第二章 反比例函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 5．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 7．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 9．关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A．B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 12．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 13．如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 14．如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 15．如图，将半径为的量角器（看作半圆，圆心为）放置在平面直角坐标系中，使刻度线与轴重合，原点位于量角器边缘．若反比例函数的图象经过量角器边缘上一点，且点对应的读数为，则________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 18．如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 19．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 20．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 21．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 23．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 24．我们将自变量为的函数记作，若点和都在函数的图象上，则称点是点在函数作用下的传承点．如点是点在函数作用下的传承点． (1)求点在函数作用下的传承点的坐标； (2)直线与双曲线交于、两点，且点是点在这两个函数作用下的传承点，求直线与双曲线的解析式； (3)抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为，且点是点在这两个函数作用下的传承点，抛物线的对称轴是直线，二次函数在点与点之间的最大值与最小值之差为，求点、的坐标． 25．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． (1)求的值； (2)点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章 反比例函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C C C B D B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16．2或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为．................3分 （2）解：过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）知， ∴点，点， ∴，，，， ∴． ∵D为的中点， ∴， ∴，． ∴． ∴．................6分 18． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为；................3分 （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为．................6分 19． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为；................3分 （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ．................6分 20． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ；................3分 （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ．................6分 21． 【详解】（1）解：， ∴当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；................2分 （2）解：当时，， ∴把代入得；................5分 （3）解：∵晚上到第二天早上，一共有11小时， ∴将代入，则， ∴第二天早上不能驾车去上班．................8分 22． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得；................2分 （2）如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ；................5分 （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ．................8分 23． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为．................2分 （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，．................4分 （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴．................6分 （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴．................8分 24． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴点在函数作用下的传承点的坐标为．................4分 （2）设，， ∵点C，D都在反比例函数图象上， ∴， ∴， 将，代入中 得 两式相减得， ∴直线的解析式为，双曲线的解析式为．...............8分 （3）抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为， ，且， 即， 则， 即， 对于二次函数在、之间的最大值与最小值之差为， 分和两种情况讨论， ①当时，抛物线开口向上，直线上升，由于点在对称轴右侧，点在对称轴左侧， 二次函数在、之间的最大值在点处取得，最小值在顶点处取得， 从而有，解得， 故，代入，解得或， 当时，求得，，两点重合，舍去， 当时，求得，； ②当时，抛物线的开口向下，直线下降，由于点在对称轴右侧，在对称轴左侧， 二次函数在，之间的最小值在点处取得，最大值在顶点处取得， 从而有，解得， 故，代入，解得或， 当时，求得，，两点重合，舍去， 当时，求得，； 综上所述，，或，．................12分 25． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 将点代入反比例函数，得， 反比例函数的表达式为．................4分 （2）解：①设点的坐标为，轴，点在矩形的内部，在上， 则，边上的高为， ， ． 点的坐标为．................8分 ②如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． 由题意，设点的坐标为，， 则，． ， ，即． ，， ． 又， ， ， ，， 点的坐标为． 是反比例函数图象上一点， ， 解得（舍去），， 将代入， 得点的坐标为．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）， A、分母为，不符合反比例函数形式，不是关于的反比例函数； B、符合反比例函数形式； C、是正比例函数； D、是二次函数． 2．下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 3．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 5．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的坐标，然后结合已知可求出，过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例求出，根据勾股定理求出，从而求出点的坐标，即可得解． 【详解】对于一次函数，当时，， ， ， ， ， 过点作轴于， ， ，即， ， ， ， ． 7．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 8．若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得M的坐标，求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断①；联立方程求得交点坐标即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④． 【详解】解：把代入中，得， ∴， 把代入， 则， ∴， ∵，， ∴函数值在第一象限随x的增大而减小，故A正确，不符合题意； 联立方程组， 解得：或， ∴点N的纵坐标为1，故B正确，不符合题意； 若将一次函数的图象向下平移1个单位后，则平移后的函数解析式为：， 联立方程组， 解得：， 则平移后的一次函数与反比例函数图象只有一个交点，故C正确，不符合题意． ∵，， ∴如解图，根据图象可知当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，，故D错误．符合题意． 9．关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】将函数转化为平移后的反比例函数，利用反比例函数的对称性判断各结论正误． 【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到， 当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误； ∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位， ∴平移后对称中心为，对称轴为直线和， ∴ ②③④正确，故选项B符合题意． 10．已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 12．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的增减性比较和的大小． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点和的横坐标都为正，两点都在第一象限，且， ∴． 13．如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可知随的增大而减小，再利用时，求出的取值范围，结合求的范围． 【详解】， 在自变量的取值范围中，随的增大而减小， 时，， ， ． 14．如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 【答案】 【分析】设，先求出点的坐标分别为，，再根据反比例函数的解析式可得的值，进而可得点的坐标，然后代入一次函数的解析式求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得， ∴， 将点代入直线得：， 解得． 15．如图，将半径为的量角器（看作半圆，圆心为）放置在平面直角坐标系中，使刻度线与轴重合，原点位于量角器边缘．若反比例函数的图象经过量角器边缘上一点，且点对应的读数为，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点，即可求解． 【详解】解：连接，过点作， 根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵双曲线经过量角器边缘上一点， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 【答案】2或 【分析】设正方形的边长为，根据题意得，，，边的三等分点有两个，，据此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 由于正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形 则，，， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 综上所述，k值为2或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点D、C的坐标代入中得，然后解方程分别求得m、k值即可解答； （2）过点D分别作于点E，于点F，由（1）可得，点，根据D为的中点，求出点A坐标，结合坐标与图形性质求得，．，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）知， ∴点，点， ∴，，，， ∴． ∵D为的中点， ∴， ∴，． ∴． ∴． 18．如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 19．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 20．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 21．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升 (2) (3)不能驾车上班． 【分析】（1）利用确定最大值； （2）直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）求出时，的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：， ∴当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （2）解：当时，， ∴把代入得； （3）解：∵晚上到第二天早上，一共有11小时， ∴将代入，则， ∴第二天早上不能驾车去上班． 22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出； （2）先求出点的坐标，根据，即可求解； （3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得； （2）如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ． 23．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 24．我们将自变量为的函数记作，若点和都在函数的图象上，则称点是点在函数作用下的传承点．如点是点在函数作用下的传承点． (1)求点在函数作用下的传承点的坐标； (2)直线与双曲线交于、两点，且点是点在这两个函数作用下的传承点，求直线与双曲线的解析式； (3)抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为，且点是点在这两个函数作用下的传承点，抛物线的对称轴是直线，二次函数在点与点之间的最大值与最小值之差为，求点、的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (3)，或， 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式中求出的值，结合传承点的知识求出答案； （2）设，，求出和之间的关系，进而求出的值，于是得到答案； （3）首先求出与和之间的关系，用和表示出点点的坐标，再分和两种情况，并结合最大值和最小值之差为求出和点坐标，最后把点坐标代入二次函数的解析式即可求出的值，即可求出点和点的坐标． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴点在函数作用下的传承点的坐标为． （2）设，， ∵点C，D都在反比例函数图象上， ∴， ∴， 将，代入中 得 两式相减得， ∴直线的解析式为，双曲线的解析式为． （3）抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为， ，且， 即， 则， 即， 对于二次函数在、之间的最大值与最小值之差为， 分和两种情况讨论， ①当时，抛物线开口向上，直线上升，由于点在对称轴右侧，点在对称轴左侧， 二次函数在、之间的最大值在点处取得，最小值在顶点处取得， 从而有，解得， 故，代入，解得或， 当时，求得，，两点重合，舍去， 当时，求得，； ②当时，抛物线的开口向下，直线下降，由于点在对称轴右侧，在对称轴左侧， 二次函数在，之间的最小值在点处取得，最大值在顶点处取得， 从而有，解得， 故，代入，解得或， 当时，求得，，两点重合，舍去， 当时，求得，； 综上所述，，或，． 25．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． (1)求的值； (2)点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为；②点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数综合（矩形性质、三角形面积、一次函数解析式、相似三角形判定与性质、坐标变换），解题的关键是利用中点求出点坐标确定反比例函数参数；借助铅垂高建立面积方程求解动点坐标；利用等角条件得到正切值相等构造相似三角形完成坐标转化，最后代入反比例函数列方程求解． （1）先根据矩形以及中点性质求出点D坐标，代入反比例函数解析式求得k的值； （2）①设出动点P坐标，确定铅垂高，由三角形面积公式列方程求解； ②先求出直线解析式，设点M坐标，由得到正切比值，证明，利用相似得到点P关于n的坐标表达式，再代入反比例函数解方程求出参数，舍去不合理解，得到点P坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 将点代入反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：①设点的坐标为，轴，点在矩形的内部，在上， 则，边上的高为， ， ． 点的坐标为． ②如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． 由题意，设点的坐标为，， 则，． ， ，即． ，， ． 又， ， ， ，， 点的坐标为． 是反比例函数图象上一点， ， 解得（舍去），， 将代入， 得点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是() A.少=1 2 x-1 B.y= x C.y= 3 D.y 2.下列给出的各个点中，不在双曲线少=一x上的点为() A.(0,6) B.(2,-3) c.（1,6) D.（2,3) 3.己知反比例函数y=1 ,当1<x<6时，y的最大整数值是() A.-3 B.4 C.6 D.-11 4.如图是反比例函数y= 女的高分用象，已知该图家过点(23点P是周除任意点。过 点P作PM⊥x轴，垂足为M,则△POM的面积是() A.6 B.2.5 C.3 D.2 5,关于函数y=一10的说法错误的是(y A.它是反比例函数 B.它的图象位于第二、第四象限 C,它的图象经过点3，-1】 D.当x<0时，y随x的增大而增大 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=c-1(k≠0)的图象分别与x轴和y轴交于点A和B, 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与反比例函数y=m PA_3 =x（m≠0)在第一象限内的图象交于点P:若OP=OB,AB5,则m=（） 3 4 12 25 A.4 B.3 0.25 D.12 7.某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处 于悬浮状态时，浸在液体中的高度”(m)是液体的密度P8cm )的反比例函数，其图象如图所示( p>0 ),下列说法正确的是() Ah 10 o 1 A.当P≥1时，h≥10 B.当0<p≤12.5时，h≥0.8 C.当P=2时，h=20 D.当0<p≤1时，h≤10 8.若点M,N是一次函数y=-x+5与反比例函数片=《≠0，x>0)图象的两个交点，其中点M的横坐标 为1，下列结论错误的是() A,函数值”随x的增大而减小 B.点N的纵坐标为1 C.若将一次函数男=-+5的图象向下平移1个单位后，与反比例西数为冬k+0,x>0)图象只有一 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个交点， D.当Kx<4时，y<乃 2 9.关于函数y=x十3的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点：②函数图象关于直线 y=x+3 对称：③函数图象关于直线y=-x- 对称：④函数图象关于-3,0) 成中心对称.其中正确的个数 是() A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 10.己知二次函数y=ar2+bc+c的图象如图所示，则正比例函数y=(2a-b)x与反比例函数y=a x在同 一平面直角坐标系中的图象大致是() 3+2-10 头朵 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.己知正比例函数y=(k≠0)的图象与反比例函数'=x的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是 (1,1) 那么点B的坐标是 k2+1 12.已知点A4小B(2,)在反比例函数》=x(k为常数)的图象上，则片为（填“>” “<”或“=”) 319 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“E”形图所成的角叫做分辨视角 8,视力值n与分辨视角8（分）的对应关系近似满足 n-05≤0≤10)，当m≥10时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角0的范围是 14.如图，在直角坐标系第一象限内，正方形ABCD的边长为2，AB边在x轴上，C在反比例函数图像 y=! 上，D在直线y=x+b(b>0)上，则b的值为 D E 15.如图，将半径为4的量角器（看作半圆P,圆心为P)放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴 重合，原点0位于量角器边缘.若反比例函数y=(>0)的图象经过量角器边缘上一点Q,且点Q对应 的读数为60°，则k=」 16.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形OACB是正方形，将正方 形OACB沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形DEFG,点O与点D是对应点，点B与点G是对应点， 若反比例函数y名k≠0)经过点G和边你的三等分点，则长值为一 419 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 1.如图，在A0OB中，∠ABO=90,点B在x转的正半转上，反比例函数(x>0)的图象经过斜边 点D(2m-l2m),与直角边B相交于点C(4m）,连接CD OA的中 (1)求反比例函数的表达式 (2)求△ACD的面积. k 18.如图，正方形OAPB、ADFE的顶点ADB在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数y=x的 图像上，已知正方形OAPB的面积为9， B (1)求k的值和直线OP的解析式： (2)求正方形ADFE的边长， 19.如图，一次函数y=-x+b的图象是由y=π的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数y=x r( 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x<0 .A E y 的图象于点B,交》轴于点.E为'轴上一点，DE y=-x+b 分别交一次函数 、反比例函数 k y= 的图象于点D,F:过点B作BC⊥y轴于点C,BC为AMDE的中位线，BC=1: D F B (1)求反比例函数y=x的表达式： (2)求线段DF的长. 20.如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，对角线OB,AC相交于点D,已知 B(8,4),反比例 k 函数y=(x>0)的图象经过点D. F B (1)求反比例函数的解析式： (2)延长BC交反比例函数的图象于点E,交'轴于点F,连接DE,求aODE的面积. 21.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y(毫克 百毫升)与时间x(时)的关系可近似的用二次函 y=-2002+400x表示，15小时后（包括5小时）y 1.5 表示； 与x可近似的用反比例函数y=k>0)表示（如图所示）. 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y(毫克/百毫升) 01.5 x(时) ()喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值. (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾 车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车 去上班？请说明理由 2.如图，一次西数y=X+6的图德与反比例西数y女：>0的图像交于4机4，Bm,)两点，与x抽 交于点C B (1)求k,m,b的值： (2)连接OA,OB,求△AOB的面积： 6)将一次函数y=一x+b的图像向下平移a(口>0)个单位长度，若平移后的图像与反比例函数少-冬(x>0) 的图像只有一个交点，求n的值 k-1 23.己知反比例函数y=x的图象经过点(2,3) (1)求k的值： (2)当x=-3时，求y的值： (3)当1<x<4时，求y的取值范围， 国已知二次函数y=心-如-2的最大值为一0，求该二次西数的表达式 4 24.我们将自变量为的函数记行f儿)，若点1(m,川和B()都在函数（四的图象上，则称点B是点A 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在函数 作用下的传承点.点3是后训 在函数)=x+2作用下的传承点。 3 ()求点(3，-)在函数少=一作用下的传承点的坐标： ②直线)=+2与双曲线y= x交于CD两点，且点D是点C在这两个函数作用下的传承点，求直线与 双曲线的解析式： y=ax2+bx+ (3)抛物线 与直线'=aw+ 交于抛物线对称轴两侧的E、F两点，点E的横坐标为2，且点 厂是点在这两个爵数作用下的传承点，抛物线++C的对称轴是直线2。 二次函数 y=ax2+bx+c 在点E与点F之间的最大值与最小值之差为8，求点E、F的坐标. 25.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为(6,4).反比例 k 函数y=x>0)的图象经过BC的中点D,与B交于点E: B E 图1 图2 (1)求k的值： ②点p是y在x>图象上一点 x ①如图1，若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂足为点F,连接PE,EF,若△PEF的面积为2， 求点P的坐标： ②如图2，作直线AC,连接OP,在OP上方作∠OPO=∠OAC,过点O作OP的垂线，交PO于点M, 当点M落在直线AC上时，求点P的坐标. 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 919