广东清远二中东城中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中试卷

2026-2027学年第一学蒴九年级期中教学质量检测蚊学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的。 1.下列方程中是一元二次方程的是() A.x2+2x-1=0B.2x=2+3x C.x+是=0 D.x2-y2=3 2.如题2图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，某同学用刻 度尺测量长度时，点A,B对应的刻度分别为0,6，则CD的长为() A.1 B.2 0 12 456 C.3 D.4 题2图 3.用配方法解一元二次方程x2+4x=5的过程中，配方正确的是() A.x+2)2=1 B.(x+2)2=9 C.x-2)2=1 D.(x-2)2=9 4.下列四边形中，不一定为矩形的是() 4 09D 90 3 3 BL B.B690° 5.一元二次方程x2+2x一5=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定 6.如题6图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,若∠ADB=28°，则∠AOB是( A.62° B.60° C.58° D.56° 7.已知a是方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为( 题6图 A.3 B.4 C.5 D.6 8.在估算一元二次方程22+4x一8=0的根时，小明列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2+4x-8 -2 -1.18 -0.32 0.58 1.52 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是( A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 9.如题9图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为菱形，应添加的 条件是() A.AB∥DC B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD 题9图 第1页（共4页） 10.其商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为 扩大销停，增加利润，商场准备降价销售。经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖 出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（) A.(60-40-8x)(200-x)=8450 B.(60-40-x)(200+8x)=8450 C.(60-40-8x)(200+x)=8450 D,(60-40-x)(200-8x)=8450 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分. 11.将一元二次方程3x2+1=6x化成一般形式为 12.若关于x的一元二次方程2+mx-6=0一个根为2，则m的值为 13、如题13图，AC是菱形ABCD的对角线，AB=6,若∠B=60°，则AC长为 14.若方程(a+2)4-x=3是关于x的一元二次方程，则a的值为 15.如题15图，正八边形ABCDEFGH的每个顶点均在正方形MNP2的边上，若正八边形的边长为 √反，则正方形MNPg的边长为 B 题13图 题15图 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分. 16.解方程：2x2+3x+1=0. 17.若代数式x+2的值与代数式xx+2)的值相等，请求出x的值· 18.如题I8图，在△ABC中，AC=BC,CD是AB边上的高线，延长CD到E,使得CD=DE,连 按AE、BE. C (I)求证：四边形AEBC是菱形： D (2)若AB=16,BC=10,求菱形AEBC的面积。 四、解答题（二)·本大题共3小题，每题9分，共27分， @18图 19.己知关于x的一元二次方程x2+(k+2)x+k=0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若x1、x2是方得的两根，且x+x2-Xx2=6,求k的值 第2页（共4页） 20、综合与实腿课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 【费材】一张矩形纸片ABCD(AB=I0,D=10VZ) 【操作与判断】(1)如题20-1图，小明将矩形纸片ABCD翻折，使点A的对应点A1落在边BC 上，折痕为BO、请你想四边形ABA1O的形状，并说明理由； 【操作与探究】(2)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片ABCD按如题20-2图 所示的方式折盈，晰求出折叠角∠OBC的度数、 0 C B 题20-1图 题20-2图 21.习近平总书记说：“读书可以让人得到智戀启发，让人滋养浩然之气.”某市图书馆为推广全 民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入.一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图 书购置经费72万元. (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率 (2)如果按(1)中经费投入的平均增长率计算，则该市图书馆四月份投入图书购置经费为多少 万元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分 22.【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何 解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形，按 题22-1图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x2)2, 还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即4x（x+2)+22=4×35+4 =144.因此，可得新方程（x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12,即x=5.递憾 的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根。 +2 十2 x+2 +2 x 题22-1图 第3页（共4页） 【理解应用】（1)小颗根据以上解法解方程x2-3x-10=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x( ）=10: 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形：下面四个构图中，能用几何法求解方程 X2-3x-10=0的构图是 甲 丙 丁 第三步：根品大正方形的面积可得新的方程： ,解得原方程的·个正根为」 【类比迁移】(2)若题22-2图是某个一元二次方程（正根)的几何解法构图，则这个方程可能 是一： ①x2-3x-10=0②x2+2x-8=0③x2+4x-12=0 ④x2+5x-6=0 【拓展应用】一般地，对于形如2+π=b(b>0)的一元二次方程可以构造几何图形来解。 (3)己知题22-3图是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围 成的正方形的面积为4，请你求出α，b的值及此方程的正根. 题22-2图 题22-3图 23.综合与探究：探究儿何元素之间的关系 问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与 点C,O,A都不重合)，过点A,C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F,G,连接OF,OG. (1)如题23-1图，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证AF=BG: (2)如题23-2图，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变.探究 OF与OG的数虽关系并说明理由： (3)如题23-3图，已知四边形ABCD为矩形，HAB=4,∠BAC=60°，点E在直线AC上运 动的过程中，若OF∥BC,求FG的长. 】 题23-1图 题23-2图 题23-3图 第4页（共4页） 2026-2027学年第一学期九年级期中教学质量检测数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列方程中是一元二次方程的是 ( ) B. 2x=2+3x 2. 如题2图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, 点D为AB的中点,某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.用配方法解一元二次方程 的过程中，配方正确的是 ( ) 4.下列四边形中，不一定为矩形的是 ( ) 5.一元二次方程 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 6. 如题6图,在矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,若∠ADB=28°,则∠AOB是( ) A. 62° B. 60° C. 58° D. 56° 7.已知a是方程 的一个根，则代数式 的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.在估算一元二次方程 的根时，小明列表如下： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 ——2 -1.18 —0.32 0.58 1.52 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是 ( ) A. 1<x<1.1 B. 1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 9.如题9图，顺次连接四边形ABCD 各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是( ) A. AB∥DC B. AB=DC C. AC⊥BD D. AC=BD 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 10.某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为( ) A. (60-40-8x) (200-x) =8450 B. (60-40-x) (200+8x) =8450 C. (60-40-8x) (200+x) =8450 D. (60-40-x) (200-8x) =8450 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分. 11.将一元二次方程 化成一般形式为 . 12.若关于x的一元二次方程 一个根为2，则m的值为 13. 如题·13 图,AC是菱形ABCD 的对角线,AB=6,若∠B=60°, 则AC长为 . 14.若方程 是关于x的一元二次方程，则a的值为 . 15.如题15图，正八边形ABCDEFGH的每个顶点均在正方形MNPQ 的边上，若正八边形的边长为 ，则正方形MNPQ的边长为 . 三、解答题(一)：本大题共3小题，每题8分，共24分. 16. 解方程: 17.若代数式x+2的值与代数式x(x+2)的值相等，请求出x的值 . 18. 如题18图,在△ABC中,AC=BC,CD是AB边上的高线,延长CD到E,使得CD=DE, 连接AE、BE、 (1) 求证: 四边形AEBC是菱形; (2) 若AB=16,BC=10,求菱形AEBC的面积. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每题9分，共27分. 19.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 若x₁、x₂是方程的两根,且 求k的值. 第2页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 20、综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 【素材】一张矩形纸片ABCD (AB=10, 【操作与判断】(1)如题20-1 图，小明将矩形纸片ABCD翻折，使点A的对应点A1落在边BC上，折痕为BO，请你猜想四边形ABA1O的形状，并说明理由； 【操作与探究】(2)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片ABCD按如题20-2图所示的方式折叠，请求出折叠角∠QBC的度数. 21.习近平总书记说：“读书可以让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入.一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元. (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率. (2)如果按(1)中经费投入的平均增长率计算，则该市图书馆四月份投入图书购置经费为多少万元? 五、解答题(三)：本大题共2小题，每题12分，共24分. 22.【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 为例，构造方法如下： 首先将方程 变形为x (x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形,按题22-1图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为( 还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即 =144.因此，可得新方程 因为x表示边长,所以2x+2=12, 即x=5. 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根. 第3页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 【理解应用】(1)小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x ( )=10： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程 的构图是 1 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个正根为 ； 【类比迁移】(2)若题22-2图是某个一元二次方程(正根)的几何解法构图，则这个方程可能是 ; 【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造几何图形来解. (3)已知题22-3图是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出a，b的值及此方程的正根. 23.综合与探究：探究儿何元素之间的关系 问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点(点E与点C,O,A都不重合) ,过点A, C分别作直线BE的垂线,垂足分别为F, G,连接OF,OG. (1) 如题23-1图, 已知四边形ABCD 是正方形,且点E在线段OC 上,求证AF=BG; (2)如题23-2图，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变.探究OF 与OG的数量关系并说明理由； (3) 如题23-3 图, 已知四边形ABCD为矩形, 且AB=4, ∠BAC=60°, 点E在直线AC上运动的过程中,若OF∥BC,求FG的长. 第4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $