精品解析：山西现代双语学校学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

山西现代双语学校联校高二年级10月考 数学试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量 ，则. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 3. 已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以直线过定点， 所以，， 直线在到之间， 所以或，故选A． 4. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 5. 已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 6. 已知、，则函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 7. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 8. 如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧，点恰好为正方形的中心，以为坐标原点，建立空间直角坐标系计算即可. 【详解】取的中点，连接，，因为底面是菱形，且， 所以. 又因为平面，平面，所以. 由于平面，所以平面. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也是. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以， 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点在面对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接，则直线，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 记， 所以到直线的距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由得到三向量共面，结合空间基底的概念得到答案；B选项，利用空间向量共面定理计算出B正确；C选项，求出，得到线面平行或线在面内；D选项，根据法向量数量积为0得到两平面垂直. 【详解】对于A，，所以共面， 所以不是空间的一组基底，A错误； 对于，因为四点共面，所以存在不全为0的使得， 即， 故，即， 又，即， 所以，故，，正确； 对于C选项，，所以或，所以错误； 对于D选项，，所以，，所以正确. 故选：BD 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，对分离参数，联立方程求定点，判断A；选项B，用两直线平行公式求解，检验排除重合，判断B；选项C，利用垂直的系数关系列式求解，判断C；选项D，把化为斜截式，结合斜率、截距分析图象，判断D． 【详解】对于A，直线， 由， 得，， 所以始终过定点，故A正确； 对于B，若， 则有， 解得，故B正确； 对于C，若，则， 解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为， 所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为120° C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线过的定点，即可判断A； 根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B; 计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错； 求出与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错. 【详解】可变形为 ， 令 ，得 ， 即直线过定点 ，故A错； 直线的斜率为 ，故其倾斜角为 ，故B正确； 圆的圆心到直线的距离为 ， 圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 所以满足题意得直线有三条，故D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【解析】 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 14. 已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. （1）以为基底表示； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 （1） 【小问2详解】 ，所以. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由直线方程的两点式得 ，即. 【小问2详解】 设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问3详解】 设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 17. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与圆相切； （3）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】（1） 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 18. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【小问1详解】 证明： 在平行四边形中，为中点， 又为的中点， 在中，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，为中点，， 又，， 平面，平面， 平面， ，， 以为原点，，所在的直线分别为轴，轴， 过且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，为中点，， 由题意得，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 ，令，解得，， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． （2） （3）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． 【小问3详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校联校高二年级10月考 数学试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量 ，则（　　） A. B. 5 C. D. 4 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 5. 已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，则函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 11. 下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为120° C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 14. 已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. （1）以为基底表示； （2）若，求的值. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 17. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与圆相切； （3）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 18. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $