专题04 二次根式 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题04二次根式期中复习讲义 1.理解二次根式的定义，掌握有意义的条件：被开方数(a0)，能求二次根式中字母的取值范围；掌握二次根式双重非负性(a0)，0，会利用非负性求解相关代数式的值。 2.掌握最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，能准确识别最简二次根式，会将普通二次根式化为最简二次根式。 3.熟记二次根式的性质：()2=a(a0)，=|a|，能进行基础化简，区分两个公式适用条件。 4.熟练掌握二次根式乘除运算法则，能进行二次根式乘法、除法运算与化简；理解同类二次根式概念，能识别同类二次根式，掌握二次根式加减运算（先化简，再合并同类二次根式）。 5.能够进行二次根式的混合运算，遵循实数运算顺序，合理运用乘法公式简化计算，会基础的分母有理化。 6.会结合勾股定理进行带二次根式的线段长度计算，能解决二次根式简单实际应用问题。 7.易错点梳理 忽略被开方数大于等于 0 的限制，盲目代入求值； 化简忘记加绝对值，直接写成a； 二次根式加减直接合并根号内的数字，没有先化成最简二次根式； 乘除运算时，忽略字母取值范围。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★★ 题型七 二次根式的乘法 ★★ 题型八 二次根式的除法 ★★ 题型九 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型十 最简二次根式的判断 ★ 题型十一 化为最简二次根式 ★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 ★★★ 题型十三 同类二次根式 ★★ 题型十四 二次根式的加减运算 ★★ 题型十五 二次根式的混合运算 ★★★ 题型十六 分母有理化 ★★★ 题型十七 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十八 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十九 比较二次根式的大小 ★★ 题型二十 二次根式的应用 ★★★★ 题型二十一 实数的混合运算 ★★★ 题新二十二 新定义下的实数运算 ★★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 ★★★ 题型二十四 与实数运算相关的规律题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式 2. 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 3. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a 0 }=a a 0 =-a 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点06:化简二次根式一般方法 题型一：二次根式的识别 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D．x 【答案】B 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A.不是二次根式，故此选项不符合题意； B.是二次根式，故此选项符合题意； C.不是二次根式，故此选项不符合题意； D.没有根号，不是二次根式，故此选项不符合题意． 2．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式，即可判断． 【详解】解：A、，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； B、根指数为3，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； C、当时，，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴符合二次根式的定义，故选项符合题意． 3．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型二：求二次根式的值 4．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 5．已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型三：求二次根式中的参数 7．已知为正整数，且是整数，那么的最小值是_______． 【答案】 【分析】是整数，说明为完全平方数，根据完全平方数的质因数性质即可求出最小正整数． 【详解】解：∵是整数，为正整数， ∴是完全平方数． 对分解质因数得，完全平方数的所有质因数的指数都为偶数，此时中和的指数都是，为奇数， ∴至少需要包含质因数和各一个，才能使所有质因数指数为偶数， 计算得，即的最小值是． 8．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 9．若为实数，且满足，则的值是________． 【答案】-1 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可； 【详解】∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案是-1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键． 题型四：二次根式有意义的条件 10．若代数式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 11．已知，那么（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 12．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，化简绝对值，再利用非负数的性质求出和的值，最后计算． 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴，即 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，两个非负数的和为 ∴， ∴， ∴． 题型五：利用二次根式的性质化简 13．计算：   （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 14．已知，化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定出a、b的取值范围，再根据二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ，， ． 15．已知实数a、c满足，则________． 【答案】 【分析】将原式变形配方，利用平方和二次根式的非负性求出和的值，再代入计算目标式． 【详解】解：∵， ∴对等式变形整理得 ， ∵（二次根式有意义时，）， ∴上式可化为 ， ∵平方数和二次根式均为非负数，两个非负数的和为， ∴， ∴， 解得，， ∴， 代入得 ． 题型六：复合二次根式的化简 16．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 17．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 题型七：二次根式的乘法 19．计算的结果是（ ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 20．若为正整数，且满足，则___________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算出的结果，再估算无理数的大小，得到的取值范围，结合为正整数即可求出的值. 【详解】解：根据二次根式乘法法则计算得： ， ，，且， ， 又，为正整数， ． 21．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 题型八：二次根式的除法 22．计算结果是________． 【答案】 【详解】解： ． 23．计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 24．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据二次根式的除法、乘方的运算法则进行计算，以及运用二次根式和立方根的性质进行化简后即可得出结论． 【详解】解：A、， 故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的除法、乘方运算等知识，掌握二次根式的运算法则及相关性质是解题的关键． 题型九：二次根式的乘除混合运算 25．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B 26．化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 27．若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【答案】B 【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：由已知条件可得： m<0，n<0， ∴原式= = = =|m| =-m， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　 题型十：最简二次根式的判断 28．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式满足：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母；结合这两点逐项验证即可得到答案． 【详解】解：不是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；中被开方数有分母，不是最简二次根式． 29．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 30．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 根据二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式逐项判断即可． 【详解】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 题型十一：化为最简二次根式 31．将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． 32．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 33．计算：__________． 【答案】 【分析】把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键． 题型十二：已知最简二次根式求参数 34．若是最简二次根式，则自然数______． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 35．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为__________． 【答案】7 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，也考查了代数式求值．根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解后，再求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：7 36．如果最简二次根式与是同类二次根式，且，那么的值为______． 【答案】7 【分析】先得出，则，再根据算术平方根的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 题型十三：同类二次根式 37．与可以合并的二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为5的二次根式，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为10，与被开方数不同，不能合并，不符合题意； B．是最简二次根式，被开方数为15，与被开方数不同，不能合并，不符合题意； C．，化简后被开方数为5，与被开方数相同，可以合并，符合题意； D．，是整数，不能与合并，不符合题意． 38．如果最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得. 39．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 题型十四：二次根式的加减运算 40．_______ 【答案】 【详解】解：． 41．对于任意正实数，定义一种新的运算：．例：．若为正实数，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义代入已知条件，整理得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，将代入运算公式得， 整理得， ∵， ∴， 化简得， 两边同时平方得． 42．若，则a和b的值不可能是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 题型十五：二次根式的混合运算 43．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 44．计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 45．已知a，b均为正实数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式中根号内的式子转化为平方和的形式，结合构造线段模型，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：由，，，得原式． 构造线段，点在线段上， 设，，则． 过点作，使；过点作，使，且，在的两侧，连接， 则，， 故原式． ∵，在两侧， ∴与线段必有交点，即存在符合条件的点． 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长． 过点作，交的延长线于点． ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴． 在中，． 题型十六：分母有理化 46．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 47．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 48．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可． 【详解】 解：原式； 故选：． 【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化． 题型十七：已知字母的值，化简求值 49．若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 50．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式、二次根式的乘除法法则是解题的关键．根据二次根式的加减法、乘除法法则求出、，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为： 51．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型十八：已知条件式，化简求值 52．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 53．已知实数a，b，c满足，，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 54．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 题型十九：比较二次根式的大小 55．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 56．比较大小：__，__．（填“”“ ”“ ” 【答案】 【分析】第一空比较分子大小即可，第二空分子有理化得到，，从而可得结论． 【详解】解：∵ ∴ ∵，，且 ∴ ∴ 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较，灵活掌握比较大小的方法是解答本题的关键． 57．比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 题型二十：二次根式的应用 58．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．首先由正方形的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： 所以这个小正方形的周长为：． 故选：D． 59．在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再由割补法求解空白部分的面积． 【详解】解：由图得，大正方形的边长为：， 空白部分的面积为：． 60．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 题型二十一：实数的混合运算 61．计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后合并即可． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∴原式． 62．计算： ___________． 【答案】 【分析】观察式子符合平方差公式的结构，根据平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 63．计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 题型二十二：新定义下的实数运算 64．定义一种新运算：，则的值为（    ） A．25 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，直接根据新运算的定义代入数值计算即可． 将，代入即可求出答案． 【详解】∵ ， ∴ 故选A． 65．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”，规定，如：，则________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与二次根式的化简，理解新定义的运算规则是解题的关键． 根据新定义规则代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得． 66．对于任意两个正整数，，定义某种运算（用表示），当都是正偶数或都是正奇数时，；当，中一个为正奇数，一个为正偶数时，，则上述定义下，满足的不同数对共有（    ）个． A．7 B．16 C．15 D．9 【答案】C 【分析】根据定义的运算规则分两种情况讨论：同奇偶、一奇一偶，分别找出满足的有序数对个数，求和即可得到结果． 【详解】解：根据运算定义，分两种情况讨论： 情况1：同为正奇数或同为正偶数，此时． 若同为正奇数，满足条件的有序数对为，共个． 若同为正偶数，满足条件的有序数对为，共个． 情况1共有个满足条件的数对． 情况2：一个为正奇数，一个为正偶数，此时． 乘积为且奇偶性不同的有序数对为，共个． 情况2共有个满足条件的数对． 综上，满足条件的不同数对总个数为. 题型二十三：实数运算的实际应用 67．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 68．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 69．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 题型二十四：与实数运算相关的规律题 70．按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 71．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解：，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 72．现将一组数（为正整数），按照如图所示的方式进行排列，则第5行从左边数第4个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出第五行共有15个数，从而可得第5行从左边数第4个数是第14个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，…， ∴前五行共有个数， 可得第5行从左边数第4个数是第个数， ∵原组数为， ∴第14个数为． 解答题 73．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： 74．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 75．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 解得：或 76．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方． 如：； (1)请你仿照小明的方法化简． (2)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），再按照样例格式计算即可； （2）先求出两个小正方形的边长分别为和，再计算剩余部分的面积． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个小正方形和的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴剩余部分的面积为． 77．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，__________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ∴； （3）解： ． 78．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)比较大小： ． (3)求的值． (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)44 (4) 【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）利用分子有理化，再比较即可得到结果； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （4）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 79．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题04二次根式期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解二次根式的定义，掌握Va有意义的条件：被开方数（≥0），能求二次根式中 字母的取值范围，掌握二次根式双重非负性(a≥0)，√a≥0，会利用非负性求解相关 代数式的值。 2.掌握最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽 方的因数或因式，能准确识别最简二次根式，会将普通二次根式化为最简二次根 式。 3熟记二次根式的性质：（√aP=a(a≥0），√a=al,能进行基础化简，区分两个公式 适用条件。 4熟练掌握二次根式乘除运算法则，能进行二次根式乘法、除法运算与化简：理解 同类二次根式概念，能识别同类二次根式，掌握二次根式加减运算（先化简，再合 并同类二次根式)。 5.能够进行二次根式的混合运算，遵循实数运算顺序，合理运用乘法公式简化计 算，会基础的分母有理化。 6会结合勾股定理进行带二次根式的线段长度计算，能解决二次根式简单实际应用 问题。 7易错点梳理 忽略被开方数大于等于0的限制，盲目代入求值： 化简√a忘记加绝对值，直接写成a; 二次根式加减直接合并根号内的数字，没有先化成最简二次根式： 乘除运算时，忽略字母取值范围。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 试卷第1页（共3页） ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★ 题型七 二次根式的乘法 题型八 二次根式的除法 ★★ 题型九 二次根式的乘除混合运算 题型十 最简二次根式的判断 题型十一 化为最简二次根式 ★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 题型十三 同类二次根式 ★★ 题型十四 二次根式的加减运算 ★★★ 题型十五 二次根式的混合运算 ★★★ 题型十六 分母有理化 ★★★ 题型十七 已知字母的值，化简求值 ★★★★ 题型十八 已知条件式，化简求值 ★★ 题型十九 比较二次根式的大小 ★★★★ 题型二十 二次根式的应用 题型二十一 ★★★ 实数的混合运算 试卷第2页（共3页） ★★★★ 题新二十二新定义下的实数运算 ★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 ★★★★ 题型二十四 与实数运算相关的规律题 拔高题 7题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：二次根式概念与有意义条件 1.定义：形如a(a之0)的式子叫做二次根式 2。必备条件：带二次根号、被开方数排负。 3.根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 a有意义 a≥0 基础选择题高频 a无意义 a<0 负数不能开算术平方根 。有义 a>0 既要非负，又要分母不为0 Va+1有意义 a+1≥0 整体被开方数20 知识点02：核心性质|必背清单 试卷第3页（共3页） 1.二次根式性质1：(Va)2=a(a≥0) 二次根式的性质1与性质2非常容 易混淆，这两个性质有三点不同， 二次 a(a>0) 一是运算顺序不同：二是运算结果 2.二次根式性质2：√a2=la 0(a=0)】 不同：三是条件不同，即：的取值范 根式 a(a<0) 围不同，要注意区分，这是一个常 的 考易错的问题。 性质 3.二次根式性质3：√ab=Va·vb(a≥0，b≥0) 4.二次根式性质4： a a≥0，b>0. 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问 题是高频易错点。 性质3逆用可用于根式化简。 性质4逆用常用于分母有理 易混点直击：(@2vs√a对比表 对比维度 (a2 a a之0（被开方数排负，根 成立条件 a为任意实数（任何数平方后均非负） 式才有意义) 先开二次方，再进行平方 运算顺序 先进行平方运算，再开二次方运算 运算 计算结果 直接等于a 先得a,再根据a的正负去绝对值 试卷第4页（共3页） 对比维度 (Va)2 非负数的开方与平方互 任意数平方后开方，结果为非负数 本质特征 逆， 结果唯一 (去绝对值后确定) 重点区分（学生必考混淆点） 1.(a)2:先开方、再平方，结果直接等于a 2.ā：先平方、再开方，结果必须带绝对值 √ā分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a≥0 Vai-a a<0 Va--a 知识点03：二次根式的性质与化简一 给根式“整容变标准 1.最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数： (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 试卷第5页（共3页） 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2.同类二次根式(“同门兄弟”判别法) (1)判断步骤：先化简一再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式 (和根号外系数无关)。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口决：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04：二次根式的运算 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 RāVb√ab 相乘合并一整体开方→化为最 乘法 被开方数不能为负 (a≥0，b≥0) 简 票得 结果分母严禁带根 除法 根式相除→分母有理化→化简 (a≥0，b>0) 化（全最简）二找（同类根非同类根式，不能 加减法 无固定公式 式)三并（合并同类） 强行合并 试卷第6页（共3页） 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减：有括号先算括号内： 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (Va+VB)(Va-Vb)=a-b; (a±Vb)2=a+h±2Vab。 1忽略二次根式有意义的条件（之0），求字母取值范围时遗漏限制； 2混淆(a)2与ā，后者结果必须加绝对值： 3运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4,分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05：分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 试卷第7页（共3页） 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘 二次根式化简的结果通常要满足以 适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母」 下几个要求：(1)根号下不能含有 二次 能开的尽方的数或式子；(2)根号 根式 层-：语-原=票= √62-b 下不能含有分数或分式：(3)如果 的 结果中含有分母，分母中不能有根 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式， 号。二次根式的运算和化简问题 分母 可以使分母中不含有根号。 定要注意检查。 有理化 lala.1ab b 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化· 知识点06：化简二次根式一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行 V8=√4x2=2V2 开方 若被开方数中含有带分 4 V4×32V3 数，先将被开方数化成 3x3 3 假分数 若被开方数中含有小 9 V0.9= 903V10 数，先将小数化成分数 V0=V100 10 化去根号下的分 母 若被开方数时分式，先 5a 5a.3c 15ac ISac 将分式分母化成能转化 12b。V12-3 136bc 6bc 为平方的形式，再进行 (a>0,b>0,c>0) 开方运算 被开方数时多项式的要先因式分解 Vx'+2y+y=(x+y)=x+) (x≥0，y≥0) ☆ 题型精析 题型一：二次根式的识别 1.下列各式中，属于二次根式的是() A.2 B V5 2.下列式子一定是二次根式的是() 试卷第8页（共3页） A B.8 C.Va+2026 3.给出下列式子：①8，②4，@F+1,④2a:⑤+y,⑥a+1； ⑦Nx2-4⑧x ；其中一定是二次根式的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 题型二：求二次根式的值 4.当x=3时，二次根式x+1 的值是() A.-2 B.0 C.2 D.4 y 一+x二= 5.已知y=3,则VyVx 2a-8+5-3b=0 6.已知 ,则v6a-96 的值为() A.9 B.9 C.3 D.±3 题型三：求二次根式中的参数 7.已知”为正整数，且V6m 6”是整数，那么”的最小值是 8.已知Vx+ 有意义，如果关于的方程+5+a=3 没有实数根，那么“的取值范围是 2021 9.若x,y为实数，且满足x-2y-61+V2x+y-2=0,则y) 的值是 题型四：二次根式有意义的条件 10.若代数式Vr-2 有意义，则x的取值范围是() A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 试卷第9页（共3页） 1已知a+2+6-0,那么a+m=() A.-1 B.1 C.2 D.-2 12.己知4-2m+m-=2m4-a-4,则m-的值为 题型五：利用二次根式的性质化简 13.计算： V24 () A.± 2 B. e号 D. 14.已知a>6,化简二次根式V-b 的正确结果是() A.bvab B.bab C.bvab -b-ab 1 15.已知实数a、c满足a-2a-2+c-=1,则a+c 题型六：复合二次根式的化简 16下列各式中，与化简V-(m>0)所得结果相同的是() A.n-mn B nmn C.-nmn D.nmn x y 17.已知y=12,x+y=-8,则+x的值为 +x 18.已知a、b为有理数，且满足a+h5=V12-65,则a-b等于() A.-2 B.-4 C.2 D.4 题型七：二次根式的乘法 试卷第10页（共3页） 19.计 27×3的结果是（ A.9 B.3 C.35 D V3 20若m为正整数，且满足<5x万<m+1,则m 21.计算2)严×-2)的结果是《) A.1+V2 B.1-V2 c.2-1 D -1-√2 题型八：二次根式的除法 2.计算18÷v6 结果是 23.计算：(25-v6+(54+26)5= 24.下列运算正确的是（) A.0÷5=2 B.(25=10 c.5y-5 D.(-5)--5 题型九：二次根式的乘除混合运算 25.计算 6÷2×2正确的是(） 1 A.4 B2 D.2 3m2-3n2,3m+n 26.化简：9√20 2\a2 Vm-n n 27.若mn>0,m+n<0,则化简 mm÷m”(） 试卷第11页（共3页） A.m B.- C.n D.-n 题型十：最简二次根式的判断 28.下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.4 B.3 C.⑧ o 29.在16、3、0.5、任、25中，最简二次根式的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 30,给出下列各式：①V52②，@3-2：④m(m≤0)，⑤F+,©5.其中 二次根式的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 题型十一：化为最简二次根式 3).将v1.6 简，结果正确的是()· v10 210 2√2 A.0.4 B.5 C.5 D.5 32.已知最简二次根式Vx+6与0 是同类二次根式，则x的值为 33.计算：、 5+26)-V5-26) 题型十二：已知最简二次根式求参数 34.若V30是最简二次根式，则自然数”=一 35.若最简二次根式 3动+5与是时法=次根式、则代式心-o+, 的值为 36,如果最简二次根式V3a+4与9-2a是同类二次根式，且4a-3x+少-a=0,那 试卷第12页（共3页） 么x+y的值为. 题型十三：同类二次根式 37.与5可以合并的二次根式是() A.10 B.15 C.V20 D.V25 38,如果最简二次根式V2x+和24x- 能合并，则的值为() 1 A.5 B.3 C.5 D.2 39.若“和力都是正整数且a<6,口和V6是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个 数为() ①只存在一组“和P使得Va+6=8 ②只存在两组“和力使得 a+b=75 ③不存在“和使得v6+5=V260 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 题型十四：二次根式的加减运算 40 V27-√3= a,b a※b=Va+√ab 41.对于任意正实数，定义一种新的运算： 例 3※4=5+3x4=5+25=35.若”为正实数，且※4=32，则产的值为一 42.若a+6=2 ,则a和b的值不可能是() 3 A.a=3,b=3 6= B.a=5 3 9,627 C.a= D 4 试卷第13页（共3页） a=6,b=6 题型十五：二次根式的混合运算 43.计算5(5-2列的正确结果是() A.-2V5-3 B.2V3-3 C.3-25 3+2W3 D. 45.已知a,b均为正实数，且2a+b=6,则40+9+B+1的最小值是（) A.5+5 B.23 c.35+1 D V13+17 题型十六：分母有理化 46.计算V2-1的结果为() A2-1 B.V2+1 C,② D.2V2 。1 Q= 47.设V10-3,b=V10+3,则ab.(填“>”“<”或“=”) x+1 48.己知x=V2+1,则代数式x-i的值为(） A.V2+1 BV2+2 C.3 D.V2-1 题型十七：已知字母的值，化简求值 22a2 49.若a=V3,b=√11，则1Vb2的值为() 试卷第14页（共3页) A.3 B.V3 C.6 D VG 50.已知=0-3，=0+3，则+w+了的值为一 51.已知a=2,则代数式a++1的值为、 5-1 1-5 -5-1 5+1 A.2 B 2 C.2 D.2 题型十八：已知条件式，化简求值 52.已知x=3-23 ,则r-6x+1 的值为() A.-4 B.4 c.2v3-3 D.23-8 53.已知实数a,b,c满足 历=4-a.ab=4+6,则a+b+c= 54.已知0-干5=-3，则代数式-0+平5的值为) A.3 B.-3 C.5 D.-5 题型十九：比较二次根式的大小 m=i0+1 55.已知： 2,n=0-1 ,比较m、n的大小() A.m>n B m<n C m=n D.无法确 定 1V2 56此较大小号_号，5-55-万.（锁>“三“<） 57.比较大小： 2V33V2V15 的大小顺序是() A 25<3√2<V15 B 3V2<23<V15 试卷第15页（共3页） V15<25<3V2 D.2W5<i5<3W2 题型二十：二次根式的应用 58.用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD,如图所示，它的面积是75， AE=33 ,图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为(） B A.v3 B.25 C.3 D.45 59.在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12,10的两个小正方形，粘贴后， 这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为 10 12 60.如图，正方形ABCD和HGNM的面积分别为4和2，则图中阴影部分的面积是() E D 2 A B.2V2-2 c.4-22 D.22 题型二十一：实数的混合运算 61.计算5-2+5 的结果是() 试卷第16页（共3页） A2v3-2 B.2-25 C.2 D.2 62.计算：(5+5- 63,计紫64+(-2×4的值是（). A.8 B.10 C.12 D.16 题型二十二：新定义下的实数运算 4.定义一种新运算：ub=d-2ab+,则32 的值为() A.25 B.1 C.-1 D.-25 65.对于任意不相等的两个非负实数4，b,新定义一种运算“※”，规定 axb=ax (b>a） ※5=ix5v5 b-a ,如 V5-12,则3※6= 66.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算（用#表示），当m,n都是正偶数或都是 正奇数时，m#n=m+n;当m,n中一个为正奇数，一个为正偶数时，m#n=mn,则上述 定义下，满足m#n=12的不同数对m,m)共有()个. A.7 B.16 C.15 D.9 题型二十三：实数运算的实际应用 67.《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为 58N2cm,宽为 v3cm √8cm “的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了 ,宽不变， 则装裱后整个长方形画卷的总面积为cm 试卷第17页（共3页） 68.如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm.图中阴影 部分面积为5cm,正方形CEFG面积为 E F B G 69.小明按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB与A4纸的长边AB恰好重 合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为() D(D) D(D)B(B) B ② C B' B' A3:2 B.V2:1 C43 D.2:V5 题型二十四：与实数运算相关的规律题 万而 70.按一定规律排列的一列数3,2,3,4，其第8个数为() 3v5 V29 W31 35 A.8 B.8 C.8 D.8 71.我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我 们规定一个新数“i”,使其满足子=-1（即方程.x2=-1有一个根为），并且进一步规 定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 =i,2=-1,产=i=(i=-i,产=()=(0=1，=1=(i=(i=i, 试卷第18页（共3页） 则7204+7205= 72.现将一组数 2,26.2210,23.2m”为正整数)，按照如图所示的方式进行 排列，则第5行从左边数第4个数是() 第1行 √2 第2行 2 6 第3行 2√2√102N/3 … A.V②2 B.2V6 Cv②6 D.26 解答题 73.计算： a)v④s+v5 235-v5 e+33-3)片 5 575- -+而 g5+店 试卷第19页（共3页） +08-12 (10)V2 74.计算： 02x5v2a 2 a2+i8)-(W8+27 5x35+6+0-2 (3)5 3 ④2+52-V5)-3-v2 75.计算： +2-5(5+) 36+5-5x+可 6)25+5225-52)-W5-V2y ④20x-22-18=0 76.阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平 方. 如：5+26=(2+3列+22x3-(V2j+5+22x3-(2+, (1)请你仿照小明的方法化简13-4W0. (2)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面 试卷第20页（共3页） 积分别为5m'和B2-6v5)em,求剩利余部分的面积。 M F 下尔列材料科，然后回答问题，在进行二次根式化简时，我们有时合一 2 2 ，√3+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简. 22×V52W5 (一)5V3x53; 22x510 (=)55x5=5: 2 2×3- 2x5-125-5-1 (三)3+1(3+1)×3-(5-P 2 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2 2 ()化简：V3 5+5 2V2+1 (2)已知： 2,y2-i,求x+旷的 1 1 (3)计算： (2+万+3+2++ √2026+√2025 ×(√2026+1 78.阅读下面计算过程： 1 1x(2-1 2+1(2+12- =2-1: 试卷第21页（共3页） 1×3-2) 3+2(W3+2N5-2) =V3-V2, 11x(5-2 5+2（N5+25-2 =5-2 试求： 1 ()V7+V6的值为： 2025-√2024√2024-√2023 (2)比较大小： 1 1 1 1 1 1 6)求+及+2+55+4++2022+22+223+2024+2024+V2025的 值. 1 4=- (4若5-2，求a2-4a2+a+4的值. 79.拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 (±5i)2=-25 则25 ±5i 的平方根为； (±6i12=-36 则3 的平方根为61 在实数范围内，负数没有平方根.数学家引入新数，规定2=-1，拓展出复数范围. 举例： （=」，则的平方根为。 观察i的乘方运算： =i=-1=-i产=1i的=i=-l… 【发现规律】 (1)求-81的平方根： 【规律应用】 (2)计算2”的值： 试卷第22页（共3页) (3)计算i+2+i+i+…+2027的值： 【规律拓展】 (4)简便计算：5+i6+”+…+i26的值. 试卷第23页（共3页)