精品解析：山西太原市第五中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高二数学 时间：2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 方程表示的曲线是（ ） A. 两条直线 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 4. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，则，由与互相垂直， 得， 所以. 故选：D 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 6. 已知，则异面直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 7. 如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示，    由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 8. 如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设二面角的大小为，对两边平方化简可得答案. 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以， 所以，因为，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 当时， C. 当时， D. ，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解. 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示的图形是圆 B. 经过点，的直线方程均可用表示 C. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 D. 已知，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：配方得， 当时，方程表示圆； 当时，方程表示一个点； 当时，方程不表示任何图形，故A错误； 对于B：，没有分母，不存在分母为零的情况， 无论直线斜率是否存在，经过两点，的直线都可以用该式表示，故B正确； 对于C：向量夹角为钝角，需要满足且两向量不反向共线， ，解得， 若与反向共线，则存在，使得， 即，解得，， 当时两向量夹角为，不是钝角，应当舍去， 所以的取值范围是，故C错误； 对于D：原式几何含义为平面内点到，，，四点距离之和， 即，分组得， 由三角不等式：， ， 当且仅当为线段与线段的交点，即时，两个等号同时成立，此时和取得最小值，故D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点满足到直线的距离与到平面的距离相等 D. 当时，直线与平面所成角的大小为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项：应用空间向量知识可判断：点的轨迹为线段，再应用正方体表面展开的方法，即可判断的最小值为；对于B项：应用空间向量判断满足的点的个数；对于C项：应用空间向量求出点满足到直线的距离与到平面的距离；再解即可判断；对于D项：应用空间向量求出直线与平面所成角的正弦，即可其大小为定值； 【详解】对于A项：当时，, 因为，设,所以四边形为平行四边形（如图所示），点的轨迹为线段. 将正方体上底面如图展开，构成矩形， 当三点共线时，即，故A正确； 对于B项：以点A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）， 则. 当时，， 又因为，，所以恒成立， 所以，则总成立，故B错误； 对于C项：因为， 所以点. 因为，， 所以点到直线的距离为， 因为，所以； 取平面的法向量为， 因为，所以点到平面的距离为， 又因为，所以，由得， 因为，所以，所以， 则，所以点且唯一.故C正确； 对于D项：因为，可取平面的法向量为 设直线与平面所成角为，则， 又因为，所以， 所以直线与平面所成角为（定值）. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是， 所以，即，所以， 故答案为：. 13. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用坐标表示，，再代入曼哈顿距离，利用基本不等式求最值. 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，， ，， 由可知，，整理为， ， 因为，得， 且，所以， 所以的最大值为，当时等号成立， 所以的最大值为. 14. 已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点P，Q分别在直线和上，设，，由，利用其几何意义求解. 【详解】解：设，因为PQ与两直线垂直且， 则， 故. 此式表示为点到及的距离之和，其最小值即为. 故所求最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. （1）求AC′的长；（如图所示） （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）＝＝，再利用向量模的运算即可求解. （2）利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值. 【详解】（1）可得＝＝， ＝＝+2（） ＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85 故AC′的长等于＝ （2）由（1）可知＝，＝ 故＝（）（） ＝ ＝＝ 又＝＝＝＝5 故与的夹角的余弦值＝＝ 【点睛】本题考查了空间向量模的求法、空间向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 16. 已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）直线的方程和点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）直线 BC：； （3） 【解析】 【分析】将直线系整理为点斜式求定点即得 A； 设 B 点坐标，利用中点 M 在中线上求 B，再由角平分线的对称性求直线 BC，与中线联立求 C； 用底乘高或行列式公式求面积. 【小问1详解】 直线 整理为 ， 令 ，得 ，此时 ，故直线 l 恒过定点 ， 即 . 【小问2详解】 因为点 B 在角平分线 上，设 .由中点坐标公式， AB 中点 .又 M 在中线 上，代入得 ，解得 ，故 . 直线 BA 过 、，斜率 ，方程为 . 因为 是 的平分线，所以直线 BC 与直线 BA 关于直线 对称. 取 A 关于 的对称点 ，则直线 BC 过 与 ，斜率 ， 方程为 ，即 . 点 C 是直线 BC 与中线 CM 的交点，联立 ，解得 ，，即 . 【小问3详解】 ， 点 C 到直线 AB： 的距离 ， 故 . 【点睛】角平分线的核心性质是“两边关于角平分线对称”，求对称直线可在一边上取点求对称点再连线；直线系过定点用“分离参数法”. 17. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，为线段的中点，． （1）动点在三角形内（包含边界）运动，且平面，求动点的运动轨迹长度，并说明理由； （2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离． 【答案】（1）由题意得，取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，且动点在内并满足平面， 所以平面，从而点的运动轨迹即为线段， 因为分别为的中点，所以是的中位线， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过取的中点构造过点且与平面平行的平面，将“线面平行”转化为“面面平行”，从而确定动点的轨迹即为的中位线. （2）建立空间直角坐标系，利用两平面所成锐二面角的余弦公式解出平面的法向量，再代入点到平面的向量距离公式直接求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，因为为半圆弧的中点，所以， 由题意得平面平面，且交线为，故平面， 以为坐标原点，为轴正方向，过点且平行于的方向为轴正方向， 为轴正方向，建立空间直角坐标系，由及半圆半径， 可得， 因为点是半圆弧上一动点，设，其中且， 则，设平面的一个法向量为， 则有，取，则， ，设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 即，因为平面与平面所成的锐二面角的平面角为， 故， 整理得， 即， 因为，两边同时除以得，则 ， 因为，所以，提取化简得平面的法向量为， 因为，所以点到平面的距离 . 18. 已知圆C经过三点. （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为. ①求的方程； ②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）①；②存在，定点为． 【解析】 【分析】（1）设圆标准方程，代入三点坐标，然后解方程组即可求得结果； （2）①设，根据求得点坐标的表达式，再代入已知圆方程化简即可；②假设存在一点满足(其中为常数)，设，则：结合P在轨迹上，整理化简求得，即可得坐标． 【详解】（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得 ， 解得， 所以圆C的方程为； （2）①设，则：， ∴， ∴， ∵点A在圆C上运动，∴， 即：∴∴， 所以点M的轨迹方程为， 它是一个以为圆心，以1为半径的圆； ②假设存在一点满足(其中为常数)， 设，则：， 整理化简得：， ∵P在轨迹上， ∴， 化简得：， 所以， 整理得， ∴， 解得：； ∴存在满足题目条件． 【点睛】求动点轨迹方程常用方法： (1)直接法；(2)定义法；(3)相关点法； 要根据已知条件选择适当方法求解． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足． （1）证明：平面； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. （3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，解得， ∴AB的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高二数学 时间：2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 方程表示的曲线是（ ） A. 两条直线 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 4. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，则异面直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 当时， C. 当时， D. ，使得 10. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示的图形是圆 B. 经过点，的直线方程均可用表示 C. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 D. 已知，则的最小值为 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点满足到直线的距离与到平面的距离相等 D. 当时，直线与平面所成角的大小为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 13. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 14. 已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. （1）求AC′的长；（如图所示） （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知直线过的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）直线的方程和点的坐标； （3）求的面积． 17. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，为线段的中点，． （1）动点在三角形内（包含边界）运动，且平面，求动点的运动轨迹长度，并说明理由； （2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离． 18. 已知圆C经过三点. （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为. ①求的方程； ②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足． （1）证明：平面； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $