精品解析：广东清远二中东城中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中试卷

2026-2027学年第一学期九年级期中教学质量检测数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，据此进行逐项分析，可得答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程需同时满足：是整式方程，只含有1个未知数，未知数的最高次数为2， ∴ 对各选项逐一判断： A、是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合条件； B、中未知数的最高次数为1，不符合； C、是分式方程，不是整式方程，不符合； D、含有、两个未知数，不符合． 2. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵，点为的中点， ∴． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵， ∴ 两边加，得， 即． 4. 下列四边形中，不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程的根的意义得到的值，再整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 8. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 9. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 10. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每周可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：当每件降低元时，每件销售利润为元，平均每周销售量为件． 根据题意得． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将2代入即可求出m的值． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 13. 如图，是菱形的对角线，，若，则长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得, 解得， ∴． 15. 如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形和正方形的性质推出为等腰直角三角形，进而可得，同理可得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵正八边形， ∴，由正八边形外角可得， ∵正八边形的边长为，即， ∴， 同理可得，， ∴， 即正方形的边长为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘法将方程左边分解为两个因式的积，然后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 所以或， 所以． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解的常用方法，正确的将方程变形为两个因式的积等于零的形式是解决此题的关键． 17. 若代数式的值与代数式的值相等，请求出的值． 【答案】的值为或． 【解析】 【分析】由两个代数式的值相等列出方程，移项、合并同类项后得到一元二次方程，再用因式分解法求解；注意不能直接两边同除以含未知数的因式，以免漏解． 【详解】解：由题意，得 ． 整理得． 因式分解，得． ∴或． 解得或． ∴的值为或． 18. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 20. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【素材】一张矩形纸片 （1）【操作与判断】如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，请你猜想四边形的形状，并说明理由； （2）【操作与探究】小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图2所示的方式折叠，请求出折叠角的度数． 【答案】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 四边形是矩形， ， 根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，解答即可； （2）根据折叠性质，勾股定理，解答即可； 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且位于上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）4月份投入图书购置经费为86.4万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答； （2）由（1）知该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，则列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 答：4月份投入图书购置经费为86.4万元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程的构图是 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个正根为 ； （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是 ； ①；②；③ ；④ （3）【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出，的值及此方程的正根． 【答案】（1），丙，， （2）④ （3），，方程的正根为1或3 【解析】 【分析】（1）根据文中提供的解题方法，解答即可； （2）根据方法，结合图形的面积解答即可； （3）根据给出的解题方法，解答即可． 【小问1详解】 解： 根据题意，解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：根据题意，得四个全等的矩形构造“空心”大正方形，此时中间的空心正方形的边长为，大正方形的边长为，故四个构图中，能用几何法求解方程的构图是丙； 第三步：根据题意，得 故新的方程：， 根据题意，得， 解得 故原方程的一个正根为； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，与题意图示不相符，不符合要求； ②根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，与题意图示不相符，不符合要求； ③根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，边长不是整数，与题意图示不相符，不符合要求； ④根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，题意图示正方形的边长为4，有可能． 【小问3详解】 解：将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图3所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为a的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，，， 解得， 当时，解得； 当时，解得； 故，，方程的正根为1或3． 23. 问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点都不重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为，连接． （1）初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，求证； （2）深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变，探究与的数量关系并说明理由： （3）拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且．点在直线上运动的过程中，若，求出的长是多少？ 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 延长交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，则，利用证明，即可得到答案； （2）延长交的延长线于点H，找到条件，证明，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到； （3）根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到和是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出和的长度，然后求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①E在线段延长线上时，如图， ∵矩形， ∴， 当时，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴点H为的中点，即，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②E在线段上时，如图， 延长交于点I， 同理由①可知，是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形，， ∴； 综合上述，的长度为：或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及正方形、矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形进行解决问题．本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级期中教学质量检测数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列四边形中，不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般形式为______． 12. 若关于x的一元二次方程一个根为2，则m的值为________． 13. 如图，是菱形的对角线，，若，则长为_________． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为_________． 15. 如图，正八边形的每个顶点均在正方形的边上，若正八边形的边长为，则正方形的边长为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 解方程： 17. 若代数式的值与代数式的值相等，请求出的值． 18. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【素材】一张矩形纸片 （1）【操作与判断】如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，请你猜想四边形的形状，并说明理由； （2）【操作与探究】小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图2所示的方式折叠，请求出折叠角的度数． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程的构图是 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个正根为 ； （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是 ； ①；②；③ ；④ （3）【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出，的值及此方程的正根． 23. 问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点都不重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为，连接． （1）初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，求证； （2）深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变，探究与的数量关系并说明理由： （3）拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且．点在直线上运动的过程中，若，求出的长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $