3.2从有理数到实数（分层作业，16大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 3.2 从有理数到实数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 无理数——无理数的识别 题型02 无理数——无理数的估算 题型03 实数的理解 题型04 实数的性质 题型05 实数与数轴 题型06 在数轴上表示实数 题型07 实数的大小比较 B组 能力进阶 题型01 无理数——大小比较问题 题型02 无理数——无理数的整数部分和小数部分 题型03 实数的分类 题型04 实数的混合运算 题型05 实数与实际应用 C组 思维拔高 题型01 无理数——材料阅读探究问题 题型02 实数与数轴上的动点问题 题型03 实数与新定义问题 题型04 与实数运算相关的规律题 无理数——无理数的识别题型01 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）中国古代工匠在建造正方形建筑时，对角线长度与边长的比值为，该比值属于（   ） A．有理数 B．无理数 C．整数 D．百分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数分为无理数（无限不循环小数）和有理数（整数和分数）求解即可． 【详解】属于无理数． 故选：B． 2．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； B．选项是分数，属于有理数，不符合要求； C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求； D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列各数，，，，，中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，解答此题时要注意是无理数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案． 【详解】解：在实数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数有，（每两个“2”之间依次多一个“1”，共2个． 故选：B． 4．四个数－1，0，，中，为无理数的是_________． 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：－1，0，是有理数； 是无理数； 故答案为：． 【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 5．已知实数x，y满足，试判断是有理数还是无理数。 【答案】当，时，是有理数；当，时，是无理数 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：依题意得： ∴． ∴ 当，时，原式是有理数 当，时，原式是无理数 【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，无理数，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题的关键． 无理数——无理数的估算题型02 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在2和3之间． 故选：C 2．如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，利用“夹逼法”得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵M，N表示两个连续整数，且A在M、N之间， ∴点N表示的数是4， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若的整数部分为a，的整数部分为b，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解此题的关键．先求出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，， ，． 的整数部分为3，的整数部分为2． ，． ． 故答案为：5． 4．对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为______． 【答案】624 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴对624进行两次操作后可变为4， 又∵，， ∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624， 即的最大值为624． 故答案为：624． 5．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 【答案】(1)无理数 (2)的整数部分是3 (3)将精确到十分位的值是 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解. 【详解】（1）解：依题意， ∴． ∴（负值已舍去）是无理数． （2）解：由题意，得， ∴． ∵， 即 即的整数部分是3． （3）解：∵， ∴． 又∵， ∴， 即将精确到十分位的值是． 实数的理解题型03 1．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 4．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________ 【答案】②④##④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 5．在“有理数及其运算”一章中曾把整数和分数统称为有理数．学习了本章后，你对有理数的概念有哪些新的认识？请将你的认识写成一篇小短文． 【答案】学习实数后对有理数概念的新认识： 在“有理数及其运算”的入门学习里，我最初只简单记住了“整数和分数统称为有理数”的定义，把有理数当成一类可以直接写出明确整分形式的数．但学完实数章节后，我对有理数的概念有了更立体、更本质的全新理解： 首先是摸到了有理数的“本质内核”，跳出了最初的表层分类．以前我以为只有明明白白写成整数（比如、0、5）或者两个整数比的分数形式（比如​、）才是有理数，现在才明白有理数的核心属性是“可以表示为两个互质整数的比值（分母不为0）”．哪怕是看起来无限的数，只要它能写成这种整数比的形式，依然属于有理数——比如以前我误以为无限循环小数是“没完没了的无理数”，现在才知道、这类无限循环小数，都可以通过代数方法转化为分数，这就把有理数的边界从“有限的整、分数”拓展到了所有循环的无限小数． 其次是在整个实数大家族的参照下，看清了有理数的“位置特性”．以前我对数的认知只停留在有理数的范围里，以为数轴上的点全都是有理数，有理数是密密麻麻填满整条直线的．但引入无理数之后我才发现，有理数其实只是实数轴上的“稀疏子集”：虽然任意两个有理数之间都能找到无数个其他有理数，但它们中间还插着无穷多不能表示为整数比的无理数，比如边长为1的正方形的对角线长度、圆周率这些，有理数和无理数互相交织，才把整条数轴完全填满． 最后我也重新理解了有理数的运算属性．以前我只知道有理数做加减乘除（除数不为0）结果还是有理数，现在才明白这种“封闭性”是有理数集非常关键的特点：哪怕你做有限次的四则运算，永远都跳不出有理数的范围，只有引入开方、取特定常数这类新运算，才会跨进无理数的领域．而且有理数的稠密性、有序感，也让它成为我们理解更复杂的实数、甚至后续虚数的基础——我们日常计量用到的几乎所有数值，比如称重、测距的结果，本质上都是用有理数近似得到的，它既是我们认识数的起点，也是连接抽象数学和现实应用的重要桥梁．这次对有理数的重新认知，也让我意识到数学概念从来不是固定不变的标签，随着数系不断拓展，我们总能从旧概念里挖出全新的内涵． 【详解】略 实数的性质题型04 1．实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义即可直接求出结果． 【详解】解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ． 2．实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断的正负性，然后根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，掌握其意义是解题的关键． 3．（2025·湖北·模拟）已知实数满足、则实数   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．的相反数是______，的倒数是______，______． 【答案】 ## 【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化简绝对值进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的相反数是，的倒数是，， 故答案为：，，． 5．求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，，，，0． 【答案】相反数分别为：，，，，0；绝对值分别为：2.5，，，，0． 【分析】根据实数的性质，分别求相反数与绝对值即可． 【详解】2.5，，，，0的相反数分别为：，，，，0； 2.5，，，，0的绝对值分别为：2.5，，，，0． 【点睛】本题考查了实数的性质，相反数与绝对值的意义，掌握相反数与绝对值的意义是解题的关键． 实数与数轴题型05 1．如图，在数轴上表示的点A到原点的距离是（    ） A．-1.5 B．1.5 C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值解答． 【详解】∵OA=， ∴数轴上表示的点A到原点的距离是． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义及算法是解决此类问题的关键． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数轴可得点P表示的数大于且小于，再根据无理数的估算方法可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，点P表示的数大于且小于， ∵， ∴， ∴， ∴点P表示的数可能是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 【答案】## 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 4．在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 【答案】(1) (2)11， 【分析】借助数轴和对称求解实数. 【详解】（1）解：因为对应的点与2对应的点重合，和2互为相反数， 所以这两点关于原点对称， 所以对应的点与数对应的点重合． 故答案为： （2）解：因为对应的点与3对应的点重合，所以这两点关于1对称， 因此1对应的点到7的距离和到所求的数对应的点距离相等. 所以7对应的点与对应的点重合. 同理可得：对应的点与对应的点重合. 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的相关知识，解决问题的关键是熟练掌握利用数轴以及对称求解实数． 5． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 在数轴上表示实数题型06 1．如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】估算出实数的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即表示实数的点在2和3之间， ∴数轴上表示实数的点可能是Q． 2．在数轴上表示,，,0，并把它们用“<”连接起来. 用“＜”号把它们连接(填在横线上)： . 【答案】＜0＜＜ 【详解】如图所示: 故答案为:＜0＜＜ 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． 【答案】 用数轴表示如下： 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可． 【详解】解：， 用“<”连接：． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来． ，，，，． 【答案】 各数在数轴上表示如下： ∴． 【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化简能够化简的各数，再在数轴上表示即可． 【详解】解：∵，，． 5．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1)表示的数为：，点在0和1两个连续整数之间． (2)，，表示的点如下图所示： 【分析】（1）先利用勾股定理求出半径长度，因为点A表示-1且E在A右侧，所以点E的数为A表示的数加半径长；再通过估算无理数的大小，判断该数所在的连续整数区间。 （2）先数出剪拼前图形的面积，因为剪拼前后面积不变，所以正方形边长为面积的算术平方根，先构造长度为的线段，以数轴上表示的点为圆心、为半径画弧，因为，所以弧与数轴正半轴的交点即为表示的点． 【详解】（1）解：边长为1的正方形，由图1可得对角线长为，即， 已知点表示，点在点右侧，因此点表示的数为：， 估算：，则，因此点在0和1两个连续整数之间． （2）解：因为剪拼前后面积不变，每个小正方形面积为， 甲剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为5，因此边长为， 乙剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为，因此边长为， 由图3可知，构造直角边为1和2的直角三角形，得到斜边长， 以这个点为圆心、为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点． 实数的大小比较题型07 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可． 【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，， ∴，故AB错误，C正确； 根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键． 2．三个数，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”解答即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 3．已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 【答案】A 【分析】本题考查数的大小比较． 先估算，再进行比较即可． 【详解】解：，，， ∴． 故选A． 4．已知实数、、满足，则、、的大小关系为__________．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），． (1)写出以上所有的有理数； (2)写出以上所有的无理数； (3)把这些数按从小到大的顺序排列起来． 【答案】(1) (2)，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0） (3)（每相邻两个2之间依次多1个0） 【分析】本题考查实数的分类，实数比较大小： （1）有理数包括整数、分数，其中无限循环小数可以写成分数的形式，也是有理数； （2）无限不循环小数为无理数； （3）正数大于0，0大于负数，由此可解． 【详解】（1）解：有理数：． （2）解：无理数：，0.2020020002⋯（每相邻两个2之间依次多1个0）． （3）解：（每相邻两个2之间依次多1个0）． 无理数——大小比较问题题型01 1．的值是（    ）． A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质化简，然后合并即可； 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及实数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 2．计算：________． 【答案】## 【分析】根据特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值以及绝对值的意义是解题的关键． 3．下列四个数中，比1小的正无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较实数的大小，有理数和无理数以及无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵是有理数， ∴选项A不符合题意； ∵是负数， ∴选项B不符合题意； ∵是比1小的正无理数， ∴选项C符合题意； ∵是比1大的正无理数 ∴选项D不符合题意， 故选：C． 4．（25-26七年级上·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）比较下列两个数的大小：______． 【答案】 【分析】本题考查无理数比较大小，由，可得，即可求解；掌握无理数大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 无理数——无理数的整数部分和小数部分题型02 1．比较与2.5的大小．你是怎么做的？ 【答案】解：． ∵，，，， 又∵， ∴． 【详解】略 2．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．若的整数部分为，小数部分为，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】估算出的整数部分和小数部分，确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，即， 所以的整数部分是2，小数部分是， 即，， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，求出的整数部分和小数部分是解决问题的关键． 4．（26-27八年级上·河南鹤壁·联考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 5．已知小数部分为，为小数部分为，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据可得，，再相加即可求解，熟练掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，， ， 故答案为：1． 实数的分类题型03 1．（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 2．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 【答案】（1）；（2）①；②当是5的倍数时，的值为24或31. 【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可； （2）①根据表示的小数部分可得m的取值范围； ②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入中计算即可. 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴的小数部分是； （2）①∵表示的小数部分， ∴3＜＜4， ∴； ②∵且是5的倍数， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上，当是5的倍数时，的值为24或31. 【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解题的关键. 3．（2026·广西梧州·二模）下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负数小于判断即可． 【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，不是负数，故A选项不符合题意； B选项：，是正数，故B选项不符合题意； C选项：，是负数，故C选项符合题意； D选项：，是正数，故D选项不符合题意． 4．在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 【答案】 【分析】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 【详解】解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 5．把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 【答案】(1)，0， (2)，，，（两个1之间依次多一个6） 【分析】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数，无限不循环小数叫无理数． （1）进行分类之前，先对某些数进行计算或化简，然后再根据有理数的定义进行分类． （2）根据无理数的定义进行分类． 【详解】（1）解：， 有理数：，0，； （2）无理数：，，，（两个1之间依次多一个6）． 实数的混合运算题型04 1．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，π，，2022，，1.080080008…． (1)负数集合：{ …}； (2)整数集合：{ …}； (3)分数集合：{ …}； (4)无理数集合：{ …}． 【答案】(1)，，， (2)，0，2022 (3)，，， (4)π，1.080080008… 【分析】（1）根据正数前面加上“”的数是负数选择即可；（2）根据正整数，0，负整数选择即可；（3）根据正分数、负分数选择即可；（4）根据无理数是无限不循环小数选择即可． 【详解】（1）负数集合：｛，，， ， …｝； （2）整数集合：｛， 0， 2022， …｝； （3）分数集合：｛， ，， ， …｝； （4）无理数集合：｛π， 1.080080008…， …｝． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，解决问题的关键是熟练掌握负数的定义，整数的定义，分数是定义，无理数的定义． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 实数与实际应用题型05 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)能， 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴， ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． （2）略 2．（24-25七年级下·北京·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小兴同学的想法不可行， 设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行． 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】略 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为的正方形空地，现打算将正方形的空地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽的比为6：5． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)请问能改造出这样的长方形场地吗，如果能，若将正方形场地的铁栅栏围墙全部利用围成新场地的长方形围墙，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)长方形场地的长和宽分别为米、米 (2) 能改造，原铁栅栏够用，设正方形边长为，则， 解得：或（舍）， ， ∴， ∴能改造出这样的长方形场地 原正方形周长为120米， 新长方形的周长为， ， ∴ 栅栏够用， 答：能改造出这样的长方形场地，这些金属栅栏够用． 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数的大小比较，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． （1）设长方形场地长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出的值，进而可知长方形长与宽； （2）比较长方形的长与原正方形的边长即可判断能否改造，由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】（1）解：设长方形场地长为米，则其宽为米，根据题意， 得：， 解得：或（舍）， 长，宽， 答：改建后的长方形场地的长和宽分别为米、米； （2）略 4．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 5．某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱． (1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？ (2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由． 【答案】(1)这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，， (2)这名员工的想法能实现， 设甲正方体物品棱长为，乙正方体物品棱长为， 由题意得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∵ ∴，长方体纸箱长满足条件， ∵， ∵， ∴，长方体纸箱宽、高均满足条件， ∴这名员工的想法能实现． 【分析】本题考查了长方体的表面积，正方形的面积，平方根的应用，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键． （1）设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为，根据长方体的底面积等于长宽列方程，求解即可； （2）根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱． 【详解】（1）解：设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 则 答：这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，，． （2）略 无理数——材料阅读探究问题题型01 1．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】(1)12 (2) ， ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 所画示意图如下： 如图，可得图中正方形的面积为：， ∵，可忽略， 于是得， 解得， ∴． 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）利用算术平方根估计的大小，即可得到的整数部分； （2）类比于题干的求解过程，画出图形求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分为12； 故答案为：12； （2）略 3．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】（1），； （2）①如图所示，； ②如图所示： 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数 （2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：，； （2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 故答案是：； ②略 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 【答案】(1)证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是5的倍数， 也是5的倍数， 是5的倍数． 设（是正整数），则，即， 也是5的倍数． 都是5的倍数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数； (2) (3) 【分析】（1）仿照例题证明即可求解； （2）根据材料提示，分别求出整数部分和小数部分，即可求解； （3）分别求出，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即的整数部分，小数部分， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2) 解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）略 实数与数轴上的动点问题题型02 1．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数的点向右滚动一周到点N，则点N表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．先计算圆的周长，再根据左减右加即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，圆的周长为π， 则点N表示的无理数为． 故选A． 2．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 3．如图，半径为的圆周上有一点M落在数轴上点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点所处的位置在两个连续整数之间，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点一一对应．明确点M新位置表示的数是解题的关键．根据圆的周长公式算出M点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点M新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案． 【详解】解：， ∵， ∴在和之间， ∴， ∴， 的平方根为． 故选：D． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数_____． 【答案】## 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律得到点对应的数即可． 【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点， ∴点表示的数为． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 实数与新定义问题题型03 1．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 2．（25-26七年级·广东·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 【答案】 【分析】根据的定义，先估算的大小范围，再分别求出两个取整结果，求和即可得到答案. 【详解】解：，， ， 根据定义可得， 又， 因此不超过的最大整数为， 即， . 3．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______ ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②##②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 4．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 5．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 与实数运算相关的规律题题型04 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 【答案】1979 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 5．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2) 输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）略 （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 从有理数到实数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 无理数——无理数的识别 题型02 无理数——无理数的估算 题型03 实数的理解 题型04 实数的性质 题型05 实数与数轴 题型06 在数轴上表示实数 题型07 实数的大小比较 B组 能力进阶 题型01 无理数——大小比较问题 题型02 无理数——无理数的整数部分和小数部分 题型03 实数的分类 题型04 实数的混合运算 题型05 实数与实际应用 C组 思维拔高 题型01 无理数——材料阅读探究问题 题型02 实数与数轴上的动点问题 题型03 实数与新定义问题 题型04 与实数运算相关的规律题 无理数——无理数的识别题型01 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）中国古代工匠在建造正方形建筑时，对角线长度与边长的比值为，该比值属于（   ） A．有理数 B．无理数 C．整数 D．百分数 2．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列各数，，，，，中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．四个数－1，0，，中，为无理数的是_________． 5．已知实数x，y满足，试判断是有理数还是无理数。 无理数——无理数的估算题型02 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若的整数部分为a，的整数部分为b，则______． 4．对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为______． 5．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 实数的理解题型03 1．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 3．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 4．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________ 5．在“有理数及其运算”一章中曾把整数和分数统称为有理数．学习了本章后，你对有理数的概念有哪些新的认识？请将你的认识写成一篇小短文． 实数的性质题型04 1．实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 2．实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟）已知实数满足、则实数   ） A． B．2 C． D． 4．的相反数是______，的倒数是______，______． 5．求下列各数的相反数与绝对值： 2.5，，，，0． 实数与数轴题型05 1．如图，在数轴上表示的点A到原点的距离是（    ） A．-1.5 B．1.5 C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 4．在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 5． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 在数轴上表示实数题型06 1．如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 2．在数轴上表示,，,0，并把它们用“<”连接起来. 用“＜”号把它们连接(填在横线上)： . 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来． ，，，，． 5．（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 实数的大小比较题型07 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．三个数，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 4．已知实数、、满足，则、、的大小关系为__________．（用“”连接）． 5．已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），． (1)写出以上所有的有理数； (2)写出以上所有的无理数； (3)把这些数按从小到大的顺序排列起来． 无理数——大小比较问题题型01 1．的值是（    ）． A． B．1 C． D． 2．计算：________． 3．下列四个数中，比1小的正无理数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期中）比较下列两个数的大小：______． 无理数——无理数的整数部分和小数部分题型02 1．比较与2.5的大小．你是怎么做的？ 2．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 3．若的整数部分为，小数部分为，则等于（  ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·河南鹤壁·联考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 5．已知小数部分为，为小数部分为，则__________． 实数的分类题型03 1．（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 2．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 3．（2026·广西梧州·二模）下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 5．把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 实数的混合运算题型04 1．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，π，，2022，，1.080080008…． (1)负数集合：{ …}； (2)整数集合：{ …}； (3)分数集合：{ …}； (4)无理数集合：{ …}． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 实数与实际应用题型05 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 2．（24-25七年级下·北京·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为的正方形空地，现打算将正方形的空地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽的比为6：5． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)请问能改造出这样的长方形场地吗，如果能，若将正方形场地的铁栅栏围墙全部利用围成新场地的长方形围墙，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 4．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 5．某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱． (1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？ (2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由． 无理数——材料阅读探究问题题型01 1．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 3．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得， 于是有． 是偶数， 也是偶数， 是偶数． 设（是正整数），则，即， 也是偶数 都是偶数，不互质，与假设矛盾． 假设错误， 不是有理数 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： (1)用类似的方法，请证明是无理数． (2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值； (3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 实数与数轴上的动点问题题型02 1．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数的点向右滚动一周到点N，则点N表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 3．如图，半径为的圆周上有一点M落在数轴上点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点所处的位置在两个连续整数之间，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数_____． 5．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 实数与新定义问题题型03 1．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·广东·期末）已知表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为________． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______ ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 4．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 5．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 与实数运算相关的规律题题型04 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 5．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $