第一章 直角三角形的边角关系（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D ⊙ ⊙ ◇ B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.30 1 12.3 13.200w5 4 15.85 16.2或6/6或2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：原式 2-2x+4x5-2 1 2 =2-1+2V3-23 =1;3分 (2)解：原式=3x1+23-2-1 =25 6分 18 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AH⊥BD于点H. 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D ∴.∠AHB=∠AHC=90°， ∠B=450AB=V6 BH=ABcos∠B=2AB=V5 2 AH -AB-sinB- 2 :∠ADC=120° ∴.∠ADH=180°-∠ADC=60° .DH= AH =1 tan∠ADH :.BD=BH+DH=1+3 3分 (2)解：4C=V万.AH=3 .CH=VAC2-AH2=√7-3=2 ∴cosC=CH-22W7 4077.6分 19. 【详解】(1)解：，斜坡AB=60米，坡角∠A=30°，BE⊥AD, :E=号4B=30(米) 即坝高BE为30米；2分 (2)解：如图，过点C作CF⊥AD于点F, 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 1:3 A⊥30 ◇y D 又：BC∥AD,BE⊥AD, .四边形BEFC是矩形， .BC=EF=10米，BE=CF=30米， ,斜坡CD的坡度i=1:3, DF=3CF=3×30=90(米)， 坡角∠A=30°，BE⊥AD,BE=30米， AE=3BE=303 (米)， :MD=1E+EF+DF=303+10+90-(100+30W5)米， 答：坝底宽AD的长为 100+305) 米.6分 20.(1)解：画图如下： 则点P即为所求.2分 (2)解：画图如下： 则点Q即为所求.…4分 (3)解：画图如下： 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 则点M即为所求.6分 21. 【详解】(1)解：在R△CDE中，∠DCE=30°，CD=4, DECD2 即DE的长为2m;3分 (2)解：设AB=h 在R△CDE中，cos∠DCE=EC CD EC=CDs∠DCE=4×cos30=2V5,在RaBC4中，由m∠BCA= CA,∠BCA=45o,得 CA=AB tan45 =h BA=CM+BC=h+25,即EA的长为(h+25m 如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F. B D27 --月F h30人45 E C 根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， ∴四边形DEAF是矩形， ..DF=EA=h+23 FA=DE=2 可得BF=AB-FA=h-2, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIABDE中，tan∠BDF=B距 ΓDF,∠BDF=27°， BF=DF-tan∠BDF.即h-2=h+2xan270 h≈7.5 答：塔AB的高度约为7.5m..8分 22. 【详解】(1)证明：根据题意得：AF∥CE,AE∥CF, ∴.四边形AECF是平行四边形， CD⊥BC, .四边形AECF是矩形；3分 (2)解：四边形AECF是矩形，AF=4, CE=AF=4,∠E=∠F=90°， AC平分∠BAF, .∠BAC=∠CAF, AF CE .∠ACE=∠CAF, .∠ACE=∠BAC, .AD=CD :tan∠BAC= 2 tan∠ACE=tan∠BAC= 2, AE 1 CE 2' ∴AE=2, 在Rt△ADE中，AE2+DE=AD2, :2+(4-cD}=cD 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：CD=2.5..8分 23 【详解】(1)解：在RMA4BC中，∠A=20°，an1sC AB,BC=24cm' AB=BC≈24 tan 0.36 ≈66.7(cm). 故眼睛A与屏幕BC的距离约为66.7Cm:3分 (2)解：延长FE交DG于点M, 由题意可知：∠G=∠H=∠F=90°， ∴.四边形GHFM为矩形， ∴.MG=FH,∠DME=90°， M E 图② .∠DEF=100° ∠DEM=80°， 在RtADEM中，DE=30cm' sin∠DEM=DM DE ∴.DM=DE×sin∠DEM=30×sin80°≈30×0.98=29.4(cm) ∴.FH=MG=DG-DM=100-29.4=70.6(cm) 故桌面EF到地面的距离FH约为70.6cm.8分 24. 【详解】(I)解：如图，过D作DH⊥AB于H,过C作CE⊥DH于E, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 西个东 南 459 30° E时 Ai H B .∠B=90° ∴.四边形BCEH是矩形， BC=EH=I千米，CE=BH, 根据题意，得∠DCE=90°-45°=45°，∠DAH=90°-30°=60°， :DC=2W2千米， ∴.CE=DE=DC·sin∠DCE=2千米， BH=CE=2千米，DH=DE+EH=2+1=3(千米)， 在RL△AFHD中，∠DAH=60°， AH =DH 3 tan60°√3 5千米， :AB=BH+AH=(2+)千米， 答：AB的长度为2+v3)干米，…6分 (2②)解：如图，设出发”小时后，小中到达点M,小国到达点N,他们之间的距离W=2 千米，则 DM=4x千米，BN=2x千米，连接MN,过点M作MF⊥AB于点F, 北 D 西个东 南 M 459 30% A B 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=4-5=2 由()可得 cos60°1 千米 1 2 :4M=D-DM=25-4)千米， :4F=4Mcos60=(5-2千米，MF=4M-sm60-(6-23)千米， :N=B-4F-N=2+5-(5-22x=2千米， 在Rt△MFN中，，MF2+FN2=MW2, (3-23x+22=(22, 整理，得12r2-123x+5=0 解得专 5V5 x2= 6, 6, 当g x=G时，0-5-2刘--5525<0 33,不符合题意，舍去， ,DM=4=4x51.15 6 千米) 1.15 答：小中出发千米后恰好与小国相 2V2 千米.12分 25. (I)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠CDB=∠ABD=∠ACD=45°， ∴.∠FDC+∠BDF=45° :∠EDF=45 .∠EDB+∠BDF=459 ∴.∠EDB=∠FDC 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EBD=∠FCD=45 .△DBE∽△DCF:4分 (2)解：连接BD交AC于点O, D 图2 :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ..AC=BD=62+82=10 OD=0C AB /CD :.∠ODC=∠OCD,∠ABD=∠ODC, .∠ABD=LOCD, maC-瓷-8手mF- .·∠EDF=∠BDC, ·∠EDF=∠EDB+∠BDF,∠BDC=∠BDF+∠FDC, .∠EDB=∠FDC, △DBE△DCF, ..BE-BD_10_5 C℉DC63, BE=5, .CF=3;8分 (3)解：菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5 设对角线AC、BD相交于点O, A D ,且与互相平分， 图3 :AC⊥BD AC BD AC=6 4C=x6=3,BD=20D: 2 2 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rta0DC中，0D=VDC2-0C=V52-32=4 tan∠0Dc=0C-3 OD4’BD=2OD=8, 3 tan∠EDF= 4 ∴.∠EDF=∠ODC ∴.∠EDB=∠CDF :BH⊥AD .∠HBD+∠HDB=90° ·.·∠HDB=∠ODC,∠ODC+∠OCD=90° ∴.∠HBD=∠OCD ∴.△DBEr△DCF DE BD 8 DFDC-5 CF=1, :0F=0C-CF=2,则DF=oF2+0D-2+4=25 DE=DF-165.2分 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3．在Rt中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______． 12．如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 13．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 14．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 15．如图，在四边形中，连结且，点E在上，连结交于点F，若，，则的长为______． 16．在中，于点，若，，，则的长为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2)． 18．如图，在中，，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 19．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 21．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取，取，结果保留到）． 22．如图，在中，点在上，于点，过点作，的平行线，分别交，的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 23．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 24．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 25．根据题意，完成以下各题 (1)【证明体验】如图1，正方形中，E，F分别是边和对角线上的点，，．求证：． (2)【思考探究】如图2，矩形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，，，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E，F分别是线段和上的点，，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，则CosA等于() 口B A. BC c. AB AC B.AB D.BC 2.已知x为锐角，且 n(-10) 2,则a等于() A.60° B.70° C.80° D.90° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C,那么下列等式中错误的是 () A.c=a sinA B.c=a.cosB C.a=b tanB D.b=a tan 4.如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则siC的值为 () B 5 25 A.5 B.5 C.5 D.2 5.如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示.若AC长为a米， 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则窗角C到窗框AB的距离CD的长度为() C A23 DB 图① 图② a a a A.tan23°米 B. in23o米 C.c0s230米 D.asin23o米 6.如图，在菱形ABCD中，O,E分别是AC,AD的中点，连接OE,若AB=10,AC=12,则sinLAOE的值 为() E 0 A. c.4 D.3 7.在。ABC中，∠A∠B都为锐角，若 osA、V② (3-tanB)2= 0,则∠C的度数是() A.15° B.45 C.75° D.105° 8.如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC,∠BAC=ax,AC=5米.现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的 长度需要() 加加 5 5 B.(5tana+5)米 C.cosa米 D.sina米 218 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图）， 测得∠AED=52.5°，BC=5米，CD=35米，DE=19米，则铁塔AB的高度约为(）（参考数据： sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30) D E A.7.6米 B.30.5米 C.27.5米 D.58.5米 10.如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为∠a,关于sina,cosc的值与梯子的倾斜程度之间的关系， 下列叙述正确的是() A.sinc的值越小，梯子越陡 B.cosa的值越小，梯子越陡 C.梯子的倾斜程度与sinc的值无关 D.梯子的倾斜程度与cosc的值无关 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果某个斜坡的坡度为 1:3 ，那么这个斜坡的坡角为 12.如图，正方形ABCD是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成.若矩形的对角线与长边的夹 角为c,则tan a的值是 13.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米 的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离等于米 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 A 14.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所夹的锐角分别是8 和l0°.大灯A离地面的距离为Q米，则该车大灯照亮地面的宽度BC是米.（不考虑其他因素） 4 (参考数据：sin8o- b5am8°，sin0r°-5，anl0°329 28) MB C 15.如图，在四边形ABCD中，连结AC,AC⊥BC且AC=BC,点E在CD上，连结BE交AC于点F,若 CE=AD,∠ADE=∠BBD,tan ZCEB=DE=4,则B的k为 16在AAC中，AD1BC于点D,若m∠CD-号，AB-5,AD-3,则BC的长为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： 1)2 -2cos60°+4sin60°-√12 (2)3tam45+23-2-(π-v5° 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18,如图，在△MBC中，B=45”,4B=6,4C=7,点D在边BC上，且DC=120 (1)求BD的长： (2)求∠C的余弦值. 19.如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中BC∥AD,坝顶宽BC=I0米，斜坡AB=60米，坡角 ∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:3,坝高BE L AD于点E. B C =1:3 A⊥30 公 (I)求坝高BE: (2)求水库坝底宽AD的长。 20.如图①、图②、图③均是7×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为 格点，△ABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留 适当的作图痕迹，不要求写出画法. A 图① 图② 图③ O在图D中的边4C上画点p:连接BP:使am∠CBP 3: (2)在图②中的边AC上画点，连接BQ,使tan∠ABQ=1, (③)在图图中的边4C上画点M,连接BM,使m∠ABM 3 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度. 如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=4m,∠DCE=30°，点E,C，,A在同一条水平直线 上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° D J27° h30 45° E C (1)求DE的长： ②求塔4B的高度.(am27”取05，V5取1,73，结果保留到0，m). 22.如图，在△ABC中，点D在AB上，CD⊥BC于点C,过点A作BC,CD的平行线，分别交CD, BC的延长线于点E,F. E B (I)求证：四边形AECF是矩形： (②)若AC平分∠BAF, tan∠BAC= 2,AF=4,求CD的长. 23.2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时， “视线角”为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上， 肘部形成的“手肘角”P为l00°（参考数据：sin20°≈0.34，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，tan80°≈5.67， 结果精确到0.lcm), 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)如图1，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”a为20°，BC=24cm时，求眼睛A与屏幕BC的 距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离DG=100cm,大臂DE=30Cm,小臂水平放在桌面EF上，为保持正确 坐姿，求桌面EF到地面的距离FH. 24.中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个 打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向 且在C的北偏西45°方向，DC=2W2千米，BC=1千米. 北 D 西→东 南 45 30 A: B (I)求AB的长度：（结果保留根号） (2)小中和小国分别从D、B打卡点同时出发，小中以4km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打 卡点，小国以2km/h的速度从B打卡点沿B→A方向跑步至A打卡点，请通过计算说明，小中出发多少 千米后恰好与小国相距2,5 米？（结果保留小数点后两位，参考数据： √2≈1.41V3≈1.73 25.根据题意，完成以下各题 图 图2 图3 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E,F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°， BE=2CF 求证：△DBEADCF (2)【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E,F分别是边AB和对角线AC上的点， 4 tan∠EDF= 3,BE=5,求CF的长。 (3)【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC=5,对角线AC=6,BH⊥AD交DA的延长线于点H,E, F分别是线段HB和AC上的点，am∠EDF子 4,CF=1,求DE的长. 8/8 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 3．在Rt中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，需根据锐角三角函数的定义对每个选项的等式进行推导验证，判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，、、的对边分别为、、， ∵， ∴，故正确，不符合题意． ∵， ∴，而选项中，与推导结果不符，故错误，符合题意； ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴，故正确，不符合题意； 故选：． 4．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 5．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 6．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 7．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 8．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】地毯的长度为的长，利用正切定义求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为（米）． 故选：B． 9．电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】如图：延长交于G，过C作于F，得到，设，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：延长交于G，过C作于F， ∴（米）， ∵山坡的坡度为， ∴， 设，， ∴由勾股定理得：（米），即（米）， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米． 10．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，长度不变， ∴， ∴的值越小，则的值越小，此时梯子越平缓，故A、C错误； 的值越小，则的值越小，此时梯子越陡，故B说法正确，D说法错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______． 【答案】 【分析】根据坡度的定义得到坡角的正切值，再利用特殊角的三角函数值得到坡角的度数． 【详解】解：设这个斜坡的坡角为， 由坡度的定义可知，坡度等于坡角的正切值， ， ， ， 这个斜坡的坡角为． 12．如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为，根据图形拼接特点得出，由大正方形的边长相等建立方程求出与的关系，利用锐角三角函数定义求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为， 由图可知：，大正方形由4行图形拼接而成，且每行高度均为， ， 大正方形的边长由一个小正方形边长和一个矩形长组成，， 四边形是正方形， ， ，， 在矩形中，． 13．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 14．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】作于D点，则．在中， 根据，可得，同理可得，进而可得．本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D点，则． 在中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． ∴． 15．如图，在四边形中，连结且，点E在上，连结交于点F，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，首先证明()推出，，由，，推出，，推出，再根据，构建方程求出，即可解决问题． 【详解】解：过点A作交的延长线于点M，过点B作交的延长线于点N，则， ， ， 又， ， ，， ， 设，则， 由勾股定理，得， ， ， ， ， ， ，， ， 且， ． 16．在中，于点，若，，，则的长为________． 【答案】或/或 【分析】根据题意画出图形，注意在内部和外部两种情况． 【详解】解：当在内部时， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， ， ； 当在外部时， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， ， ； 综上可知，的长为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．如图，在中，，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，先解直角三角形求出的长，再求出，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点． ∴， ∵， ， ， ， ． ． ． （2）解：，， ． ． 19．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 21．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取，取，结果保留到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，直接求解的长度． （2）先通过三角函数求出的长度，再利用等腰直角三角形的性质表示出相关线段，通过构造矩形，建立方程求解塔高． 【详解】（1）解：在中，， ， 即的长为； （2）解：设． 在中，， ，在中，由，，得， ，即的长为， 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形， ，， 可得， 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 22．如图，在中，点在上，于点，过点作，的平行线，分别交，的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明，结合矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 23．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 24．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 25．根据题意，完成以下各题 (1)【证明体验】如图1，正方形中，E，F分别是边和对角线上的点，，．求证：． (2)【思考探究】如图2，矩形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，，，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E，F分别是线段和上的点，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ； (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的性质，结合可得，再由，可证得； （2）由勾股定理解得的长，连接交于点O，由，得到，继而证得，最后由相似三角形的对应边成比例解答； （3）设对角线、相交于点O，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理解得，的长，再根据菱形对角线平分一组对角可证得，最后根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点O， ∵四边形是矩形，，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：菱形中， 设对角线、相交于点O， ，且与互相平分，， ，， 中，， ，， ， ∴，则， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $