第二章 实数 章节（17知识点回顾+45题型巩固）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第二章 实数 章节（17知识点回顾+45题型巩固） 目录 知识梳理 1.生活中存在不是有理数的数 2.无理数的概念 3.实数的相关概念和性质 4.实数与数轴的关系 5.算术平方根 6.与 的性质 7.平方根 8.立方根 9.估算 10.用计算器求算术平方根和立方根 11.二次根式的概念 12.二次根式的乘除法 13.二次根式的性质 14.最简二次根式 15.分母有理化 16.二次根式的加减法 17.二次根式的混合运算 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、实数概念理解 四、实数的分类 五、实数的性质 六、实数与数轴 七、实数的大小比较 八、勾股定理与无理数 九、求一个数的算术平方根 十、利用算术平方根的非负性解题 十一、估计算术平方根的取值范围 十二、无理数整数部分的有关计算 十三、与算术平方根有关的规律探索题 十四、算术平方根的实际应用 十五、平方根概念理解 十六、求一个数的平方根 十七、已知一个数的平方根，求这个数 十八、利用平方根解方程 十九、立方根概念理解 二十、求一个数的立方根 二十一、已知一个数的立方根，求这个数 二十二、与立方根有关的规律探索 二十三、立方根的实际应用 二十四、算术平方根和立方根的综合应用 二十五、计算器——平方根和立方根 二十六、程序设计与实数运算 二十七、二次根式的识别 二十八、求二次根式的值 二十九、求二次根式中的参数 三十、二次根式有意义的条件 三十一、利用二次根式的性质化简 三十二、复合二次根式的化简 三十三、二次根式的乘法 三十四、二次根式的除法 三十五、二次根式的乘除混合运算 三十六、最简二次根式的判断 三十七、化为最简二次根式 三十八、同类二次根式 三十九、二次根式的加减运算 四十、二次根式的混合运算 四十一、分母有理化 四十二、已知字母的值，化简求值 四十三、比较二次根式的大小 四十四、二次根式的应用 四十五、实数的混合运算 知识梳理 知识点1.生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点2.无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 ①小数；②位数无限; ③不循环，三者缺一不可 不是分数，是一个无理数 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点3.实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 在实数范围内，一个数 不是有理数就是无理数 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点4.实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点5.算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0) (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点6.与 的性质 类别 性质 举例 a 为任意数， 是先平方再开方 注意：将 写成 时， 必须是非负数。 知识点7.平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点8.立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” a可以是正数，负数或0 指数3不能省略 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a ①利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2 因为a3 的立方根为a，所以= a ② ③ . (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点9.估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点10.用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 知识点11.二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点12.二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点13.二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点14.最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点15.分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点16.二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点17.二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在实数（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如相邻两个1之间0的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：（相邻两个7之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 题型二、无理数的大小估算 2．（25-26八年级上·全国·周测）满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小．先估算无理数的大小，进而得到的大小即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 而， ∴的整数m的值可以是3，不可能是2，1，0， 故选：A． 题型三、实数概念理解 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】实数概念理解 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 题型四、实数的分类 4．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，． （1）有理数集合                   ； （2）无理数集合                   ； （3）正实数集合                   ； （4）负实数集合                   ． 【答案】（1），，，，，，；（2），，，；（3），，，，，，，；（4），， 【知识点】实数的分类 【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案； （2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案； （3）根据正实数的定义进行判定即可得出答案； （4）根据负实数的定义进行判定即可得出答案． 【详解】（1），，，，，，； （2），，，； （3），，，，，，，； （4），，． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键． 题型五、实数的性质 5．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】个数的相反数就是在这个数前面添上“”，由此求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：B 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 题型六、实数与数轴 6．（2025·河南商丘·二模）如图，点可能是无理数 . 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴．熟练掌握实数与数轴是解题的关键．根据点A表示的无理数数大于且小于，且靠近，作答即可． 【详解】解：由题意可知，点A表示的数大于小于，且靠近， ∴点可能表示的无理数是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型七、实数的大小比较 7．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八、勾股定理与无理数 8．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】只需作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可． 【详解】解：如图，点P表示的数为．    【点睛】本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理等知识知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型九、求一个数的算术平方根 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)81． (2)． (3)7． 【答案】(1)9 (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 直接利用算术平方根的定义计算得出答案． 【详解】（1）解：81的算术平方根是9； （2）解：的算术平方根是； （3）解：7的算术平方根是． 题型十、利用算术平方根的非负性解题 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查平方根有意义的条件，熟知平方根的被开方数必须非负，否则无意义．逐一分析各选项被开方数的符号即可判断． 【详解】解：A．：被开方数为正数 2 ，有意义，不符合题意； B．：被开方数为负数，在实数范围内无意义，符合题意； C．：被开方数为，是正数，有意义，不符合题意； D．，被开方数为正数，有意义，不符合题意；     故选：B． 题型十一、估计算术平方根的取值范围 11．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型十二、无理数整数部分的有关计算 12．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 题型十三、与算术平方根有关的规律探索题 13．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 【答案】(1)， (2)，见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证； 【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想＝，＝ 故答案为：， （2）解：猜想＝，验证如下： 题型十四、算术平方根的实际应用 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 【答案】 3 20 2 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． （1）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案； （2）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：（1）原绿化带的面积为， 面积扩大为原来的9倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：； （2）面积扩大为原来的4倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：，． 题型十五、平方根概念理解 15．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的性质．根据非负数有平方根即可求得答案． 【详解】解：0，，2006，20.80有平方根，没有平方根， 则有平方根的数有4个， 故选：D． 题型十六、求一个数的平方根 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （2）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （3）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是，即． （2）解：∵， ∴的平方根是，即． （3）解：∵， ∴的平方根是，即． 题型十七、已知一个数的平方根，求这个数 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知正实数的两个平方根是和，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根定义，掌握平方根定义是解题关键． 先求出，再代入，可得到，求解即可． 【详解】解：∵正实数的两个平方根是和， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：1． 题型十八、利用平方根解方程 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，解方程即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 所以， 解得或． （2）由题意，得， 所以， 所以， 解得或． 题型十九、立方根概念理解 19．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 题型二十、求一个数的立方根 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查立方根，根据立方根的定义求出每个选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 题型二十一、已知一个数的立方根，求这个数 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （2）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （3）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型二十二、与立方根有关的规律探索 22．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型二十三、立方根的实际应用 23．如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．    【答案】正方体的棱长约为6cm． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设正方体的棱长为xcm，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得， ， 解得， 答：正方体的棱长约为6cm． 【点睛】本题考查圆柱体、正方体的体积的计算方法，立方根的实际应用，掌握体积计算公式是正确解答的关键． 题型二十四、算术平方根和立方根的综合应用 24．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 题型二十五、计算器——平方根和立方根 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 题型二十六、程序设计与实数运算 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先求出，然后计算的算术平方根，再用2减去的算术平方根，求出输出的数值即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为：． 题型二十七、二次根式的识别 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 题型二十八、求二次根式的值 28．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、因为-2<0，所以不是二次根式，故本选项不符合题意； C、是二次根式，故本选项符合题意； D、当x＜0时不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如(a≥0)的形式，叫二次根式． 题型二十九、求二次根式中的参数 29．（23-24八年级·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 题型三十、二次根式有意义的条件 30．当时，下列二次根式有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； B中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； C中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； D中，当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故选项符合题意； 故选：D． 题型三十一、利用二次根式的性质化简 31．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据，，得出，，再化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵ ∴，， ∵， ∴， 则 故选：C． 题型三十二、复合二次根式的化简 32．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 题型三十三、二次根式的乘法 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三十四、二次根式的除法 34．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)6a 【知识点】二次根式的除法 【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可； （2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可； （3）根据二次根式的性质直接化简即可； （4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可． 【详解】（1）解： ＝5； （2） （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型三十五、二次根式的乘除混合运算 35．（24-25八年级·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三十六、最简二次根式的判断 36．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式∶（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可作答． 【详解】解：A．的被开方数含分数，不是最简二次根式，故不符合题意； B． 的被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； C． 的被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，故不符合题意； D．是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 题型三十七、化为最简二次根式 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】（1）把12写成，然后化简； （2）把75写成，然后化简； （3）将分母直接开方化简． （4）将写成，然后直接化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型三十八、同类二次根式 38．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【知识点】同类二次根式 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 题型三十九、二次根式的加减运算 39．（25-26八年级上·全国·周测）已知算式成立，则“□”处的数为 ． 【答案】27 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则. 等号左边去括号并合并同类二次根式，根据等式的性质得到未知量的值. 【详解】解：设“□”处的数字为,则原式可化为： “□”处的数字为. 故答案为：． 题型四十、二次根式的混合运算 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）利用二次根式的乘法法则化简然后合并同类二次根式即可； （2）先计算除法，然后合并同类二次根式即可． （3）先根据乘法公式去括号，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 题型四十一、分母有理化 41．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1)（为正整数）； (2) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可得解； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）； （2）解：由（1）可得（为正整数）， ∴原式 ． 题型四十二、已知字母的值，化简求值 42．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及代数式求值．熟练掌握二次根式的运算法则以及通过合理的方法（如直接代入或先求部分和与积再代入）进行代数式求值是解题的关键． （1）将的值代入，先计算，再计算与的和，最后减去，从而得出该代数式的值． （2）先根据和的值求出与的值，再将变形为，最后将与的值代入变形后的式子进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型四十三、比较二次根式的大小 43．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 题型四十四、二次根式的应用 44．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 题型四十五、实数的混合运算 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实数的混合运算 【分析】（1）计算立方根和算术平方根，再相加减即可； （2）计算出立方根、算术平方根、平方，再计算即可； （3）将带分数化为假分数，求出算术平方根、立方根、绝对值，再计算即可． 本题主要考查算术平方根、立方根及绝对值，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 章节（17知识点回顾+45题型巩固） 目录 知识梳理 1.生活中存在不是有理数的数 2.无理数的概念 3.实数的相关概念和性质 4.实数与数轴的关系 5.算术平方根 6.与 的性质 7.平方根 8.立方根 9.估算 10.用计算器求算术平方根和立方根 11.二次根式的概念 12.二次根式的乘除法 13.二次根式的性质 14.最简二次根式 15.分母有理化 16.二次根式的加减法 17.二次根式的混合运算 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、实数概念理解 四、实数的分类 五、实数的性质 六、实数与数轴 七、实数的大小比较 八、勾股定理与无理数 九、求一个数的算术平方根 十、利用算术平方根的非负性解题 十一、估计算术平方根的取值范围 十二、无理数整数部分的有关计算 十三、与算术平方根有关的规律探索题 十四、算术平方根的实际应用 十五、平方根概念理解 十六、求一个数的平方根 十七、已知一个数的平方根，求这个数 十八、利用平方根解方程 十九、立方根概念理解 二十、求一个数的立方根 二十一、已知一个数的立方根，求这个数 二十二、与立方根有关的规律探索 二十三、立方根的实际应用 二十四、算术平方根和立方根的综合应用 二十五、计算器——平方根和立方根 二十六、程序设计与实数运算 二十七、二次根式的识别 二十八、求二次根式的值 二十九、求二次根式中的参数 三十、二次根式有意义的条件 三十一、利用二次根式的性质化简 三十二、复合二次根式的化简 三十三、二次根式的乘法 三十四、二次根式的除法 三十五、二次根式的乘除混合运算 三十六、最简二次根式的判断 三十七、化为最简二次根式 三十八、同类二次根式 三十九、二次根式的加减运算 四十、二次根式的混合运算 四十一、分母有理化 四十二、已知字母的值，化简求值 四十三、比较二次根式的大小 四十四、二次根式的应用 四十五、实数的混合运算 知识梳理 知识点1.生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点2.无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 ①小数；②位数无限; ③不循环，三者缺一不可 不是分数，是一个无理数 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点3.实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 在实数范围内，一个数 不是有理数就是无理数 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点4.实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点5.算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0) (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点6.与 的性质 类别 性质 举例 a 为任意数， 是先平方再开方 注意：将 写成 时， 必须是非负数。 知识点7.平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点8.立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” a可以是正数，负数或0 指数3不能省略 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a ①利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2 因为a3 的立方根为a，所以= a ② ③ . (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点9.估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点10.用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 知识点11.二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点12.二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点13.二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点14.最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点15.分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点16.二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点17.二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在实数（相邻两个7之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、无理数的大小估算 2．（25-26八年级上·全国·周测）满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型三、实数概念理解 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四、实数的分类 4．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，． （1）有理数集合                   ； （2）无理数集合                   ； （3）正实数集合                   ； （4）负实数集合                   ． 题型五、实数的性质 5．的相反数是（    ） A． B． C． D． 题型六、实数与数轴 6．（2025·河南商丘·二模）如图，点可能是无理数 . 题型七、实数的大小比较 7．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 题型八、勾股定理与无理数 8．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    题型九、求一个数的算术平方根 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1)81． (2)． (3)7． 题型十、利用算术平方根的非负性解题 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，无意义的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、估计算术平方根的取值范围 11．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 题型十二、无理数整数部分的有关计算 12．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 题型十三、与算术平方根有关的规律探索题 13．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 题型十四、算术平方根的实际应用 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 题型十五、平方根概念理解 15．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六、求一个数的平方根 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 题型十七、已知一个数的平方根，求这个数 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知正实数的两个平方根是和，且，则的值为 ． 题型十八、利用平方根解方程 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型十九、立方根概念理解 19．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 题型二十、求一个数的立方根 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十一、已知一个数的立方根，求这个数 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 题型二十二、与立方根有关的规律探索 22．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 题型二十三、立方根的实际应用 23．如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．    题型二十四、算术平方根和立方根的综合应用 24．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 题型二十五、计算器——平方根和立方根 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 题型二十六、程序设计与实数运算 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 题型二十七、二次根式的识别 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 题型二十八、求二次根式的值 28．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 题型二十九、求二次根式中的参数 29．（23-24八年级·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 题型三十、二次根式有意义的条件 30．当时，下列二次根式有意义的是（   ） A． B． C． D． 题型三十一、利用二次根式的性质化简 31．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（　　） A． B． C． D． 题型三十二、复合二次根式的化简 32．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 题型三十三、二次根式的乘法 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型三十四、二次根式的除法 34．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 题型三十五、二次根式的乘除混合运算 35．（24-25八年级·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 题型三十六、最简二次根式的判断 36．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型三十七、化为最简二次根式 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三十八、同类二次根式 38．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 题型三十九、二次根式的加减运算 39．（25-26八年级上·全国·周测）已知算式成立，则“□”处的数为 ． 题型四十、二次根式的混合运算 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四十一、分母有理化 41．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 题型四十二、已知字母的值，化简求值 42．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型四十三、比较二次根式的大小 43．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ． 题型四十四、二次根式的应用 44．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 题型四十五、实数的混合运算 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$