精品解析：广东省清远市清城区2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学想了解“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”三种应用软件中哪种最受欢迎，“最受欢迎”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 9. 已知关于x的方程，下列k的取值中，使得方程无实数根的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 对角线长为的正方形，边长为________． 12. 如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 13. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为________． 14. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 15. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 下面是小明解一元二次方程的过程： 解：方程右边提公因式得，……第一步 方程两边同除以得，…………第二步 系数化为1得，…………第三步 小明的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请给出这道题的正确解答过程． 17. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 18. 如图，已知，，． （1）实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． （2）应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，44，54，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高） 组别类型 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． （1）补全试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． 【数据分析】 （2）已知此生长期的玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） （3）为了对比分析数据，研究人员打算从试验田分好的5组（A、B、C、D、E）中随机选择2组进行研究，假设每组选中的可能性相同，求恰好选中A和B两组的概率． 21. 综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 23. 【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 4. 2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学想了解“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”三种应用软件中哪种最受欢迎，“最受欢迎”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数．“最受欢迎”指的是出现频率最高，因此涉及的统计量是众数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，众数表示一组数据中出现次数最多的值， 则“最受欢迎”指的是出现频率最高， 故“最受欢迎”涉及的统计量是众数， 故选：D 5. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，先求出，，由得到相似比为：，即可得到答案. 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为：， ∴与的面积比是， 故选：A 8. 如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 9. 已知关于x的方程，下列k的取值中，使得方程无实数根的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，方程无实数根，需分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，需判别式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵方程， 当时，方程为，解得，有实数根，不符合题意； 当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 观察四个选项，符合题意的是， 故选：D． 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 对角线长为的正方形，边长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形的性质，对角线是边长的 倍，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】设正方形的边长为 ，则对角线长为 ． 给定对角线长为 ， 所以 ， 解得 ， 故答案为：2． 12. 如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查的是平行投影的概念：如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法． 13. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图所示，由证明出，得到，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∵沿的平行线将剪成两部分， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为： 14. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故答案为：15． 15. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 下面是小明解一元二次方程的过程： 解：方程右边提公因式得，……第一步 方程两边同除以得，…………第二步 系数化为1得，…………第三步 小明的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请给出这道题的正确解答过程． 【答案】 解：第二步开始出现的错误， 错误原因是方程两边都除以时没有考虑的情况 正确的解答过程如下： 解： 或 ∴，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．依据等式的基本性质判断错误原因；利用因式分解法求解可得． 【详解】略 17. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度4米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为x米， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 18. 如图，已知，，． （1）实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． （2）应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】 解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 【解析】 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】略 20. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，44，54，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高） 组别类型 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． （1）补全试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． 【数据分析】 （2）已知此生长期的玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） （3）为了对比分析数据，研究人员打算从试验田分好的5组（A、B、C、D、E）中随机选择2组进行研究，假设每组选中的可能性相同，求恰好选中A和B两组的概率． 【答案】 （1）补全“试验田”频数分布直方图如下： （2）试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田中长势良好的玉米株数占比；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，求概率等知识点，解题的关键是掌握数形结合的思想，以及树状图或表格求概率． （1）根据数据补全条形统计图和扇形统计图即可； （2）根据统计图中的占比进行分析即可； （3）利用列表法求概率即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴扇形统计图填写：35； （2）试验田中长势良好的玉米株数为（株），占比； 对照田中长势良好株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田中长势良好的玉米株数占比； （3）列表格如下： 第二组第一组 A B C D E A B C D E 由表可知，总共有20种等可能的结果，其中恰好选中A和B两组的结果有2种：,， 所以P（选中A和B两组）． 21. 综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）长为2，宽为； （2）存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 23. 【问题情境】 小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 （1）如图1，在正方形中，小颖在边上取点（不与、重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上，则此时线段的长是________． 【深入探究】 （2）小颖继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，在正方形中，小颖又在边上取点（不与、重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，记（为的对应点）与的交点为，连接，小颖再次发现：线段与的长度之和存在最小值，请求出此时线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，准确利用知识点进行计算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，交于点，作，则四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，当点在上时，即点与点重合时，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则，在中，由勾股定理得，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 正方形边长为， ，， ， 沿翻折得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案是：． （2）①当时，如图，作于点，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 又由折叠性质可得：， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点， 则，四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，， 由折叠可知，，， 则在中，， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理，得：， 解得， ， 综上所述，线段的长为或； （3）连接，，交于点，作，则四边形为矩形，，， 由折叠可知，，，，，， ，， ， 又，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接，连接交于点， 则，， ， 当点在上时，即点与点重合时，值最小； 如图： ，，， ， ， 为的中点， ， 设， 则， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ， ， ， ， ， ，即，，即， ，， ， ，， ， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $