第二十章 解直角三角形（单元测试·提升卷）数学北京版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十章 解直角三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B B C D B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．/ 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ；····················································2分 （2）解： ．···················································5分 18．（5分） 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形． （1）利用正切函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）利用勾股定理求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在中，， ；···················································3分 （2）解：为的中点， ． 在中，， ．···················································6分 19．（6分） 【答案】(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）；··················································3分 （2）解：由（1）得，， ∴，··················································5分 ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险．··················································6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为；··················································2分 （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，··················································5分 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约．··················································6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形．··················································2分 （2）解：，， 在中，， ，··················································3分 四边形是平行四边形， ，， ，， ，··················································4分 又， ， ， ．··················································6分 22．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由证明其为矩形即可； （2）由矩形性质得到，，解求出，则，最后在中运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形；··················································3分 （2）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，··················································6分 ∴在中，， ∴．··················································8分 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（8分） 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得．再由三角形中位线的性质得出．得出．再证明．再得．最后解直角三角形即可得出答案； （2）①按题意补全图形即可； ②先证明垂直平分．可得，从而得出，再证明，可得且，再证明平行四边形是菱形，得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接； ， 是等边三角形． ． 点分别是的中点， 是的中位线，． ． ． ． 点关于的对称点是， ． ． ． ． 在中，． ；·················································3分 （2）解：①补全图形如下； ·················································5分 ②，证明如下：·················································6分 连接，设交于点M，如图； ，点是的中点， ． 又是中点， 在中，． 又， 垂直平分． 即， ∵． ， ， 点关于的对称点是， ， ∵， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是菱形， ， 又， 即．·················································8分 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，表示出的关系是解决问题的关键． 24．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由对称的性质可得，，，再解直角三角形得出，进而完成解答； （2）如图：作于，四边形为矩形得出，再解直角三角形得出，然后分别求出和时的值，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴．·················································3分 （2）解：如图：作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，·················································4分 在中，， ∴，·················································5分 当时，，·················································6分 当时，，·················································7分 ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，点E下降的高度为．·················································8分 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】对于（1），根据等腰三角形的性质得，进而说明，再根据“角角边”证明，则结论可得； 对于（2），先画出图形；在线段上取一点，使得，连接，先说明是等边三角形，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，然后根据锐角三角函数可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 在和中，， ． 平分， ． 在和中， ． ；·················································3分 （2）解：①如图， ·················································5分 ②判断：．·················································6分 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ． 是的垂直平分线． ． ， 是等边三角形． ∴ ， ． ． ．·················································8分 在中，， ， ， ∴， ．·················································10分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正切，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（10分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是利用等边三角形和轴对称的性质构造辅助线，通过角度转化和线段关系推导，将所求问题与已知条件建立联系．​ （1）利用等边三角形性质得，结合得；通过角的和差关系表示；再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）在上截取构造证明利用轴对称性质得、及；结合证四边形是平行四边形，得故通过直角三角形中与之间关系及的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）如图1， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；·················································3分 （2）．理由如下：·················································5分 如图2中，在上截取，连接，，，交于点H， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，·················································6分 ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，·················································8分 记与的交点为点N，则由轴对称可知：，， 在中，， ， ·················································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 2．（24-25九年级上·天津和平·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及其计算．解题的关键在于准确记忆常见角度（如、、）的正弦、余弦值，再代入原式，然后进行化简计算即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值代入计算： ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·北京房山·阶段练习）如图，在菱形中，于点E，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质，解题关键是掌握锐角的余弦定义． 由锐角的余弦定义得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、， ∴，，，， ∴，，，，只有C符合题意， 故选：C． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点作，垂足为，根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长． 【详解】解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵， ， 在中，（m）， 在 中，（m）， ∴（m）， 故选：D． 7．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③； 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故②错误； 当点重合时，最大，此时 ， 当时， 最小， 此时， ∵， ， ∴， ∴， ∵点D是边上一点（不与点B、点C重合）， ∴，故③正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴点Q在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上北京西城·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在中，，，，求 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出的值为，则可得．本题主要考查了三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，求角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线．取格点D，连接，根据勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．解直角三角形求得，，由旋转的性质求得，过点A作于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H， 则，在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图．四边形中，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段之和的最小值问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，在上取一点，连接，使，连接，则，由相似三角形的性质得，，，所以，即 的最小值为，过点作于点，由，则，设，则，在 中， ，当 时，取最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，连接，使，连接， 则 ， ∴， ∴， ∴，，， ∴，即的最小值为， 过点作于点， ∵， ∴， 设，则， 在中， ， 当时，取最小值， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，将边长为2的正方形纸片对折，折痕为展开后继续折叠，使点落在上，折痕为，则的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理，求正切；根据已知表示出的长是解题关键．根据翻折变换的性质表示出以及，的长，进而利用勾股定理得出的长，即可得出的正切值． 【详解】解：设正方形边长为，， 将正方形纸片对折，折痕为， ，，， ， 在中， 解得： 故答案为：． 15．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长交于点，先利用三角函数求得，得出为等边三角形，得出，再证出和，得出，进而即可得解． 【详解】如图，延长交于点， 在矩形中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 16、如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．延长交于点，连接，易得垂直平分，所以，进而可得，设，则，分别求出, 利用 ，求出，最后利用，得出，可得． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形． （1）利用正切函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）利用勾股定理求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在中，， ； （2）解：为的中点， ． 在中，， ． 19．（6分）（24-25九年级上·北京门头沟·阶段练习）如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 20．（6分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 21．（6分）（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又， ， ， ． 22．（8分）（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由证明其为矩形即可； （2）由矩形性质得到，，解求出，则，最后在中运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得．再由三角形中位线的性质得出．得出．再证明．再得．最后解直角三角形即可得出答案； （2）①按题意补全图形即可； ②先证明垂直平分．可得，从而得出，再证明，可得且，再证明平行四边形是菱形，得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接； ， 是等边三角形． ． 点分别是的中点， 是的中位线，． ． ． ． 点关于的对称点是， ． ． ． ． 在中，． ； （2）解：①补全图形如下； ②，证明如下： 连接，设交于点M，如图； ，点是的中点， ． 又是中点， 在中，． 又， 垂直平分． 即， ∵． ， ， 点关于的对称点是， ， ∵， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是菱形， ， 又， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，表示出的关系是解决问题的关键． 24．（8分）（2025九年级下·北京·专题练习）【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由对称的性质可得，，，再解直角三角形得出，进而完成解答； （2）如图：作于，四边形为矩形得出，再解直角三角形得出，然后分别求出和时的值，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴． （2）解：如图：作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 当时，， 当时，， ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，点E下降的高度为． 25．（10分）（2025·北京昌平·二模）如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． (1)求证：； (2)若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】对于（1），根据等腰三角形的性质得，进而说明，再根据“角角边”证明，则结论可得； 对于（2），先画出图形；在线段上取一点，使得，连接，先说明是等边三角形，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，然后根据锐角三角函数可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 在和中，， ． 平分， ． 在和中， ． ； （2）解：①如图， ②判断：． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ． 是的垂直平分线． ． ， 是等边三角形． ∴ ， ． ． ． 在中，， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正切，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（10分）（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是利用等边三角形和轴对称的性质构造辅助线，通过角度转化和线段关系推导，将所求问题与已知条件建立联系．​ （1）利用等边三角形性质得，结合得；通过角的和差关系表示；再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）在上截取构造证明利用轴对称性质得、及；结合证四边形是平行四边形，得故通过直角三角形中与之间关系及的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）如图1， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）．理由如下： 如图2中，在上截取，连接，，，交于点H， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N，则由轴对称可知：，， 在中，， ， 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 2．（24-25九年级上·天津和平·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25九年级上·北京房山·阶段练习）如图，在菱形中，于点E，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 5．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 7．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上北京西城·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在中，，，，求 11．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图．四边形中，，，，则的最小值为 ． 14．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，将边长为2的正方形纸片对折，折痕为展开后继续折叠，使点落在上，折痕为，则的正切值是 ． 15．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为 ． 16、如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 19．（6分）（24-25九年级上·北京门头沟·阶段练习）如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 20．（6分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 21．（6分）（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 22．（8分）（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 24．（8分）（2025九年级下·北京·专题练习）【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． 25．（10分）（2025·北京昌平·二模）如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． (1)求证：； (2)若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 26．（10分）（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 2．（24-25九年级上·天津和平·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25九年级上·北京房山·阶段练习）如图，在菱形中，于点E，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 5．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 7．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上北京西城·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在中，，，，求 11．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图．四边形中，，，，则的最小值为 ． 14．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，将边长为2的正方形纸片对折，折痕为展开后继续折叠，使点落在上，折痕为，则的正切值是 ． 15．在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为 ． 16、如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 19．（6分）（24-25九年级上·北京门头沟·阶段练习）如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 20．（6分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 21．（6分）（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 22．（8分）（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 24．（8分）（2025九年级下·北京·专题练习）【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； (2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． 25．（10分）（2025·北京昌平·二模）如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． (1)求证：； (2)若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 26．（10分）（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $