专题 3.3 立方根与实数的混合运算（专题训练） -2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题 3.3 立方根与实数的混合运算（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 题型·1·求一个数的立方根 1 题型 2·已知一个数的立方根，求这个数 2 题型·3·与立方根有关的规律探索 3 题型·4·立方根的实际应用 5 题型 5·算术平方根和立方根的综合应用 8 题型 6·实数的混合运算 10 题型 7·实数运算的实际应用 12 题型·1·求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 2．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义计算即可，注意负数的立方根仍是负数． 【详解】解：根据立方根的定义，若，则是的立方根． ∴ 因此结果为． 3．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 4．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 题型 2·已知一个数的立方根，求这个数 5．一个数的立方根是-2，则这个数是（       ） A．4 B．8 C．-8 D．-4 【答案】C 【分析】根据立方根的定义求解即可，立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 【详解】 一个数的立方根是-2，则这个数是-8 故选C 【点睛】本题考查立方根的定义，掌握立方根的概念及求一个数的立方根的方法是本题的解题关键．一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根． 6．若一个数的立方根是5，则这个数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，一个数的立方根是5， ∴这个数是， 故答案为： 7．已知的立方根是3，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 8．若，则x的值是___． 【答案】 【分析】求出64的立方根，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求立方根，解题关键是熟练利用立方根的意义解方程． 题型·3·与立方根有关的规律探索 9．已知，若，则x的值约为______． 【答案】326000 【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：326000． 【点睛】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 10．已知，则_______________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 11．观察规律：，，．则_____． 【答案】 【分析】观察已知开立方运算结果，总结被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察已知等式：，，， 可得规律：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点相应向右或向左移动1位， 对比与，的小数点向右移动3位得到， 因此的小数点向右移动1位，得． 12．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 13．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 题型·4·立方根的实际应用 14．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 15．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的__________倍． 【答案】2 【分析】先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的2倍． 16．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 【答案】2 【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为． 原正方体体积为． ． 设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为． ． 棱长增加量为． 17．将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为_____________． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为． 故答案为：7． 18．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 题型 5·算术平方根和立方根的综合应用 19．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出和的值，再代入计算，最后求它的算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，解得， ∴，的算术平方根为， ∴的算术平方根为． 20．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 21．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 22．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 【答案】a、b的值分别为2与 【分析】本题考查了平方根的性质，立方根等知识，掌握这些知识是解题的关键；由正数的两个平方根互为相反数得，可求得a的值；由立方根为的数得，可求得b的值． 【详解】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， 综上，a、b的值分别为2与． 23．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 24．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 题型 6·实数的混合运算 25．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的性质、绝对值的定义、乘方的定义计算，可得：原式，再根据运算法则计算． 【详解】解： 26．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 27．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）先计算乘法，再计算加减即可得出结果； （2）先计算立方根、算术平方根和绝对值，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简算术平方根，立方根和绝对值，再合并计算结果； （2）分别计算乘方，算术平方根，绝对值和立方根，再合并计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．计算 (1) (2)． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型 7·实数运算的实际应用 30．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 31．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 32．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 33． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 立方根与实数的混合运算（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 题型·1·求一个数的立方根 1 题型 2·已知一个数的立方根，求这个数 1 题型·3·与立方根有关的规律探索 2 题型·4·立方根的实际应用 2 题型 5·算术平方根和立方根的综合应用 3 题型 6·实数的混合运算 4 题型 7·实数运算的实际应用 5 题型·1·求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 2．的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 4．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 题型 2·已知一个数的立方根，求这个数 5．一个数的立方根是-2，则这个数是（       ） A．4 B．8 C．-8 D．-4 6．若一个数的立方根是5，则这个数是__________． 7．已知的立方根是3，则_______． 8．若，则x的值是___． 题型·3·与立方根有关的规律探索 9．已知，若，则x的值约为______． 10．已知，则_______________． 11．观察规律：，，．则_____． 12．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 13．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 题型·4·立方根的实际应用 14．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 15．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的__________倍． 16．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 17．将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为_____________． 18．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 题型 5·算术平方根和立方根的综合应用 19．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 20．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 21．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 22．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 23．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 24．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型 6·实数的混合运算 25．计算：． 26．计算：． 27．计算 (1)； (2)． 28．计算： (1)； (2)． 29．计算 (1) (2)． 题型 7·实数运算的实际应用 30．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 31．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 32．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 33． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $