3.3-3.4 立方根与实数的混合运算（知识解读）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

3.3-3.4 立方根与实数的混合运算（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的立方根】 2 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 2 【题型 3·与立方根有关的规律探索】 2 【题型 4·立方根的实际应用】 3 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 4 【题型6 实数的混合运算】 5 【题型7 实数运算的实际应用】 6 【随堂检测】 7 知识点1 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 1·求一个数的立方根】 【典例1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 【变式1-2】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则的值为：（    ） A．16 B．24 C．64 D．256 【变式2-3】若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型 3·与立方根有关的规律探索】 【典例3】已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【变式3-1】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【变式3-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【变式3-3】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【题型 4·立方根的实际应用】 【典例4】一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式5-1】已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【变式5-2】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【变式5-3】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【题型6 实数的混合运算】 【典例6】计算： (1) (2) 【变式6-1】计算： (1)； (2)． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【题型7 实数运算的实际应用】 【典例7】如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【变式7-1】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【变式7-2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【变式7-3】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 随堂检测 【随堂检测】 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列结论中，正确的是（     ） A．0.09的平方根是0.3 B．16的平方根是 C．0没有立方根 D．1的立方根等于 3．算式被遮住了一部分，则被遮住的部分是（    ） A． B． C． D． 4．受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．的立方根与4的算术平方根的和是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 6．的立方根是____________，的平方根是____________． 7．的立方根是________； 8．已知，，，则___________． 9．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 10．计算 (1) (2) 11．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 12．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3-3.4 立方根与实数的混合运算（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1·求一个数的立方根】 2 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 3 【题型 3·与立方根有关的规律探索】 4 【题型 4·立方根的实际应用】 6 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 8 【题型6 实数的混合运算】 10 【题型7 实数运算的实际应用】】 12 【随堂检测】 15 知识点1 立方根 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型 1·求一个数的立方根】 【典例1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 【变式1-1】的立方根是（     ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 【变式1-2】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再计算的立方根得到结果． 【详解】解：∵，，又， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为，即的立方根为. 【变式1-3】若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 【题型2·已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 【变式2-1】若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 【变式2-2】若，则的值为：（    ） A．16 B．24 C．64 D．256 【答案】C 【分析】根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 【变式2-3】若，，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 当，时，， 当，时，， 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【题型 3·与立方根有关的规律探索】 【典例3】已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 【变式3-1】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 【变式3-2】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 【变式3-3】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 【题型 4·立方根的实际应用】 【典例4】一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知正方体体积求棱长，利用体积与棱长的立方关系开立方求解即可． 【详解】解：， 故该正方体储物盒的棱长是． 【变式4-1】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【详解】解：∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为． 【变式4-2】如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 【变式4-3】如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】A 【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相邻整数的立方之间即可得到解． 【详解】解：正方体的体积为棱长的三次方， 该正方体铁块的棱长为， ，，， 该正方体铁块的棱长位于3和4之间． 【题型5·算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 【变式5-1】已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式5-2】已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 【变式5-3】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【题型6 实数的混合运算】 【典例6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算乘方、算术平方根，再去绝对值符号，最后合并计算； （2） 先计算开方，再去绝对值符号，最后合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型7 实数运算的实际应用】】 【典例7】如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 【变式7-1】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【变式7-2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【变式7-3】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 随堂检测 【随堂检测】 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解： ， 的立方根是． 2．下列结论中，正确的是（     ） A．0.09的平方根是0.3 B．16的平方根是 C．0没有立方根 D．1的立方根等于 【答案】B 【详解】解：的平方根是，的平方根是，故A错误，B正确， 的立方根是，的立方根是，故C、D错误． 3．算式被遮住了一部分，则被遮住的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴被遮住的部分是． 4．受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得正方体的棱长为， ∵， ∴， 即正方体物块的棱长位于3和4之间． 5．的立方根与4的算术平方根的和是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】此题考查立方根和算术平方根，解题的关键是准确的求出其立方根和算术平方根再求其和． 分别求出的立方根与4的算术平方根，再把它们相加即可． 【详解】∵的立方根为，4的算术平方根为2， ∴的立方根与4的算术平方根的和为：． 故选：D． 6．的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 / 【详解】解：∵， ∴0.064的立方根是0.4． ∵；， ∴9的平方根是， 即的平方根是． 7．的立方根是________； 【答案】 【分析】先计算的值，再求所得结果的立方根即可． 【详解】解：， ， 的立方根是， 即的立方根是． 8．已知，，，则___________． 【答案】 【分析】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， . 9．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 10．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴， ∴的平方根为． 12．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗）．球的体积公式是，其中r是球的半径，求融合后大球的半径．（结果保留根号） 【答案】融合后大球的半径为 【分析】根据融合前后总体积不变的等量关系，结合球的体积公式列等式求解大球半径． 【详解】解：融合过程无损耗，总体积不变， 大球体积等于两个小球的体积之和． 设融合后大球的半径为R， ∵两个小球半径分别为，， ∴ 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $