3.1-3.3 平方根与立方根【专项训练卷】2026-2027 学年浙教版数学七年级上册（温州地区）

3.1、3.3 平方根与立方根【专项基础卷】2026-2027 学年浙教版七年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 开平方是平方的逆运算，开立方是立方的逆运算，但它们的差异恰恰是失分最集中的地方 —— 一个正数有两个平方根且互为相反数，0 的平方根只有一个，负数没有平方根，而任何实数都有且只有一个立方根，负数的立方根是负数。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 因为 ，且 是正数，所以 的算术平方根是 ，选 A。 注意： 的平方根有两个，写作 ，但算术平方根只取非负的那一个，所以 与 都不是本题的答案。 易错提醒：看到根号前面没有负号、也没有正负号，就是问算术平方根，答案只能是一个非负数。 2． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 因为 ，所以 的立方根是 ，选 A。 立方根与平方根不同：一个数的立方根只有一个，不存在「正负两个」的说法，所以 这种写法在立方根里是不成立的。 易错提醒：把平方根的习惯带进立方根，是本章最高频的错误。记牢 、、、、、。 3．下列说法正确的是（　　） A． 的平方根是 　B． 的平方根是 C． 的平方根是 　D．任何数都有两个平方根 【答案】B 逐项判断： A：负数没有平方根， 根本不存在平方根，A 错误； B：因为 ，所以 的平方根是 ，且只有一个，B 正确； C：，但 也成立，所以 的平方根是 ，只写 漏掉了另一个，C 错误； D：负数没有平方根， 只有一个平方根，D 错误。故选 B。 易错提醒：平方根的个数要分三类背 —— 正数两个、 一个、负数没有，不能笼统地说「任何数都有两个」。 4． 的值是（　　） A．　B．　C．　D．没有意义 【答案】A 因为 ，所以 的立方根是 ，选 A。 立方根的被开方数可以是负数，这与平方根完全不同： 没有平方根，但它有立方根。 易错提醒：看到根号里面是负数先别急着写「没有意义」，要抬头看根指数 —— 根指数是 时可以开，是 （省略不写）时才不行。 5．下列各式中，表示「 的平方根」的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B ，它表示的是 的算术平方根，只是一个数； 的平方根有两个，它们是 与 ，合起来写成 ，故选 B。 C 只取了负的那一个，D 是求平方而非开方，都不对。 易错提醒：记号本身就是答案的一半 —— 有没有前面的 ，决定了结果是一个还是两个。 6．下列关于平方根与立方根的说法中，正确的是（　　） A．任何实数都有平方根　B．任何实数都有立方根 C． 的平方根与立方根相同　D．负数的立方根不存在 【答案】B 逐项判断： A：负数没有平方根，A 错误； B：正数、负数、 都有且只有一个立方根，B 正确； C： 的平方根是 ，立方根是 ，两者不同，C 错误； D：负数有立方根，例如 的立方根是 ，D 错误。故选 B。 易错提醒：把这句话当成整章的结论记住 —— 平方根挑被开方数，立方根不挑。 7． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 因为 ，且算术平方根取非负值，所以结果为 ，选 A。 分子分母分别开方即可：，。 易错提醒：只有乘除关系的式子才能把根号拆开分别计算， 就不能这样算 —— 它等于 ，而 ，两者不相等。 8． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 由立方根的定义， 对任意实数 都成立，这里 ，所以结果为 ，选 A。 先算 ，再求 ，同样得到 。 易错提醒：注意平方的情形是反过来的 —— ，结果会变成正数。这就是开平方与开立方在符号上的关键差别。 9． 在哪两个连续整数之间？（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 【答案】B 估算的办法是把被开方数夹在两个相邻的完全平方数之间： ，，而 ； 所以 ，即 在 与 之间，选 B。 易错提醒：容易错选 D，把被开方数所在的范围当成根所在的范围。开方会「压缩」差距，所以根一定落在小得多的两个数之间。 10．若 ，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】A 由 可知 ，于是 ，，选 A。 也可以直接用性质 ，代入得 。 易错提醒：这条性质是立方根独有的 —— 「把负号提到根号外面」。平方根不许这样写，因为 本身就没有意义。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 的平方根是 　　　　　 。 【答案】 因为 ，，所以 的平方根有两个，写作 。 如果题目问的是算术平方根，答案才只是 —— 审题时先看清有没有「算术」两个字。 易错提醒：正数开平方一定要写两个数，只写一个会直接丢分。 12．若 ，则 ＝ 　　　　　 。 【答案】 由立方根的定义， 表示 ，所以 。 这类题是把「开立方」反过来做：已知根求被开方数，就把根立方。 易错提醒：类似的题里如果是平方根，就要想到可能有两个答案；立方根则永远只有一个，不用纠结。 13．若 有意义，则 的取值范围是 　　　　　 。 【答案】 二次根号下的式子必须大于或等于 ，即 ，解得 。 这就是「双重非负性」中的第一条：被开方数非负。 易错提醒：容易写成 ，漏掉恰好等于 的情形 —— 当 时 ，是有意义的。 14．对于任意实数 ，式子 　　　　　 意义（填「有」或「没有」）。 【答案】有 立方根的被开方数可以是任意实数（正数、负数、 都行），所以无论 取什么值， 都有意义，填「有」。 对照思考：若题目给的是 ，那就必须 ，即 。 易错提醒：这两条要对比着记 —— 平方根要求被开方数非负，立方根没有这个要求。 15． 在哪两个连续整数之间？答：在 　　　　　 与 　　　　　 之间。 【答案】 与 把 夹在相邻的两个完全立方数之间： ，，而 ； 所以 ，即它在 与 之间。 易错提醒：估算的关键是先背熟一串立方数（、、、、、），再把被开方数往中间放。 16．比较大小： 　　　　　 （填「」「」或「」）。 【答案】 把两个数都平方后比较：，。 因为 ，且两个数都是正数，所以 ，填「」。 这种「平方法」的依据是：正数越大，它的平方也越大，反过来也成立。 易错提醒：只有两个数都是正数时才能直接平方比较，出现负数时要先判断符号。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）一个正方形花坛的面积是 平方米。 (1) 列出关于花坛边长 的方程； (2) 求出这个花坛的边长，并说明理由。 【答案】(1) ；(2) 边长为 米。 (1) 设花坛的边长为 米，由正方形的面积公式可得 。 (2) 因为 表示边长，不能是负数，所以取 的算术平方根： 。 答：这个花坛的边长是 米。 注意：虽然 的平方根是 ，但边长代表实际长度，负值没有实际意义，必须舍去。 18．（5 分）一个正方体木箱的体积是 立方分米。 (1) 列出关于木箱棱长 的方程； (2) 求出这个木箱的棱长。 【答案】(1) ；(2) 棱长为 分米。 (1) 设木箱的棱长为 分米，由正方体的体积公式可得 。 (2) 所以 。 答：这个木箱的棱长是 分米。 注意：这里不必像求边长那样考虑取正取负 —— 立方根本来就只有一个， 是正数时它的立方根自然是正数。 19．（6 分）已知 。 (1) 求出 的所有可能值； (2) 求出 的值。 【答案】(1) 或 ；(2) 或 。 (1) 由 可知， 是 的平方根。 因为 的平方根是 ，所以 或 。 (2) 当 时，； 当 时，。 所以 或 。 易错提醒：只解出 是最常见的漏解。把 看成一个整体，它平方之后等于 ，那么这个整体本身可以是 ，也可以是 ，两种情况都要写出来。 20．（5 分）已知 ，，。 (1) 分别求出 、、 的值； (2) 求 的值。 【答案】(1) ，，；(2) 。 (1) ； ； 因为 ，所以 。 (2) 。 易错提醒：小数开方容易把位数弄错。记住规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点只移动一位 —— 比 左移了两位，所以结果 比 左移一位。 21．（6 分）有同学认为：「任何数都有两个平方根。」 (1) 判断这个说法是否正确； (2) 举例说明你的判断。 【答案】(1) 不正确。(2) 负数没有平方根，例如 不存在平方根； 的平方根只有 一个；只有正数才有两个平方根，例如 的平方根是 。 (1) 这个说法不正确。 (2) 要按被开方数的类型分三类举例： 第一类，负数：没有平方根。例如 ，找不到任何一个实数，它的平方等于 （任何实数的平方都大于或等于 ），所以 没有平方根。 第二类，零： 的平方根只有 这一个，因为 ，而 与 是同一个数，谈不上「两个」。 第三类，正数：才有两个平方根，且它们互为相反数。例如 的平方根是 与 ，合写为 。 综上，「任何数都有两个平方根」把负数与 两种情况都说错了。 易错提醒：这类判断题最好举例，把三类各举一个数，答案就完整了。 22．（6 分）已知 。 (1) 把这个等式改写成不含根号的等式； (2) 求出 的值并检验。 【答案】(1) ；(2) 。 (1) 由立方根的定义， 等价于 ，即 。 (2) 移项得 ，所以 。 检验：把 代入，，，符合题意。 易错提醒：容易把 算成 （那是 ）。开立方要把根立方，不是平方。 23．（6 分）已知 。 (1) 说明为什么两个根号下的式子都只能等于 ； (2) 求出 的值。 【答案】(1) 两个非负数之和为 ，只能各自为 ；(2) 。 (1) 因为算术平方根永远大于或等于 ，所以 ，。两个非负数相加等于 ，只可能是它们各自都等于 （只要有一个是正的，和就一定大于 ）。 (2) 于是 ，得 ，即 ； ，得 ，即 。 所以 。 易错提醒：这条结论叫非负数的和为零，是本章最典型的拔高考法。看到根号相加等于 ，第一步永远是「令每个根号都等于 」。 24．（7 分）一个整数的平方根与立方根都是整数，且这个整数小于 。 (1) 写出所有小于 且立方根是整数的整数； (2) 从中找出平方根也是整数的那些，并说明理由。 【答案】(1) 、、、、；(2) 、、。 (1) 一个整数的立方根是整数，说明它是完全立方数。小于 的完全立方数有 个： ，，，，。 (2) 逐个检查它们的平方根是不是整数： 的平方根是 ，是整数，符合； 的平方根是 ，是整数，符合； 不是完全平方数（，， 夹在中间），不符合； 不是完全平方数（，），不符合； 的平方根是 ，是整数，符合。 所以满足条件的整数是 、、。 易错提醒：容易漏掉 和 这两个「不起眼」的答案， 的平方根与立方根都是 ， 的平方根是 、立方根是 。另外注意 的平方根是两个（），立方根只有一个（），它们并不是同一个数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1、3.3 平方根与立方根【专项基础卷】2026-2027 学年浙教版七年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 开平方是平方的逆运算，开立方是立方的逆运算，但它们的差异恰恰是失分最集中的地方 —— 一个正数有两个平方根且互为相反数，0 的平方根只有一个，负数没有平方根，而任何实数都有且只有一个立方根，负数的立方根是负数。。三个常见失分点：一是把算术平方根误写成 ± 形式；二是默认负数有平方根或认为立方根也不止一个；三是估算题错把本身的范围当成根的范围，正确的做法是先找出被开方数夹在哪两个相邻的完全平方数（或完全立方数）之间。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 2． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 3．下列说法正确的是（　　） A． 的平方根是 　B． 的平方根是 C． 的平方根是 　D．任何数都有两个平方根 4． 的值是（　　） A．　B．　C．　D．没有意义 5．下列各式中，表示「 的平方根」的是（　　） A．　B．　C．　D． 6．下列关于平方根与立方根的说法中，正确的是（　　） A．任何实数都有平方根　B．任何实数都有立方根 C． 的平方根与立方根相同　D．负数的立方根不存在 7． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 8． 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 9． 在哪两个连续整数之间？（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 10．若 ，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 的平方根是 　　　　　 。 12．若 ，则 ＝ 　　　　　 。 13．若 有意义，则 的取值范围是 　　　　　 。 14．对于任意实数 ，式子 　　　　　 意义（填「有」或「没有」）。 15． 在哪两个连续整数之间？答：在 　　　　　 与 　　　　　 之间。 16．比较大小： 　　　　　 （填「」「」或「」）。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）一个正方形花坛的面积是 平方米。 (1) 列出关于花坛边长 的方程； (2) 求出这个花坛的边长，并说明理由。 18．（5 分）一个正方体木箱的体积是 立方分米。 (1) 列出关于木箱棱长 的方程； (2) 求出这个木箱的棱长。 19．（6 分）已知 。 (1) 求出 的所有可能值； (2) 求出 的值。 20．（5 分）已知 ，，。 (1) 分别求出 、、 的值； (2) 求 的值。 21．（6 分）有同学认为：「任何数都有两个平方根。」 (1) 判断这个说法是否正确； (2) 举例说明你的判断。 22．（6 分）已知 。 (1) 把这个等式改写成不含根号的等式； (2) 求出 的值并检验。 23．（6 分）已知 。 (1) 说明为什么两个根号下的式子都只能等于 ； (2) 求出 的值。 24．（7 分）一个整数的平方根与立方根都是整数，且这个整数小于 。 (1) 写出所有小于 且立方根是整数的整数； (2) 从中找出平方根也是整数的那些，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $