精品解析：河北沧州市第十四中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026--2027学年第一学期第一次学情检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有一个根为，则另一根为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 5. 已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 7. 若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C.     D.         10. 若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 1 12. 一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（ ） A. 小球速度平均每秒减少 B. 小球滚动的总路程为 C. 小球滚动最后走过的路程为 D. 小球滚动时，用的时间是 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程的两根分别为和，则的值是_________． 14. 若二次函数的图象经过点，，其中，则_____． 15. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 按要求解答下列问题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第_______步开始出错． ②直接写出正确的解． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 19. 二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数解析式． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． （3）当时，求的取值范围． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）直接写出的解集． 21. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）当售价为55元时，月销售利润是________元； （2）求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ （3）每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． （1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 　 　；若不存在，请说明理由． （3）直接写出PQ长度的最小值 　 　． 23. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 24. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026--2027学年第一学期第一次学情检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义：“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是一元一次方程，故不符合题意； B.是分式方程，故不符合题意； C.含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，故不是一元二次方程，不符合题意； D.是一元二次方程，故故合题意； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 3. 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 4. 若关于x的方程有一个根为，则另一根为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设另一根为x=m，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求出答案． 【详解】解：设方程的另一个根为x=m， 则， 解得：， ∴方程的另一个根为x=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=． 5. 已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 7. 若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴点、都在第三象限， ∴． 8. 若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】联立两函数方程，根据只有一个公共点可知对应一元二次方程判别式为，代入求解的值． 【详解】解：将代入，得 ， 整理得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即． ∵， ∴， 解得． 9. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C.     D.         【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 10. 若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】由根与系数的关系得两根之和为4，结合两根为正整数列举所有可能的根的组合，计算对应m的取值个数． 【详解】解：设方程的两个正整数根为，， 由根与系数的关系得，， ，均为正整数， 满足和为4的正整数对为，， 对应的值分别为，， 整数的值有2个． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：，解得， 可知若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是， 则a的值可能是1． 12. 一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（ ） A. 小球速度平均每秒减少 B. 小球滚动的总路程为 C. 小球滚动最后走过的路程为 D. 小球滚动时，用的时间是 【答案】D 【解析】 【分析】先求小球每秒的速度减少量，再结合平均速度与路程的公式逐一判断各选项正误． 【详解】解：由题意得初速度为，均匀减速，后速度为， ∴每秒速度减少量为，故A错误； 滚动全程的平均速度， ∴总路程为，故B错误； 滚动时的速度为， ∴前的平均速度， ∴前的路程为， ∴最后的路程为，故C错误； 设滚动用时为，此时速度为，则这段时间的平均速度， ∵， ∴， 整理得，解得，， ∵小球后停止， ∴不符合题意，舍去，即用时，故D正确． 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13. 一元二次方程的两根分别为和，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程可化为，， 由已知，． 14. 若二次函数的图象经过点，，其中，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．先配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于，得到点比点离对称轴要近，所以． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 15. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 按要求解答下列问题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第_______步开始出错． ②直接写出正确的解． 【答案】（1）， （2）① 二；② ， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 ①以上解方程的过程，从第二步开始出错； ②解： 或 ，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 19. 二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数解析式． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数的解析式为， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：二次函数的解析式为，且， 该二次函数在时取最小值，离对称轴越远值越大，在这个范围内， 时，取最小值， 又， 时，取最大值为， 故当时，的取值范围为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）直接写出的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴ ∴ ∴反比例函数表达式为， 然后将点，代入， 可得 解得 ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，的解集为或． 21. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）当售价为55元时，月销售利润是________元； （2）求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ （3）每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【答案】（1） （2）函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． （3）元 【解析】 【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果． （2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润． （3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价． 【小问1详解】 解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元）， 单件利润为（元）， 销量减少量（件），现月销量（件）， 月销售利润（元）； 【小问2详解】 解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）． 由题意知，售价不能高于元，即，解得， ∵为正整数， ∴． 根据题意可得： ； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵，为正整数，，， ∴是距离对称轴最近的整数， ∴当时，取得最大值，（元）， 此时售价为（元）， 即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． 【小问3详解】 解：令，即， 整理得， 即， 解得，， ∵为正整数， ∴不合题意，舍去， ∴，此时售价为（元）． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． （1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 　 　；若不存在，请说明理由． （3）直接写出PQ长度的最小值 　 　． 【答案】（1）；（2）或 ；（3）2． 【解析】 【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程=速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑； （3）由（2）得到线段PQ2的关系式，然后利用二次根式的性质，即可得到答案． 【详解】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ． 根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12． 则有（t+62t）×2=2×6×， 解得t=； （2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ． ①当0＜t≤3时，如图1，则有（6-2t-t）2+4=5， 解得t=或 ； ②当3＜t≤4时，如图2，则有（8-2t）2+t2=5， 得方程5t232t+59=0， 此时Δ＜0，此方程无解． 综上所述，当t=或 时，点P与点Q之间的距离． 故答案为：或 ； （3）由（2）可知， ①当0＜t≤3时，； 则时，PQ有最小值2； ②当3＜t≤4时， 则时，PQ有最小值； ∵； ∴PQ长度的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用． 23. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． 【小问3详解】 解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 24. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解交点的横坐标，再代入（2）中的函数关系式求解面积即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴． ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴． ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为 【小问3详解】 解：如图， 设直线 ∵， ∴ 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 解得或（点横坐标） 即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $