第三章 实数能力提升自测卷-《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第三章 实数能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．9的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．在实数0、、、3中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 3．下列说法正确的是（） A．9的平方根是3 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是2 D．5的平方根是25 4．若正方形的面积为10，以它的边长为半径，数轴上表示数1的点为圆心，这个圆与数轴交于A、B两点，下列各数中不在线段上的数是（     ） A．3 B． C．2 D． 5．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 7．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 8．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 10．定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若为正整数，且满足，的值是_____． 12．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 13．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 14．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 17．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 18．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 19．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 20．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 21．探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．9的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2．在实数0、、、3中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：，，， ∴ 最小的数在与中， ∵， ∴ ， ∴ 最小的数是． 3．下列说法正确的是（） A．9的平方根是3 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是2 D．5的平方根是25 【答案】C 【详解】解：A．9的平方根是，故A错误． B．负数有一个负的立方根，故B错误． C．， 又的算术平方根是， 的算术平方根是，故C正确． D．5的平方根是，故D错误． 4．若正方形的面积为10，以它的边长为半径，数轴上表示数1的点为圆心，这个圆与数轴交于A、B两点，下列各数中不在线段上的数是（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由正方形面积得其边长，即可得到圆的半径，估算无理数范围确定线段的取值区间，进而判断选项． 【详解】解：设正方形边长为， ∵正方形面积为10， ∴， ∵， ∴，即圆的半径为． ∵圆心在数轴上表示数1的点， ∴圆与数轴的交点，对应的数为和． ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理． ∵， ∴不在线段上． 5．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 算术平方根的结果为非负数， ∴，A错误； ，C错误； ，D错误； ∵负数的立方根是负数， ∴，B正确． 6．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，由对称性得出，利用点表示的数减去的长即可求出点表示的数． 【详解】解：∵点、表示的数分别为和， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 7．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 8．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的， 说法①正确，符合题意； 无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分， 说法②错误，不符合题意； 立方根等于它本身的数有和0，共3个， 说法③错误，不符合题意； 的平方根是，用式子表示是， 说法④错误，不符合题意． 9．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知算式推导通用规律，再将原式按规律化简后分组计算，即可得到结果． 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 10．定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 【答案】B 【分析】根据的定义，推导 时的取值范围，计算相同对应的项数和部分和，逐步累加得到总和为时的． 【详解】根据定义，若 ，则 ，即 ，满足条件的共有 个，每个项的值为，这部分的和为 ． 逐步累加计算： 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为 ，对应最大； ，还差 ，下一项时， ，累加后总和为 ，符合要求， ． 故选：B. 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 12．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出的值，再计算的立方根即可. 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 13．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 14．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根、立方根、绝对值，进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的立方根，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根与立方根的定义列二元一次方程组求出的值，再利用二次根式的估算得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得  ， ， ， ， 的平方根是 的平方根是． 17．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式求出的长，进而求出的长，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）求出长方形的面积，再减去两个正方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴， ∴， ∴长方形的周长； （2）解：， ∴图形中阴影部分的面积为． 18．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 19．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．实际上，广播电视塔高（单位：）与广播电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．其中甲、乙两个广播电视塔的高分别是，． (1)求甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比，并化简； (2)若，，如图，两个广播电视塔距离城市都是，请结合计算说明城市能否同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【答案】(1)； (2)城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 【分析】（）列出式子，然后化简即可； （）当，，时，分别代入求解，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：甲、乙两个广播电视塔的传播半径之比为：； （2）解：当，，时， ∴，， ∵，， ∴城市能同时接收到两个广播电视塔发出的电视节目信号． 20．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)24或 【分析】本题考查了立方根及算术平方根， （1）根据题意求出即可； （2）分情况讨论即可； （3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数对的开方对称数对为； （2）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 此时无意义，故舍去； ②， 解得； 综上，； （3）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 解得， ∴； ②， 解得； ∴； 综上，的值为24或． 21．探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2) 点M即为所求， (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $