第4章 因式分解能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

第4章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 根据平方差公式因式分解的结构特征（两个平方项的差）来判断选项． 【详解】解：∵平方差公式因式分解的式子形式为， A选项是平方和，不符合该形式； B选项符合的形式； C选项，本质是平方和的相反数，不符合； D选项无平方差结构，不符合； 故选：B． 2．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 3．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 4．下列式子变形是正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 根据因式分解的定义逐个判断即可 【详解】解：A．等式右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式不成立，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 当时，， 即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416． ∴他设置的密码可能是121416． 故选：D 6．已知，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，由已知等式可得的值，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 【答案】C 【分析】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先对给定表达式进行因式分解，提取公因式后利用平方差公式分解，得到四个因式，再根据密码手册中的对应关系找出对应的汉字，组合后与选项对比． 【详解】解：∵ 原式   ， 又∵ 对应“我”， 对应“爱”， 对应“宜”， 对应“春”， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱宜春”， 故选：C． 9．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 10．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 由已知可得，然后通过变形以及整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 11．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 12．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，先求出、、……，找到规律表示出的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第个整式，再对题目中的结论逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第2024个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．多项式因式分解的结果是__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 14．若，则的值为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 提取公因式，得， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 16．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 19．（8分）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】‘ 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据提公因式法判断即可； （2）根据平方差公式和提公因式法计算即可； 【详解】（1）解：利用了提公因式法； 故选． （2）解：有其他解法，解法如下： 原式 ． 20．（8分）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 21．（10分）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 【答案】(1)用上述方法生成的密码为； (2)完整的密码为． 【分析】本题考查因式分解，已知字母的值，求代数式的值． （1）分解因式为，将代入各因式，将因式码按从小到大的顺序排列即可； （2）分解因式为，根据题意可得，可得，分别代入，，将因式码按从小到大的顺序排列，即可得完整的密码． 【详解】（1）解： ， 当时，，， 因式码为，，， ∴将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码． （2）解： ， ∵为正整数， ∴为偶数， 又∵，第一个因式码为11， ∴， ∴， ∴，， ∴完整的密码为． 22．（10分）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是通过凑项构造完全平方式，利用平方数的非负性进行因式分解、求最值及大小比较． （1） 根据完全平方公式 ，对于 ，，得 ，故常数项为 ． （2） 将 凑成 ，再用平方差公式分解． （3）计算 ，配方后利用平方数的非负性判断符号． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故答案为：． （2）解： ； （3） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 23．（10分）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大1，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，即可根据规律解答． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ； ； ． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为时，得数的次数应该为， ． 故答案为：． （3）原式 ． 故答案为： 24．（10分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3． (1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数． (2)能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 【答案】(1)575 (2)能．理由见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中、为整数． （1）将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案； （2）找到规律：设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中、为整数，即可得当，时，，然后求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 取3和11， ， 取11与47， ， 扩充的最大新数575； （2）解：5183可以扩充得到． ， ， 取数、可得新数 ， 即， 同理可得， ， 设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中、为整数， 当，时，， 又， 故5183可以通过上述规则扩充得到． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列式子变形是正确的因式分解的是（    ） A． B． C．D． 5．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 6．已知，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 9．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 10．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 12．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．多项式因式分解的结果是__________． 14．若，则的值为__________． 15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 16．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）因式分解： (1) (2) 18．（8分）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 19．（8分）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 20．（8分）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 21．（10分）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 22．（10分）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 23．（10分）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 24．（10分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3． (1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数． (2)能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $