 设 a,b 为正有理数，c 为任意有理数， 则 (+a)(+b) = a b,-a)(-b) = ab; (-a)(+b) = -(a b), (+a)(-b) = -(a b); c 0 = 0, 0 c = 0. 知识点 02 多个有理数相乘符号规律（必考） 1.步骤：先定符号，再把所有绝对值相乘 2.符号判定口诀：奇负偶正 负因数个数为奇数，积为负；负因数个数为偶数，积为正。 3.特殊结论：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 例：(-1)×2×0×(-5)=0 知识点 03 乘法三大运算律（简便计算核心） 简便计算常用技巧 ① 互为倒数先相乘凑 1；② 小数、整数凑整；③ 同分母分数结合；④ 分配律拆分简化。 知识点04:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点 05 有理数除法核心转化法则（本节重难点） 1.除法转化公式：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 字母表示：ab=a(b≠0) 运算符号变：除号变乘号； 除数变：除数换成它的倒数； 被除数保持不变。 2.两数相除符号法则：同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数，结果为 0。 3.硬性规定：0 不能作除数，无意义。 知识点 06 有理数乘除混合运算规则 1.统一转化：全部除法转化为乘法，整体写成连乘形式，便于约分； 2.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内部； 3.符号处理：统一转化后，用 “奇负偶正” 判断整体符号； 4.书写规范：乘除混合不出现除号，全部化为分数乘法约分计算。 知识点 07 乘除加减混合运算顺序 先乘除，后加减； 有括号先算括号内；多层括号：小括号→中括号→大括号； 可灵活使用乘法分配律简化含加减乘的综合算式。 知识点08:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算：_________． 2．计算：________． 3．若，满足，，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C．当，时， D．当，时， 4．，，且，则的值等于（   ） A．9 或 B．9 或 C．1或 D．或 题型二 多个有理数的乘法运算 5．计算：________． 6．计算： _______； _______； _______； _______． 7．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 题型三 有理数乘法的实际应用 8．如图，小林有张标有数字的卡片，从中取出张，则卡片上两数乘积的最大值为________．              9．初二年级8个班举行相棋积分赛，每个班派两名棋手参加，每名棋手都要和其他班的所有棋手比赛一场，那么这次比赛的总场数是______． 10．某童装店用400元购进了8套儿童服装．如果每套儿童服装的售价以55元为标准，高于55元的记作正数，低于55元的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，（单位：元），则卖完这8套儿童服装后该童装店（     ） A．亏损了1元 B．亏损了15元 C．盈利了15元 D．盈利了39元 题型四 倒数 11．（1）的倒数是______； （2）的倒数是______； （3）的倒数是______； （4）的倒数是______． 12．小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是________． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则代数式的值是（   ） A．6 B．8 C．8或6 D．8或0 题型五 有理数乘法运算律 14．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 15．下列各式运用的运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 16．计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 题型六 有理数的除法运算 17．计算_________． 18．计算：_____． 19．计算：______． 20．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型七 有理数除法的应用 21．一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 22．如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 23．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走（     ）颗棋子． A．1 B． C．3 D．4 题型八 有理数乘除混合运算 24．计算：_____． 25．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 26．计算接力游戏，每人接续前一步运算，下列计算过程出错的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型九 有理数四则混合运算 27．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么=（     ） A．22 B．24 C．6 D． 28．我们规定“※”是一种新定义的运算符号．对于任意两个运算对象和，其运算法则为，例如：．按上述法则计算_______． 29．对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 30．某商店以每套80元的价格购进8套服装，并以每套90元的价格卖出．如果以90元为标准，超过标准的部分记为正数，不足标准的部分记为负数，售价与标准的差额记录如下（单位：元）：，，，，，，0，．其他收支不计，当商店卖完这8套服装后，该商店的盈亏情况为（     ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．盈亏不明 31．给一部百科全书编上页码需要6869个数字（说明：一个两位数包含两个数字，如55视为2个数字），那么这部书共有__________页． 32．阅读一： 纽约 伦敦 东京 下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数．譬如：现在北京时间是2026年10月1号10点，东京时间是2026年10月1号11点 阅读二： 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 28.5 31 指示时间（北京时间） ？ 则箭尺读数为时，指示伦敦时间应为（    ） A． B． C．第二天凌晨 D． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 34．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子的结果是正数的有（）个 ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有________．（填写序号） ①；②；③；④． 题型十二 数轴上的翻折 36．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． 37．在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 38．如图，过数轴上表示1的点作数轴的垂线，过数轴上表示2的点作数轴的垂线，过数轴上表示3的点作数轴的垂线，…．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，…则表示的数为________． 解答题 39．计算： (1)； (2)； (3)． 40．计算下列各题： (1)； (2)； (3)(−+)÷()； (4) 41．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 42．如图，小李在某运动APP中设定每天的步数目标为8000步，该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周 ，步数最少的是周 ，步数相差 步； (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量． 43．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $