精品解析：贵州贵阳市第三实验中学2026-2027学年高二上学期第一次年级作业数学试卷

贵阳市第三实验中学2026—2027年度第一学期第一次年级作 高二年级 数学试卷 2026.10 请考生注意：1．作业时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题各有四个选项，仅有一个选项正确．请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第一象限 D. 复数是方程的一个根 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一条直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 平面外的一条直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 11. 已知函数的定义域，的图象在定义域内连续且均落在图中阴影区域内（包括边界，上下左右无限延伸），则（ ） A. B. 不可能为奇函数 C. 可能为奇函数 D. 若为偶函数，则集合中所有元素之和为 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 13. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 14. 已知函数，正数满足，则的最小值为________． 四．解答题（本大题共5小题，共77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 某市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某校高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束），已知每一局比赛中甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 18. 已知函数，的图象过点 （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，对任意恒成立，求的取值范围． 19. 已知正三棱柱，如图，各棱长均为，为上的动点． （1）当为中点时，求与的夹角余弦值； （2）棱是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由； （3）记过点与侧面对角线的截面为，与底面和三个侧面，，的夹角依次为，，，，若，求截面三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第三实验中学2026—2027年度第一学期第一次年级作 高二年级 数学试卷 2026.10 请考生注意：1．作业时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题各有四个选项，仅有一个选项正确．请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 因为集合，所以. 2. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为斜截式可得直线斜率，据此可得直线倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，，则直线斜率为， 结合倾斜角范围为，则. 3. 已知函数，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，， 则， 所以是奇函数. 已知， 则. 两式相加可得：， 令，则. 又因为，所以，解得. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 5. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果． 【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5， 所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线， 又线段AC中点坐标为（2，2）， 则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2， 即x﹣2y+2＝0． 故选：D． 【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题． 6. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】等价于，解得， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 8. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判定函数为偶函数，转化为只研究，分、两段，利用单调性与零点存在定理判断正半轴零点个数，再由对称性得到零点总数． 【详解】，的定义域为， ， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 分析，再对称到即可， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，， 所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点， 所以在上有个零点， 所以在上有个零点． 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第一象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，复平面内复数对应点的坐标为，位于第二象限，故C错误； 对于选项D，将代入方程，得，满足方程，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一条直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 平面外的一条直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项：根据平面向量共线定理求解；B选项：利用平面向量平行的关系求解；C选项：根据共面向量定理，列出表达式求解；D选项：利用向量的数量积关系进行判断. 【详解】选项A：由，可知直线的方向向量与平面法向量共线，因此，A正确. 选项B：计算点积，即，又因为是平面外的直线，因此，B正确. 选项C：三向量共面，则存在实数，满足，列方程组： 解得， 代入第三个方程得，即，C正确. 选项D：当时，，但此时夹角为平角，不是钝角，D错误. 11. 已知函数的定义域，的图象在定义域内连续且均落在图中阴影区域内（包括边界，上下左右无限延伸），则（ ） A. B. 不可能为奇函数 C. 可能为奇函数 D. 若为偶函数，则集合中所有元素之和为 【答案】BD 【解析】 【分析】分析不同阴影部分的含义，通过反证，特殊值代入法以及函数平移的性质即可得出答案. 【详解】对于A选项，由题可得，黑色部分为具有边界的阴影部分，画斜线部分仅有部分边界. 因为的图象在定义域内连续且均落在图中阴影区域内， 所以由图象得，，， 但无法确定的值，即不一定为零，故A错误； 对于B选项，由图可得当时，， 假设为奇函数，则当时，， 由的连续性可得，，与矛盾，故不可能为奇函数，故B正确； 对于C选项，设， 因为在处没意义，所以在处没意义， 若为奇函数，则为奇函数，则在处没意义， 因为在定义域内连续，所以在定义域内也连续，则在处有意义，矛盾， 故不可能为奇函数，故C错误； 对于D选项，因为为偶函数，所以，，， 对于的区域有，对于的区域有， 则当时，有，且且，则， 所以集合所有元素之和为，故D正确. 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 12. 若幂函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数的解析式为，根据函数过点，求出，进而可求出结果. 【详解】由题意，设，因为幂函数的图像经过点， 所以，解得，因此，所以 故答案为：. 13. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 14. 已知函数，正数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断是单调递增的奇函数，由，推出，再利用“”的妙用，结合基本不等式求的最小值． 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 所以在上是单调递增函数， 由，得， 结合的单调性，可得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 四．解答题（本大题共5小题，共77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 因为，， 则、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，且， 所以， 设直线与平面所成角为，则 故直线与平面所成角的余弦值为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合角的正切值求解即可. （2）先由周长求得的值，再结合余弦定理求出，最后代入三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为，的周长为，所以. 又因为，即， 所以. 所以. 即的面积为. 17. 某市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某校高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束），已知每一局比赛中甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 【答案】（1），高一年级初赛成绩的平均数的估计值为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为求，由平均数的公式求平均数. （2）按照分层抽样从和两组中分别抽取的人数分别为人和人，再结合古典概型求有名学生的成绩在内的概率. （3）利用事件的独立性，结合分步分类思想求解. 【小问1详解】 由题知，解得， 设高一年级初赛成绩的平均数的估计值为， 则 . 【小问2详解】 由（1）知，初赛成绩在内的频率为，初赛成绩在内的频率为， 从初赛成绩在内抽取的人数为，记这两人分别为， 从初赛成绩在内抽取的人数为，记这三人分别为， 则从已抽取的名学生中随机抽取名的所有情况为， ，共种， 有名学生的成绩在内的可能为， 共种， 所以有名学生的成绩在内的概率. 【小问3详解】 设分别为第一，二，三局比赛中甲胜乙的概率，则， 设甲获得冠军的概率为，由题知， 故. 18. 已知函数，的图象过点 （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数即可求出. （2）由得出，，，将其代入即可. （3）先求出函数的最大值为，将不等式转化为，构造函数，判断单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 由题知，，， ，，（），，取， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由，，， 由，，， . 【小问3详解】 由（1）知，，令，，， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， ，， 由，， 当时不等式恒成立， ，令，函数与函数在上单调递增， 函数在上单调递增，且， 由，，， 当，对任意恒成立时，的取值范围为. 19. 已知正三棱柱，如图，各棱长均为，为上的动点． （1）当为中点时，求与的夹角余弦值； （2）棱是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由； （3）记过点与侧面对角线的截面为，与底面和三个侧面，，的夹角依次为，，，，若，求截面三角形的面积． 【答案】（1） （2）为上靠近的三等分点. 假设存在点D满足题意，由，则，，，， 设面的法向量为，，， ，即，令，得，，从而， 设面的法向量为，， ，即，令，解得，， 从而， 当时，，解得， 所以D为的中点时，二面角为直二面角. 时，二面角的平面角为钝角； 时，二面角的平面角为锐角， 设二面角的平面角为， 则，解得，， 因为二面角的平面角为锐角，故舍去，即， 综上得，存在满足题意的点D，此时，即为上靠近的三等分点.. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可计算线线夹角； （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，分别求出平面与平面的法向量，即可根据余弦值列式计算； （3）根据射影面积定理列出等式，即可求解. 【小问1详解】 依题意作正三棱柱如图，设AC的中点为O，建立空间直角坐标系如图， 为中点，得，，，， ，， 设与的夹角为，. 所以与的夹角余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在点D满足题意，且， 则，，，， ，， ，， 则点D到的距离为， ，所以， 又在底面和三个侧面，，上的射影面积分别为 ，,，， 所以由面积射影定理得，， ，， 由得， 解得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $