第2章 有理数专项练习（60题）2026-2027学年苏科版数学七年级上册

有理数专项练习 第一部分　有理数的概念与分类 （一）正数、负数与有理数的辨析 1． 下列说法：① 既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④ 是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 2． 下列语句：①不带“”号的数都是正数；②不存在既不是正数又不是负数的数；③℃表示没有温度；④非负有理数就是正有理数；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥ 既是负数，也是分数，还是有理数；⑦如果 是正数，那么 一定是负数．其中正确的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 3． 下列说法：① 一定是非负数；② 一定是负数；③相反数等于它本身的数是 ；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（　　） A．①②　　B．②③　　C．①③　　D．③④ 4． 下列说法正确的个数是（　　） ①如果两个数的和为 ，则这两个数互为倒数；②绝对值是它本身的有理数是正数；③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；④平方等于它本身的数是 和 ． A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 5． 下列说法：①若 ，则 ；②若 、 互为倒数，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 、 互为相反数．其中正确的有______（请填序号）． （二）有理数的分类 6． 把下列各数分别填入相应的集合里： ，，，，，，． 正有理数集合：______； 整数集合：______； 分数集合：______； 非正整数集合：______． 7． 把下列各数填入它所属的集合内： ，，，，，，． （1）整数集合：______； （2）分数集合：______； （3）非正整数集合：______； （4）负有理数集合：______． 第二部分　数轴上的点与有理数 （一）数轴上的点与大小比较 8． 有理数 ， 在一条隐藏原点的数轴上的对应点 ， 的位置如图所示，且 ，下列推断正确的是（　　） A．原点一定在点 左侧 B．原点一定在点 右侧 C．原点一定在 中点左侧 D．原点一定在 中点右侧 9． 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是 cm），刻度尺上的“cm”和“cm”分别对应数轴上的 和 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10． 有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 11． 已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12． 已知 ，，且 ，则 、、、 的大小关系是（　　） A．　　B． C．　　D． 13． 如图，数轴上 、、 三点所表示的数分别为 、、，且 ．如果有 、、，那么该数轴原点 的位置应该在（　　） A．点 的左边 B．点 与 之间 C．点 与 之间 D．点 的右边 （二）数轴上的作图与读数 14． 在数轴上画出表示 ，，， 的点，比较它们的大小，并用“”号连接． 15． 已知数轴上的点 、、、 分别表示 、、、． （1）请在数轴上标出 、、、 四个点； （2）、 两点之间的距离是______； （3）如果把数轴的原点取在点 处，其余条件都不变，那么点 、、 分别表示的数是______． 16． 如图，数轴上点 、 两点所表示的数分别为 、，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 第三部分　数轴上的距离、折叠与还原 （一）数轴的折叠与对称 17． 若将数轴折叠，使得表示 的点与表示 的点重合，则原点与表示______的点重合． 18． 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示 的点与表示 的点重合．若数轴上 、 两点之间的距离为 ，且 、 两点经以上方法折叠后重合，则 点表示的数是______． 19． 一条数轴上有点 、、，其中点 、 表示的数分别是 和 ，现以点 为折点，将数轴向右对折，若点 对应的点 与点 之间的距离为 ，则 点表示的数是______． （二）距离与整点 20． 数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是 cm，若在这个数轴上画一条长 cm 的线段 ，则线段 盖住的整点的个数是______． 21． 数轴上与原点距离不大于 的非负整数点有______． 22． 绝对值不小于 且小于 的整数有______个． （三）滚动、环绕与动点 23． 如图，正六边形 （每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别为 和 ，现将正六边形 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 次后，点 所对应的数为 ，连续翻转后数轴上 这个数所对应的点是（　　） A． 点　　B． 点　　C． 点　　D． 点 24． 如图，圆的周长为 个单位长度．在该圆的 等分点处分别标上数字 ，，，，先让圆周上表示数字 的点与数轴上表示数 的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数 的点与圆周上表示数字______的点重合． 25． 如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向右运动，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向右运动，其中点 、点 同时出发，经过______秒，点 、点 分别到原点 的距离相等． 第四部分　绝对值与相反数 （一）绝对值的求值 26． 已知 ，，且 ，则 的值为______． 27． 已知 ，，，则 等于（　　） A．　　B． 或 　　C． 或 　　D． 或 28． 若 ， 且 ，则 ______． 29． 已知 ，，，求 的值． （二）非负性与整体代入 30． 若 ，则 ______． 31． 若 ，则 的值是______． 32． 若 、 互为相反数，、 互为倒数，，则 ______． 33． 已知 和 互为相反数， 和 互为倒数， 的绝对值等于 ，求式子 的值． （三）与数轴结合的化简 34． 已知 ，下列推理正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 35． 有理数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简：______． 36． 有理数 ，， 在数轴上的位置如图所示． （1）用“”“”或“”填空：______，______，______． （2）化简：． 第五部分　有理数的运算 （一）混合运算 37． 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 38． 计算： （1）； （2）． 39． 计算： （1）； （2）． （二）巧算与解法诊断 40． 阅读下面文字： 对于 可以如下计算： 原式 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？请仿照上面的方法，计算： ． 41． 课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 　解：原式 　　　　　． 小丽的解法： 　解：原式的倒数为 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　， 　所以，原式 ． （1）小明和小丽同学的解法中，正确的是______的解法； （2）计算：． 42． 阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：． 　解：原式 （第一步） 　　　　　（第二步） 　　　　　（第三步） 　　　　　 （1）计算过程中，第一步变形的依据是______，从第______步开始出现错误； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______（填数学定律）； （3）请将正确解答过程补充完整． （三）阅读探究 43． 综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于 ）的商的运算叫做除方，比如 ， 等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“ 的圈 次方”， 写作 ，读作“ 的圈 次方”，一般地写作 ，读作“ 的圈 次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 　　除方 乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ______；______． （3）算一算：． 44． 阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数 ， 所以，原式 ． （1）上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； （2）请你解释解法一错误的原因； （3）请你选择合适的解法计算：． （四）综合计算与程序框图 45． 计算： （1）； （2）． 46． 计算： （1）； （2）． 47． 如图是一数值转换机，要使输出 的值为 ，则输入 的最小正整数为______． 第六部分　新定义运算 （一）给出定义的新运算 48． 我们定义一种新运算：．例如：． （1）求 的值； （2）求 的值． 49． 新定义运算：对于任意有理数 ，，都有 （等式右边是通常的乘方、减法运算），例如 ． （1）______；______； （2）请你猜想 和 的关系，并说明理由． 50． 我们学过 、、、 这四种运算，现在规定“”是一种新的运算， 表示：，如：，那么 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 51． 设 ， 都表示有理数，规定一种新运算“”：当 时，；当 时，．例如：；． （1）______； （2）求 ． 52． 对于有理数 ，，定义运算“”，． （1）计算 的值； （2）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，“ 运算”是否满足交换律呢？ ①不妨先举一个例子，填空：______（填“”“”或“”）． ②根据①的计算结果，你认为“ 运算”是否满足交换律？并说明理由． 53． 对于有理数 ，，我们定义两种新的运算： ；． （1）计算：①；②；③． （2）这两种运算是否都满足交换律？请说明理由． （3）， 满足什么条件时， 与 相等？直接写出答案． （二）图形与卡片 54． 规定图形 中，第一个图形表示运算 （、、 依次为三个顶点上的数），第二个图形表示运算 （、、、 依次为四个角上的数）．则 55． 小明有 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出 张卡片，使这 张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最大值为______． （2）从中取出 张卡片，使这 张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最小值为______． （3）从中取出 张卡片，使这 张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，商的最小值为______． 第七部分　有理数的实际应用 （一）行程与耗油 56． 国庆小长假后，高速公路养护小组乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）若他们所乘车辆的耗油量为 升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 57． 某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． （1）收工时巡逻车距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程中，离开甲地最远是______千米； （3）若每千米耗油 升，该车这一次巡逻中共耗油多少升？ 58． 出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车里程（单位：千米）如下：，，，，，． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ （2）若汽车耗油量为 升/千米，这天上午小李共耗油______升． （3）若出租车起步价为 元，起步里程为 千米（不超过 千米均按起步价收费），超过 千米的部分每千米 元．则小李今天上午共得车款______元． （二）生产与生活 59． 某机械厂计划平均每天生产 个零件，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超过计划量记为正）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据，求该厂星期二生产零件多少个？ （2）根据记录的数据，求产量最多的一天比产量最少的一天多生产零件多少个？ （3）根据记录的数据，求该厂本周实际共生产零件多少个？ 60． 小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续 天记录了每天行驶的路程（如表），以 km 为标准，多于 km 的记为“”，不足 km 的记为“”，刚好 km 的记为“”． 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） （1）这 天里路程最多的一天比最少的一天多走______km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶 km 耗电量为 度，每度电为 元，请估计小明家这 天的行驶费用是多少钱？ 答案与解析 1． 【答案】B．【解析】①正确， 既不是正数也不是负数；②错误，整数包括正整数、 和负整数；③错误，有理数是整数和分数的统称；④错误，没有最小的整数；⑤正确，负分数是有理数．故正确的有①⑤，共 个． 2． 【答案】B．【解析】①错误， 不带“”号，但 既不是正数也不是负数；②错误， 既不是正数也不是负数；③错误，℃ 是一个确定的温度，不是“没有温度”；④错误，非负有理数包括 和正有理数；⑤错误，整数包括正整数、 和负整数；⑥正确， 是负数，也是有限小数即分数，因而也是有理数；⑦正确，正数的相反数是负数．故正确的有⑥⑦，共 个． 3． 【答案】D．【解析】①错误，当 时 是负数；②错误，当 时 ， 不是负数；③正确， 的相反数是 ；④正确，正数和 的绝对值都等于它本身，只有负数的绝对值大于它本身．故选 D． 4． 【答案】B．【解析】①错误，和为 的两个数互为相反数；②错误，绝对值是它本身的有理数是正数和 ；③正确，积为负数说明各因数都不为 ，此时负因数个数必为奇数；④正确，，．故正确的有③④，共 个． 5． 【答案】②④．【解析】①错误，，但 ；②正确，互为倒数的两个数的积为 ；③错误，，但 不是正数；④正确，由 得 ，即 、 互为相反数． 6． 【答案】正有理数集合：；整数集合：；分数集合：；非正整数集合：． 【解析】先化简：，．其中 是负整数， 是整数， 是正整数；、、、 都是分数．非正整数包括负整数和 ． 7． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 是正整数； 是负分数； 是循环小数，可化为分数； 是正分数； 是无理数，不属于有理数的任何集合，四个集合中都不填它． 8． 【答案】C．【解析】 等价于 ，而 正是线段 中点所表示的数，说明中点在原点右侧，所以原点一定在 中点的左侧．故选 C． 9． 【答案】D．【解析】刻度尺上“cm”到“cm”相距 cm，对应数轴上 个单位长度，所以 ． 10． 【答案】C．【解析】由图知 ，且 到原点的距离大于 到原点的距离，即 ．于是 ，，，．故只有 C 正确． 11． 【答案】C．【解析】由图知 且 ，所以 ，，；而 ，所以“”不成立．故选 C． 12． 【答案】D．【解析】因为 ，，，所以 且 ； 且 ，即 ．所以 ．故选 D． 13． 【答案】C．【解析】由 知 是 的中点，所以 ．由 得 ，即 ；由 得 ，即 ；由 得 ．所以 ，原点在 与 之间．故选 C． 14． 【答案】图略，． 【解析】，，，．在数轴上把这四个点表示出来，它们从左到右依次对应 、、、，所以 ． 15． 【答案】（1）图略；（2）；（3）点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ． 【解析】（2）．（3）原点移到点 处后，各点表示的数等于原来的数减去点 原来的数 ：，，． 16． 【答案】C．【解析】由图知 且 ，所以 ；；；．故结果一定是正数的有②③④，共 个．故选 C． 17． 【答案】．【解析】折叠后表示 的点与表示 的点重合，折点为 ．设原点与表示 的点重合，则 ，解得 ． 18． 【答案】 或 ．【解析】折点为 ，、 两点关于折点对称，且 ，所以 到折点的距离为 ， 表示的数为 或 ． 19． 【答案】 或 ．【解析】设点 表示的数为 ，则点 关于点 的对称点 表示的数为 ．由 得 ，即 ，所以 或 ，解得 或 ． 20． 【答案】 或 ．【解析】线段长为 个单位．若线段的两个端点都落在整点上，则它恰好盖住 个整点；若两个端点都不落在整点上，则盖住 个整点．故填 或 ． 21． 【答案】 个．【解析】与原点距离不大于 的整数点表示的数为 ，其中非负的有 ，共 个． 22． 【答案】．【解析】设这个整数为 ，则 ，所以 ，即 ，共 个． 23． 【答案】B．【解析】因为点 、 对应的数分别为 和 ，所以 ，即正六边形的边长为 ．由“翻转 次后点 对应的数为 ”知，每翻转一次次接触点向右移动 个单位，接触点依次为 ，每 次为一个周期． 数 与 相距 个单位，，所以 对应的点是接触点序列中的第 个，即点 ．故选 B． 24． 【答案】．【解析】圆的周长为 ，即数轴上每 个单位长度绕圆一周． 与 相距 个单位，而 ，恰好是整数周，所以数轴上表示 的点与表示 的点对应圆周上同一个点，即表示数字 的点． 25． 【答案】 或 ．【解析】设经过 秒，则点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．由题意得 ． 当 时，；当 时，．两个解都使点 向右运动，符合题意．故经过 秒或 秒． 26． 【答案】 或 ．【解析】由 得 ．又 ，，所以 ，． 当 ， 时 ，不合题意；当 ， 时 ，不合题意；当 ， 时 ，；当 ， 时 ，．故 或 ． 27． 【答案】D．【解析】由 得 ，即 ．又 ，，所以 ，． 当 ， 时 ；当 ， 时 ；当 时 ，不合题意．故 或 ．故选 D． 28． 【答案】 或 ．【解析】由 ， 得 ，．因为 ，所以只能 ，此时 或 ．当 时 ；当 时 ． 29． 【答案】， 或 ．【解析】由 得 ；由 得 或 ．由 得 ． 当 时，只有 满足 ，此时 ；当 时， 和 都满足 ，此时 或 ．故 的值为 ， 或 ． 30． 【答案】．【解析】由非负数的性质得 ，，所以 ，，． 31． 【答案】．【解析】由非负数的性质得 ，，所以 ，，． 32． 【答案】 或 ．【解析】因为 、 互为相反数，所以 ；因为 、 互为倒数，所以 ，从而 ；又 ，所以 ． 原式 ，当 时原式 ，当 时原式 ． 33． 【答案】 或 ．【解析】由题意得 ，，．原式 ，当 时原式 ，当 时原式 ． 34． 【答案】C．【解析】A 项，， 时 ，即 ，故 A 错误；B 项，取 ，，则 成立，但 ，故 B 错误；C 项，， 时 ，即 ，故 C 正确；D 项，取 ，，则 成立，但 ，故 D 错误．故选 C． 35． 【答案】．【解析】由图知 且 ，所以 ，． 原式 ． 36． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】（1）由图知 ，且 ，，所以 ，，． （2）因为 ，，，所以 原式 ． 37． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 38． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 39． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 40． 【答案】． 【解析】原式 　　 　　． 41． 【答案】（1）小丽；（2）． 【解析】（1）除法没有分配律，小明把被除数分别除以括号内的每一项，做法错误；小丽先求原式的倒数，把除法转化为乘法，正确． （2）因为 ， 所以原式 ． 42． 【答案】（1）减去一个数等于加上这个数的相反数（有理数减法法则）；二；（2）加法交换律、加法结合律；（3）． 【解析】（1）第一步把减法都化成了加法，依据是减法法则；第二步把 写成了 ，符号出错，所以从第二步开始出现错误． （2）第二步交换了加数的位置，应用了加法交换律；第三步把便于计算的数结合在一起，应用了加法结合律． （3）原式 ． 43． 【答案】（1），；（2），；（3）． 【解析】（1）；． （2）由 可知， 的圈 次方 （）．所以 ；． （3），，． 原式 ． 44． 【答案】（1）一；（2）见解析；（3）． 【解析】（1）解法一把 拆成三项分别相除，结果与解法二、三不同，所以解法一错误． （2）乘法对加法满足分配律，但除法不满足分配律，即 一般不等于 ，解法一错用了分配律． （3），所以原式 ． 45． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 46． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 47． 【答案】． 【解析】设输入的数为 ，第一次运算的结果为 ．若 ，则 ，解得 ；若 ，则结果返回继续运算，，即 ，解得 ． 当 时，，继续运算得 ，输出 ，符合题意．因为 ，所以输入 的最小正整数为 ． 48． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）． （2）因为 ，所以 ． 49． 【答案】（1），；（2） 与 互为相反数． 【解析】（1）；． （2）猜想： 与 互为相反数．理由：，所以 ，即 与 互为相反数． 50． 【答案】B．【解析】，所以 ．故选 B． 51． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为 ，所以 ． （2）因为 ，所以 ；又 ，所以 ． 52． 【答案】（1）；（2）①；②满足交换律． 【解析】（1）． （2）①，，故填“”． ②满足交换律．因为 ，所以“ 运算”满足交换律． 53． 【答案】（1）①；②；③；（2） 满足交换律， 不满足交换律，理由见解析；（3） 且 ． 【解析】（1）①；②；③，所以 ． （2）因为 ，所以 满足交换律； 而 ，，当 时两者不相等，如 ，而 ，所以 不满足交换律． （3）由 可知，、 同号或其中至少有一个为 （即 ），且 ． 54． 【答案】． 【解析】第一个图形表示的运算为 ，第二个图形表示的运算为 ，所以 ． 55． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【解析】（1）两张卡片上数字的乘积为正时取同号的两张：，，所以乘积的最大值为 ． （2）三张卡片上数字的积为负时，绝对值越大积越小：，，所以乘积的最小值为 ． （3）两张卡片上数字的商为负时，绝对值越大商越小：，，，，所以商的最小值为 ． 56． 【答案】（1）在出发点的北方，距出发点 千米；（2） 升． 【解析】（1），结果为正在北方，所以最后到达的地方在出发点的北方，距出发点 千米． （2）总路程为 （千米），共耗油 （升）． 57． 【答案】（1）距甲地 千米，在甲地的东边；（2）；（3） 升． 【解析】（1），所以在甲地的东边，距甲地 千米． （2）各次行驶后的位置依次为 ，，，，，，，，，，其中绝对值最大的是 ，所以离开甲地最远 千米． （3）总路程为 （千米），共耗油 （升）． 58． 【答案】（1）距出发地 千米，在出发地的西边；（2）；（3）． 【解析】（1），所以距出发地 千米，在出发地的西边． （2）总路程为 （千米），共耗油 （升）． （3）各次车费： 千米付 元； 千米付 （元）； 千米付 元； 千米付 （元）； 千米付 （元）； 千米付 元． 　合计 （元）． 59． 【答案】（1） 个；（2） 个；（3） 个． 【解析】（1）（个）． （2）产量最多的一天生产 （个），最少的一天生产 （个），相差 （个）． （3）（个）． 60． 【答案】（1）；（2） 千米；（3） 元． 【解析】（1）路程最多的一天行驶 （km），最少的一天行驶 （km），多走 （km）． （2）（km）． （3）耗电 （度），费用 （元）． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $