3.2 从有理数到实数 《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年浙教版七年级数学上册

3.2 从有理数到实数（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.无理数的定义】 1 【题型 2·无理数的大小估算】 3 【题型 3·无理数整数部分的有关计算】 4 【题型4 实数概念的理解】 6 【题型·5·实数的分类】 7 【题型 6·实数的性质】 8 【题型·7·实数与数轴】 9 【题型·8·实数的大小比较】 11 【随堂检测】 12 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型·1.无理数的定义】 【典例1】在，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可． 【详解】解：是整数，是有限小数，是循环小数，是分数，均为有理数， ，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数，共3个． 【变式1-1】下列各数中，属于无理数的是（        ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 0，是整数，是分数，均为有理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 【变式1-2】下列实数中是无理数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简含运算的数，再根据无理数的定义判断各数即可． 【详解】解： 是分数， 是无限循环小数，是整数，均属于有理数；是无限不循环小数，是无理数． 【变式1-3】在、、、、这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，判断各数是否为无理数． 【详解】解：，，均为有理数； ，均为无理数． 无理数共有个． 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】已知，且，则的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解： ，，，， ， 故选：C． 【变式2-1】如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】估算出实数的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即表示实数的点在2和3之间， ∴数轴上表示实数的点可能是Q． 【变式2-2】将3，，用不等号连接起来为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法将无理数比较转化为有理数比较，结合的近似值排序． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2-3】已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】D 【分析】本题根据已知平方数确定的范围，结合题目给出的不等式即可求出整数的值，用到正数大小比较与算术平方根大小比较的关系：若正数，则． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ． ∵ ，且为整数， ∴ ． 【题型 3·无理数整数部分的有关计算】 【典例3】已知、为两个连续的整数，且，则（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过估算无理数的大小，利用平方数比较得到的范围，进而求出和的值，计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， ∵、为两个连续的整数，且， ∴，， ∴ ． 【变式3-1】的整数部分是a，的整数部分是b，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，正确估算是解答本题的关键．通过估算求出a、b的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的整数部分是a， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的整数部分是b， ∴ ∴． 【变式3-2】满足的整数x有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的估算，先估算，，然后根据取值范围写出符合的整数即可解题． 【详解】解：∵，， ∴满足的整数x为，共4个， 故选D． 【变式3-3】与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算的取值范围，然后进行计算比较即可，能够掌握无理数估算的方法，正确估算出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴最接近的整数， 故选：． 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4 实数概念的理解】 【典例4】实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义即可直接求出结果． 【详解】解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ． 【变式4-1】下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负数小于判断即可． 【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，不是负数，故A选项不符合题意； B选项：，是正数，故B选项不符合题意； C选项：，是负数，故C选项符合题意； D选项：，是正数，故D选项不符合题意． 【变式4-2】实数的绝对值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据正数的绝对值是它本身即可得出结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知， 是正实数，正数的绝对值等于它本身， 【变式4-3】高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的倒数为． 【题型·5·实数的分类】 【典例5】在实数，，，中，有理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的概念和无理数的概念分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数． 【变式5-1】下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故A不符合题意； B．是整数，属于有理数，故B不符合题意； C．是无理数，故C符合题意； D．是分数，属于有理数，故D不符合题意． 【变式5-2】在下列数，5，0，，，，，中，是负分数的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】负分数需同时满足两个条件：①是小于0的负数；②属于分数范畴，分数包含有限小数、无限循环小数、可转化为分数形式的百分数，无限不循环小数属于无理数，不属于分数． 【详解】解：给定数中的负数有，，，，． 是负整数，是无限不循环小数，属于无理数，均不属于负分数； 是负带分数，是负无限循环小数，是负有限小数，均属于负分数． 所以，负分数有3个． 【变式5】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 【题型 6·实数的性质】 【典例6】的绝对值是_____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式6-1】的相反数是_______． 【答案】 【分析】根据相反数知识直接作答即可． 【详解】解：的相反数是． 【变式6-2】的相反数是___________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，对原数添加负号后化简即可得到结果． 【详解】解：∵ 求一个数的相反数，只需在这个数的整体前添加负号， ∴ 的相反数为：． 【变式6-3】的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 【答案】 【分析】根据相反数定义，倒数的定义，平方根的定义，依次计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，因为，所以的倒数是； 因为，且的平方根是，因此的平方根是． 【题型·7·实数与数轴】 【典例7】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵顶点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为． 【变式7-1】如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知，点所表示的数与最接近． 【变式7-2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 【变式7-3】如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A与点B到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， ∵数轴上点A表示的数是， ∴点B表示的数是. 【题型·8·实数的大小比较】 【典例8】比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，将整数化为二次根式后比较被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵两个分数的分母都是，且均为正数， ∴只需比较分子和的大小， ∵，且， ∴， ∴． 【变式8-1】比较大小：______（用“>”、“＝”或“<”填空） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小． 【详解】，，且， ． 【变式8-2】比较大小：_______2．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据无理数的估算，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间0的个数逐次增加1） 【答案】D 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、（每两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 2．下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先按正负分类缩小范围，再通过比较绝对值确定两个负数的大小． 【详解】解：∵，，，， ∴最小数为与中的较小者， ∵，，， ∴． 3．关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．它可以表示面积为13的正方形的边长 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．13的平方根是 【答案】D 【详解】解：A选项，设正方形边长为，由面积为13得，（边长为正），说法正确； B选项，是开方开不尽的数，属于无理数，说法正确； C选项，∵，，，∴，∴整数，说法正确； D选项，13的平方根为和，是13的算术平方根，该说法错误． 4．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应即可得答案. 【详解】解：根据数轴上的点与实数一一对应，即可得D正确. 5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴点A处所表示的数为． 6．设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相邻正整数的平方，对比33与这些平方值的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】因为5的平方是25，即，6的平方是36，即，且． 对这个不等式的所有部分同时开算术平方根，不等号方向不变，则， 也就是，即． 7．比较大小：______9（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【详解】解：由， ∵， ∴． 8．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则______． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，推导得到的范围，再根据题目定义求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵表示实数的整数部分， ∴． 9．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 10．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 从有理数到实数（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.无理数的定义】 1 【题型 2·无理数的大小估算】 2 【题型 3·无理数整数部分的有关计算】 2 【题型4 实数概念的理解】 3 【题型·5·实数的分类】 3 【题型 6·实数的性质】 4 【题型·7·实数与数轴】 4 【题型·8·实数的大小比较】 5 【随堂检测】 5 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【题型·1.无理数的定义】 【典例1】在，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列各数中，属于无理数的是（        ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】下列实数中是无理数的为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在、、、、这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】已知，且，则的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2-1】如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】将3，，用不等号连接起来为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【题型 3·无理数整数部分的有关计算】 【典例3】已知、为两个连续的整数，且，则（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【变式3-1】的整数部分是a，的整数部分是b，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】满足的整数x有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】与实数最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型4 实数概念的理解】 【典例4】实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】实数的绝对值是（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-3】高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【题型·5·实数的分类】 【典例5】在实数，，，中，有理数是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】在下列数，5，0，，，，，中，是负分数的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【题型 6·实数的性质】 【典例6】的绝对值是_____________． 【变式6-1】的相反数是_______． 【变式6-2】的相反数是___________． 【变式6-3】的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 【题型·7·实数与数轴】 【典例7】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式7-2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 【题型·8·实数的大小比较】 【典例8】比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【变式8-1】比较大小：______（用“>”、“＝”或“<”填空） 【变式8-2】比较大小：_______2．（填“”“”或“”） 【变式8-3】比较大小：______（填“”，“”或“”）． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间0的个数逐次增加1） 2．下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 3．关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．它可以表示面积为13的正方形的边长 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．13的平方根是 4．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 6．设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 7．比较大小：______9（填“>”、“<”或“=”）． 8．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则______． 9．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 10．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $