贵州黔西南州金成实验学校2026-2027学年上学期第一次质量检测高二数学

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 密封线内不准答题 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 金 ………………○……………… 成 ………………○……………… 学 ………………○……………… 校 ………………○……………… … 学号 ： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ___________________ _ 座位号 ： __ ) 2026—2027学年度第一学期第一次质量检测试题 高二年级 数学科目 （命题人： 审题人： ） 答卷注意事项： 1、 学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、 填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。 3、 答题时字迹要清楚、工整 4、 本卷共19小题，总分为150分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 3．直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 5．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（    ） A．6 B．5 C． D． 7．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 8．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D．若直线：与直线：互相平行，则实数或3 10．下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．不存在点P，使得 B．的最小值为 C．当时， D．当时，上存在点M，使得，则 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间向量，若，则_____． 13．若直线与平行，则______． 14．经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)．已知直线与直线互相垂直且交于点. (1)求的值及点的坐标； (2)若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 16．(15分)已知点，，． (1)求直线的斜截式方程； (2)若，，三点共线，求的值； (3)若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 17．(15分)如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 18．(17分)如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点． (1)求； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．(17分)如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值。 第7页（共8页） 第8页（共8页） 第1页（共8页） 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A C D A A AC BC 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 整理有： 故选：A 2．C 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 3．C 【详解】将直线化为，其与， 则这两条平行直线间的距离为：. 4．A 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，，所以， 点在平面内，点在平面外， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A 5．C 【分析】根据平面向量基本定理的推论计算即可． 【详解】因为A，B，C，P四点共面，则根据平面向量基本定理可知， ，则， 整理得，其中，系数和为１， 故由，可知，解得 6．D 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 7．A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 8．A 【分析】充分必要条件的判定，第一步正向判断充分性，第二步逆向判断必要性. 【详解】当时，直线：，直线：，斜率相等都为,所以两直线平行，即充分性成立；当直线：与直线：平行时，直线的斜率在时不存在，而此时直线的斜率存在，即不满足，由两直线平行斜率相等得或，所以不必要. 故选：A. 9．AC 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 10．BC 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 11．AD 【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示线段上动点的坐标，将立体几何问题转化为向量坐标运算；对垂直关系选项A、C，通过计算对应向量的点积是否为 0，判断线线垂直是否成立；对选项B向量数量积最值问题，将点积表示为参数的二次函数，利用二次函数对称轴求最小值；对选项D，设出点坐标，代入向量夹角余弦公式列方程，求解并验证选项结论. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1， 则，，，，， 设（），则的坐标为. 选项 A ， ， ， 故，令， 解得，即存在点使得，因此A错误； 选项 B ，， ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值为，因此B正确； 选项 C，当时，， ， 即，故，因此 C正确； 选项 D，设在上，（）， 则，，， 所以， 令，平方化简得，即，因此D错误. 12． 【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 则，解得， 故答案为：. 13．或 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 14． 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 15．(1)，. (2)或. 【分析】（1）先利用直线可求出，再列出两直线相交方程组，即可求解； （2）根据题意可得直线的斜率显然存在且不为，可设，从而可求出相应的截距，即可求解. 【详解】（1）由题得，所以，解得， 所以，即. 由方程组解得   所以点的坐标为. （2）直线的斜率显然存在且不为，设， 令，得，令，得，所以. 化简得，解得或， 所以直线的方程为：或. 16．(1) (2)5 (3). 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【详解】（1）因为， 所以直线的方程为，即. （2）若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. （3）由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17．(1) (2)0 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【详解】（1）因为点E为的中点， 所以． （2）因为， 所以 . 18．(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出向量坐标，进而求解即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，, 所以， 因此； （2）因为在直三棱柱中，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的法向量为， 所以 平面与平面夹角的余弦值为. 19． （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由，，平面知，平面． （2）. 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $