专题08 一次函数与几何综合压轴（九类）（解答题）（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题03 一次函数与几何综合压轴（九类）（解答题） 模型一：一次函数与等腰三角形综合压轴 模型二：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 模型三：一次函数与直角三角形综合压轴 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 模型一：一次函数与等腰三角形综合压轴 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值；(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒个单位长度的速度向轴负方向运动（点不与点、重合）．设点的运动时间为秒．①若点在线段上，且的面积为，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点．(1)求直线的解析式；(2)若点是线段上的一个动点，当的面积为时，求出此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：分别与轴、轴交于点、，并与直线相交于点．(1)求直线的表达式；(2)如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点，并与轴交于点，求四边形的面积；(3)若点为直线上一动点，且使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 模型二：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 6．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知长方形的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，顶点，直线经过点交于、交轴于点，点是的中点，直线交于点．(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)求的面积，并在直线上找一点，使的面积等于的面积，请求出点的坐标．(3)在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，在线段上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的的值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式；(2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图（1），直线：分别与轴、轴交于，两点，点沿轴向右平移3个单位得到点，连接，作直线． (1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)若点在线段上，且使的面积为，请求出点的坐标；(3)如图（2），为轴上点右侧的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点．(1)将直线向上平移t个单位得到直线，分别交轴于点，交轴于点． ①若，求直线的解析式；②直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有值及对应点的坐标：若不存在，请说明理由；(2)将直线向上平移得到直线，如图2，点，（）在直线上，连接，交于点，求点的横坐标． 10．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式；(2)若点是轴上的一动点，且不与点重合，连接，求的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)以为一边在的右侧作等腰直角，请直接写出点的坐标． 模型三：一次函数与直角三角形综合压轴 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 14．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式；(2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标；(3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且．(1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 19．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 21．（26-27八年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图（1）， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 直线与直线关于轴对称，直线与轴交于点 ． (1)求直线的函数解析式；(2)如图（1），若点是线段上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标；(3)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行．(1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标；(3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标； (4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 26．（25-26八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】(1)求直线的解析式．(2)如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式．(3)如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 27．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．(1)点与点关于轴对称，求的面积；(2)在（1）的条件下，若点在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点的坐标．(3)变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为1．点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (4)在（3）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，，若，求点的坐标． 28．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 29．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，与直线交于第一象限的点，且点的纵坐标为． (1)求直线对应的函数解析式；(2)点为直线上的一点，且点在第二象限，若的面积与的面积相等，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点为线段上的一点，过点作轴的平行线，与直线、直线分别交于点，，若，求点的坐标． 30．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． (1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 31．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：①点与点___________是一对“芙蓉点”；②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点． (1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标； (3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）． 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 34．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 35．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 36．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在，，中，点的“和谐点”有__________； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 37．（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”． 【应用】(1)①点的“跃迁点”坐标为 ；点的“跃迁点”坐标为 ；②若点是点的“跃迁点”，则的坐标为 ； 【探究】(2)已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如下图所示．当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式； 【拓展】(3)在（2）的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 38．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，，即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，，①当时，求的面积；②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 39．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的纵坐标满足：则称点为点的“关联点”． 例如：点的“关联点”坐标是，点的“关联点”坐标是． 【特殊感知】(1)点的“关联点”的坐标为______； 【问题解决】(2)已知点在函数的图象上，点是点的“关联点”： 请直接写出关于的函数解析式；若点的纵坐标为，求点的横坐标． 40．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 41．（25-26八年级下·广东茂名·期末）【命题证明】如图1，是的角平分线，求证：． (1)关于此问，数学兴趣小组讨论后给出如下解决思路：如图，过点分别作、边上的高线，再利用“角平分线性质和等面积法”解决问题．请完成证明． 【理解应用】(2)如图2，一次函数与轴、轴分别交于、两点，请在轴上找一点，使得射线平分，请用无刻度直尺直接画出射线，并写出点的坐标； 【深度思考】(3)如图3，在中，，，是边上一点且是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，当，时，求的长． 42．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y (1)如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B，①求证：；②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． (2)如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？(3)若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 43．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式；(2)点在直线l上．①当时，判断点是否在直线上；②若点在的边上，求的值；③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 44．（25-26八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，我们规定： ①点的对换点为点；②若在直线上取任意一点，在直线上都能找到它的对换点．同时，对于直线上任意一点，都能在上找到点，使得点为点的对换点，则称直线为直线的对换直线．根据规定，解答下列问题：(1)的对换点是 ．(2)若点为一次函数的图象上一点，且点的对换点也在一次函数的图象上，求线段的长；(3)若直线是直线的对换直线，且和相交于点，与轴交于点，与轴交于点，连接，求的度数． 45．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数．(1)求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标；(2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与几何综合压轴（九类）（解答题） 模型一：一次函数与等腰三角形综合压轴 模型二：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 模型三：一次函数与直角三角形综合压轴 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 模型一：一次函数与等腰三角形综合压轴 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值；(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒个单位长度的速度向轴负方向运动（点不与点、重合）．设点的运动时间为秒．①若点在线段上，且的面积为，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5(2)①7，②存在，的值为4或8或或 【详解】（1）解：点为直线上一点， ，．代入得，，． （2）解：①对于直线，当时，，即， 直线，当时，，即，， 点在线段上，则，． ，中边上的高为4，，，解得． ②过点C作轴于点E，则，， ，，，在中，由勾股定理可知， ，，，． 当时，，即或，解得或； 当时，轴，，，即或， 解得或（此时P与点A重合，故舍去）； 当时，在中，由勾股定理可知， ，解得；综上可得，的值为4或8或或 2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点．(1)求直线的解析式；(2)若点是线段上的一个动点，当的面积为时，求出此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，，， 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 把、代入得： 解得，，∴直线的解析式为． （2）解：∵，∴．∵，∴点的纵坐标为． ∵点在直线上，∴，解得，∴点的坐标为． （3）解：存在．设，∵，∴． ①当时，，解得或（与点重合，舍去），∴； ②当时，，∴或； ③当时，，解得，∴． 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 3．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：分别与轴、轴交于点、，并与直线相交于点．(1)求直线的表达式；(2)如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点，并与轴交于点，求四边形的面积；(3)若点为直线上一动点，且使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：把点，点代入函数解析式，得： ，解得，∴； （2）解：∵分别与轴、轴交于点、， ∴当时，，当时，，∴， 联立，解得，∴， 设平移后直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴，∴当时，，∴， 连接，； （3）解：由（2）知：，∴，设， ∵，∴，， 当为等腰三角形时，分3种情况：①，则，即， 当时，两点重合，不符合题意，∴，∴，∴； ②当时，，解得； ③当时，，解得；综上：点的横坐标为或或. 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)、 、、 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C，∴，即， ∵，∴，即， 将代入可得：，解得：． （2）解：∵，∴，即， 设直线的解析式为，将代入，得： ，解得，∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m，∴， ∵轴，∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得，解得：， ∴，∴ 的长度为， 由，得，解得：或， ∵D在线段上，，∴，∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即，解得：或，∴对应点的坐标为和； ②当时，即，解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去；当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，，解得：，∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 5．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为(2)或 (3)存在， 【详解】（1）解：令则；令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得，∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴，∴，，∵为直线上一动点，∴设， 过作轴交于，则，，∴ ∵，∴，整理得， 解得或，∴或； （3）解：∵，∴， 由勾股定理，得， ∵Q在x轴上，∴设，则，， ①当时，∵， ∴，解得或，∴点Q的坐标为或． ②当时，∵， ∴，两边平方，得，即， 解得（与A重合，舍去）或，∴点Q的坐标为， ③当时，∵，∴， 两边平方，得，即，解得，∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 模型二：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 6．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知长方形的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，顶点，直线经过点交于、交轴于点，点是的中点，直线交于点．(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)求的面积，并在直线上找一点，使的面积等于的面积，请求出点的坐标．(3)在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，在线段上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或 (3)在线段上存在一点Q，使得为等腰直角三角形，当时点Q的坐标为或，当时点Q的坐标为． 【详解】（1）解： 四边形为长方形，点的坐标为， 点的坐标为，轴。 直线经过点，，， 直线的解析式为。 当时，有，解得：， 点的坐标为。 点是的中点， 点的坐标为，即， 设直线的解析式为，∴ 直线的解析式为。 （2）。 当时，， 点的坐标为。设点的坐标为。 ，，解得：或， 点的坐标为或。 （3） 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为。 分三种情况考虑：①当时，如图1所示。 为等腰直角三角形，，即，解得：，此时点的坐标为； ②当时，如图2所示。 为等腰直角三角形，，即，解得：，此时点的坐标为； ③当时，过点作于点，如图3所示。 为等腰直角三角形，，即，解得：， 此时点的坐标为，点的坐标为此时点的坐标为，即。 综上所述：在线段上存在一点，使得为等腰直角三角形，当时点的坐标为或，当时点的坐标为。 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式；(2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)点M的坐标为或(3)存在，点的坐标为和 【详解】（1）解：将点代入，得． 将点代入，得，解得．∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时，，解得． 对于，当时，；当时，，解得． ，，．， ．． 分情况讨论如下：①如图，当点在线段上时， ，即，解得． 将代入，得，解得．的坐标为． ②如图，当点位于线段的延长线上时， ，即，解得． 将代入，得，解得．的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）设的坐标为，分情况讨论如下：①如图，当点位于直线右侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，，， 又，，． ，，，解得．的坐标为． ②如图，当点位于直线左侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，，， 又，，． ，，，解得．的坐标为． 综上，点的坐标为和． 8．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图（1），直线：分别与轴、轴交于，两点，点沿轴向右平移3个单位得到点，连接，作直线． (1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)若点在线段上，且使的面积为，请求出点的坐标；(3)如图（2），为轴上点右侧的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为(2)(3)点的位置不发生变化， 【详解】（1）解：∵分别与轴、轴交于，两点， ∴，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴， ∵点沿轴向右平移3个单位得到点，∴，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设， ∵，，，∴，，∵的面积为，， ∴，解得：，∴，∴． （3）解：如图，过点作轴于， ∵以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴，即，∴， ∴是等腰直角三角形，，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴点的位置不发生变化，． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点．(1)将直线向上平移t个单位得到直线，分别交轴于点，交轴于点． ①若，求直线的解析式；②直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有值及对应点的坐标：若不存在，请说明理由；(2)将直线向上平移得到直线，如图2，点，（）在直线上，连接，交于点，求点的横坐标． 【答案】(1)①②时，：时，，．(2) 【详解】（1）解：令，则，解得，∴，∴， ∵∴，∵将直线向上平移t个单位得到直线，∴， 设的解析式为：，把代入，得， ∴，∴的解析式为：． ②设的解析式为：．则，令，则，∴， ∵∴．，， 分三种情况求解，当，，，即， 则，解得，为负值的舍去．则，． 当，，， 即，则，解得，为负值的舍去．则，， 当，，， 则，则，解得：，为负值的舍去，则，， 综上：时，：时，，． （2）解：设直线的解析式为将，，代入解析式得， ，，和是方程的两个不同的根， 由韦达定理得：，设直线的解析式为：， 把，代入， 则，解得：，∴直线的解析式为：， 同理可求出的解析式为：， 联立两解析式，整理得： 由得出代入，得：， 即，根据题意，则．即点Q的横坐标为． 10．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式；(2)若点是轴上的一动点，且不与点重合，连接，求的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)以为一边在的右侧作等腰直角，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：将点代入直线得，， ∴，将点，代入直线得，，解得，∴； （2）解：∵，，∴，∴的面积， ∵点不与点重合，∴，∴； （3）解：对于直线，令，得，则，令，得，则， 若点是直角，则，，过点作轴于，则有， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴； 若点是直角，则，，过点作轴于，则有， 同理可证，，∴，，∴，∴； 若点是直角，则，， 过点作轴于，作轴于，则有， ∴，∴，即， ∵，，，∴， ∴，，∴设， ∵，∴，解得，∴；综上，点的坐标为或或． 模型三：一次函数与直角三角形综合压轴 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值是6，b的值是(2)①；②或 【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴点， ∵函数的图象过点，∴，解得，即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为，∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒，∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，，∵点，点，点，点， ∴，，∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，解得，； 当时，∵，，∴，∵，∴，解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)，，；(2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入， ∵，∴，∴直线：， 把代入，∴，∴， 把代入，∵，∴． ∴直线 故答案为：，，； （2）解：①∵直线，当时，解得，∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到∴，∴； ②当E点落在y轴上时，在中，∵ ∴，∴，∴点E的坐标为； ③如下图，当时，由翻折得，∴， ∵，∴，∴，∴点D的坐标为； 如下图，当时，，设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， ∴，∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【详解】解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为，把点代入中， 得，所以，把代入中，得， 所以直线的表达式为，所以当时，，即点， 所以当，的边上的高为4，所以； （2）因为点在直线上，所以，所以，即直线的表达式为， 当时，，解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ①如图，当时，由题可得，，所以， 因为轴，所以，所以，因为，所以 ②如图，当时，由题可知，，， 所以，所以， 设，则，在中，， 所以，解得，所以，所以， 综上所述，点的坐标为或 14．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标； (3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)点的坐标为 (3)存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时 【详解】（1）解：将点，代入一次函数中得： ，解得，一次函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与轴交于点，， 当点在延长线上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点，， ， ，， ，解得，点的坐标为； 当点在线段上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，直线的解析式为， 则有，解得，， ，，， ，， ，解得， 点的坐标为，由于点位于第二象限，不符合题意，故舍去；综上，点的坐标为； （3）解：存在，由（）可知，点的坐标为， ，，，， ，是等边三角形，，即， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，，即 ， 是等边三角形，， 在和中，，，， 当点在之间时，即当时，如图，记与轴的交点为， ，， ，， ， 当以、、为顶点的三角形是直角三角形，有，， 是等边三角形，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ； 当点在之间时，即当时，如图， ，，， 不存在以、、为顶点的三角形是直角三角形． 综上，存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)2，(2)24(3)①；②或 【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∴点， ∵点在直线上，∴，解得，故答案为：2，； （2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，可得；令，可得，∴点，点， ∵直线与轴交于点，令，可得，∴点， ∴，∴； （3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 则，此时值最小，最小值为， ∵点，∴点B关于x轴的对称点点， 又点，设直线的表达式为， ∴，解得，∴直线的表达式为， 令，可得，∴点的坐标为；故答案为：； ②∵，∴， 当时，∴，即，∴点的坐标为； 当时，又，∴，即， ∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．故答案为：或． 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或或或 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即，∴，即， 将点A坐标代入得：，解得，∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：，∴， ∵，∴，设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：，∵点C在直线上，∴当时，，即； 当时，，即．∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵，∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时，∴，即点P的横坐标为或，如图： ∴点P的纵坐标为或，∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且．(1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在；或，或． 【详解】（1）解：当时，，∴，∴ ∵，∴，∴，把代入，即解得． （2）解：∵，，∴， 由折叠的性质可知：，，∴， ∴，∴．设， 则，，则，在中，， 即，解得：，∴ （3）解：∵，，∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时，∴，∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或，故或 当时，∴，∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或，即或， 解得：或，∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，，(2)(3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，∴，设，则， 由折叠的性质可得，，∴， 由勾股定理可得：，∴，解得：，∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，，代入表达式可得， 解得，∴直线的表达式为， 联立，解得，∴，∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，，∴， ∵，，， ∴，∴为直角三角形，且， ， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ∵，∴，把代入可得， ，此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图：， 由题意可得：，，∴， ∵，∴，把代入可得，，此时； 当点在上时，∵点与点不重合，∴不存在； 当点在上时，当，如图： ∵，∴，∴把代入可得，，此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 19．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②存在，或或 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴，，， ，，， ，， ，， 又在第二象限，所以点C的坐标为． （2）①由（1）知，轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得，，； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时，则点和点B关于直线对称，则M的坐标为； 当时，则点和点B关于的中垂线对称，故的坐标为； 当时，则点和点关于对称，故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点P的横坐标为0或或 【详解】（1）解：对于直线，令，则，解得； 令，则；∴，，∴，， ∴在长方形中，，，，∴点B的坐标为；故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形，∴，由折叠的性质得， 设，则，在中， ∴，解得，∴，∴点D的坐标为； （3）解：①当点P与点O重合时，，此时点P的横坐标为0； ②当点P在第一象限时，则，设与交于点， ∴，，，， ∴，∴，∴， 过点作，∵，∴， ∴点P的横坐标为； ③当点P在第二象限时，则，设与交于点， ∵，∴， ∴，，，， ∴，∴，即，设， 在中，，∴，解得，∴， ∴，过点作，∵， ∴，∴点P的横坐标为；∴综上所述，点P的横坐标为0或或． 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 21．（26-27八年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图（1）， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 直线与直线关于轴对称，直线与轴交于点 ． (1)求直线的函数解析式；(2)如图（1），若点是线段上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标；(3)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：对于， 令得，令得，，， 直线与直线关于轴对称，， 设直线的函数解析式为，将、代入得： ，解得，直线的函数解析式为； （2）解：设，其中，则，， ，解得，； （3）解：设，则，当在线段上，如图： 轴，，即， ，，，， ，，，，解得；； 当在线段上，如图：直线与关于轴对称，，， ，，轴，， ，，， ，，，，解得；； 综上可知，存在，点的坐标为或． 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：．(2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：当时，，解得：，即点， ∵直线经过点，∴，解得：，则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得∴， 当中时，，解得∴， 当时，为直角三角形，此时，则，故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当时，，得，∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由：当点P在y轴左侧时， ∵，则，即， 设，由点A，P，C的坐标得，，，得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 【答案】(1)(2)点的坐标为或(3) 【详解】（1）解：，，，，，，， ，解得， （2）如图，过点作轴，交直线于点， 直线的解析式为，且与直线相交于点，，解得，， ，，，， 设直线的解析式为，则，，直线的解析式为， 设，则，，， 即解得：或， 点的坐标为或 （3）在上截取线段，使得，∴， ∵∴为等边三角形∴ ∴即 在和中∴∴ ∵∴∴ ∵在中，，，∴∴ ∴∵在中，∴ 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行．(1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标；(3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式． 【答案】(1)，，(2)或(3) 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，∴，则直线的解析式为． 当时，，所以点的坐标为． 当时，，解得，所以点的坐标为．故答案为：，，； （2）解：由，且点在轴正半轴上，∴． 设直线的解析式为，∵直线过点和， ∴，解得，∴直线解析式为． 联立直线和的解析式得：解得，代入得， ∴点的坐标为．的面积，则． 设点的坐标为，如图，过点作轴的平行线交直线于点， 当时，，解得，，， 当点在线段的延长线上时，如图， 解得：，点的坐标为； 当点在线段的延长线上时，即为图中点，解得：，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图，将线段绕点沿顺时针方向旋转得线段，过点作，过点G作轴的平行线交轴于点，过点作于点， 设，，∴，∴， ，∴， ∴，∴，∴， ，，∴，解得，∴， 由题意可得将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，此时直线l过点， 设直线l的关系式为，则，解得，∴直线l的关系式为， 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标； (4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)或(4)存在，或 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴当时，，即；当时，，即； （2）设直线与直线交点为，作点关于轴的对称点，连接与，且与轴交于点，再连接， ∴，∴，即最小值为， ∵于点，，∴，∴， ∵，，点是线段的中点，∴，，∴，， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，∴，∴直线表达式为， 联立，解得：，∴， 设直线表达式为，过点，， ∴，解得：，∴直线表达式为， 当时，，∴点坐标为； （3）∵，，，∴，，∴， 如图，过点作的垂线，垂足为，连接、， ∵，∴，即，∴，∴点的纵坐标为， 把点纵坐标代入直线表达式中，得，∴点的坐标为或； （4）过点作射线交轴于点，使，过点作射线交射线于点，再过作轴于点， ∵，直线：，∴设直线表达式为，过点， ∴，∴直线表达式为，当时，，∴，∴， ∵，∴， ∵，轴，∴，， ∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 设直线表达式为，过点，， ∴，解得：，∴直线表达式为，当时，，∴， 由对称性可知，另一个点在原点左边，即， 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 26．（25-26八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】(1)求直线的解析式．(2)如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式．(3)如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【答案】(1)；(2)；(3)②的值不变，为． 【详解】（1）解：根据题意得，，，解得，， ∴点A、P的坐标分别为，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线AP的解析式为； （2）解：根据题意，点Q的坐标为，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线AQ的解析式为， 设点S的坐标为，则， ，∵，∴=，解得x=， ∴，∴点S的坐标为，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为； （3）解：∵点，∴点P为的中点，连接，过点C作轴于点G， ∵是等腰直角三角形，∴，， ∴，，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴，， 又∵轴，∴，∴， 在与中，，∴（）， ∴，∴， ①，∴的值随点D的变化而变化，不是定值， ②，的值与点D的变化无关，是定值． 27．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．(1)点与点关于轴对称，求的面积；(2)在（1）的条件下，若点在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点的坐标．(3)变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为1．点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (4)在（3）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)(4)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴令，则，即；令，解得，即； ∴，∴； （2）解：∵点与点关于轴对称，∴，∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限，∴设，， ∵，∴，即， ∴，解得，此时，∴； （3）解：由题意得点的纵坐标为1，且在上，∴当时，解得， ∴，∴， ∵的面积与的面积相等，即，∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限，∴设，， ∴，解得，∴， 设直线解析式为，代入得，解得，∴直线解析式为； （4）解：∵，同理可得直线解析式为， ∵在（3）的条件下，点为线段上一点，∴设，， ∵过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上所述，点的坐标为或． 28．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 【答案】(1)①；②(2)，详见解析 【详解】（1）解：①如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点， ∵，∴，， ∵轴，∴， ∵，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，∴， ∴，，即； ②解：∵，∴，， ∵垂直y轴于点C，轴于D，∴ ∵，∴，，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，∴， ∴，，即，；设直线解析式为， 将，代入得：，解得：，即直线解析式为， 同理可得直线解析式为，当时，，此时，即； （2）解：，理由如下：如图，延长，使，连接，，， ∵M为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即为等腰直角三角形， ∵，∴M为等腰直角三角形斜边上的中点，∴． 29．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，与直线交于第一象限的点，且点的纵坐标为． (1)求直线对应的函数解析式；(2)点为直线上的一点，且点在第二象限，若的面积与的面积相等，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点为线段上的一点，过点作轴的平行线，与直线、直线分别交于点，，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：设直线对应的函数解析式为．      把点，分别代入， 得，解得，      直线对应的函数解析式为． （2）解：点的纵坐标为，把代入，得，解得． 点的坐标为．      设点的坐标为． 的面积与的面积相等，．  解得，点的坐标为． （3）解：由点可得直线对应的函数解析式为． 由点可得直线对应的函数解析式为．设点的坐标为． 轴，点的坐标为，点的坐标为．       ①如图，当点在线段上时． ，．      解得．点的坐标为．       ②如图，当点在线段上时， ，．     解得．点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 30．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． (1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)点的坐标为(2)直线经过点(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：对于直线（）， 当时，，点的坐标为． （2）解：直线经过点． 理由如下：直线与轴交于点， ，，，当时，，点的坐标为． 如图，过点作轴， ，，，，， 由题意知点的横坐标为，，，， ，，，点是轴负半轴上一点，且，， 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得，直线的解析式为， 时，，直线经过点． （3）解：如图，，设点的运动时间为秒，则， 设直线的解析式为，则，，， 当时，，解得，； 如图，当时，点在点右侧，， ，， 又，，，即； 如图，当时，点在点左侧，则，， ，，即， 综上所述，当时，；当时，． 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 31．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：①点与点___________是一对“芙蓉点”；②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 【答案】(1)①；②不在(2)(3) 【详解】（1）解：①根据题意可知，，， ∵点为，∴，解得：；，解得：， ∴点与点是一对“芙蓉点”； ②设“芙蓉点”为，则，，∴，，∴点的“芙蓉点”为， 代入函数验证：当时，， ∴点的“芙蓉点”不在函数的图象上． （2）解：设点，点，∵点A在直线上，∴， 又∵点A与点B是一对“芙蓉点”，∴，且， ∴，将代入，可得，∴， 由可得，将代入，得，即， ∴点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系为． （3）解：设一次函数上的一对“芙蓉点”为，，则， ∴，即，∵，在上，∴， 将代入可得，两式相减， ∵，∴，∴，同理可得：，∴， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为，∴， ∴这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和为． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点． (1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标； (3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）． 【答案】(1)直线的解析式为(2)或(3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入，． ∴解得：∴直线的解析式为 （2）解：∵是与轴的交点，对于，当时，∴ ∵一次函数分别交轴、轴于点、，当时，，当时，∴， ∵，，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形，且 ∴∴当点顺时针旋转，点与点重合，此时 当点逆时针旋转时，则是等腰直角三角形， ∴，即点是点和点中点， ∵，，∴即综上所述，或 （3）∵，则，即正方形的边长为， 如图，设正方形平移后的正方形为，设，交于点， ∴， 当时，，当时，， ∴，当点和重合时，此时，当时，， ∴当时， 当经过点时， 如图，设和交于点，则 ∴当时， 当和重合时，， ∴当时， 如图，，，， 当过点时， 当时，如图，设，交于点， ∵直线的解析式为， 当时， ∴，， ∴ 综上所述， 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)或(3)或 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得． ∴点的坐标为设直线函数表达式为 将点、代入中，得解得∴直线函数表达式为． （2）解：如图所示：中，当时，∴点的坐标为 在直线中，当时，∴点A的坐标为∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上∴点的坐标为． ∵点在直线上∴点的坐标为．∴ ∵∴解得，或． （3）解：令的得，∴， ，故面积为． 设，，，得， 即，对应或． 34．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①边所在直线的函数表达式；②点的坐标为； （3）点坐标为或． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ，，，，，， ，，， ，， 在和中，,， ，则为等腰直角三角形，． （2）①解：边所在直线为，令，则，令，则， 点A的坐标为，点B的坐标为，根据旋转的性质，点的坐标为，点的坐标为， 设所在直线为，将坐标代入得，可得，直线表达式为． 答：边所在直线的函数表达式． ②解：，，，，， 直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，当点与点重合时，的值最小， 联立直线与直线，可得，解得，故点坐标为． 答：当的值最小时，点的坐标为． （3）解：如图，过点作垂直于轴，与交于. 设点， 可得，，． 设到直线的距离为，根据（2）可知直线与直线垂直，故． ，的面积为30，，可得， ，， ， 当以为底时，的面积可表示为：， 当以为底时，的面积可表示为：， ，，，即， 当，解得，将代入，得，点坐标为； 当，解得，将代入得，点坐标为． 综上，点坐标为或．答：点坐标为或． 35．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或(2)或(3) 【详解】（1）解：①∵点，∴， ∵，∴，∴，则是2的“等垂点”，故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，， 同理得：，∴， ∴，∴，∴．故答案为：或． （2）解：设当时，如图，过作轴于点， ∵轴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，即或， ∵点在上，∴或，解得或(舍)，∴． 当时，如图，过作轴于点，同理可得或， ∵点在上，∴或，解得(舍)或， ∴．综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：，∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，，∴，∴为直角三角形， ∴，∴， ∴， 即，解得：， ∴． 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 36．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． (1)在，，中，点的“和谐点”有__________； (2)点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； (3)已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵点，∴，即点的“和谐点”在直线上， 当时，，∴点在直线上，∴点是点的“和谐点”； 当时，，∴点在直线上，∴是点的“和谐点”； 当时，，∴点不在直线上，∴不是点的“和谐点”； 综上所述，点的“和谐点”有，． （2）解：∵在直线上，∴设点的坐标为， ∴点A的“和谐点”在直线上．设点的一个“和谐点”为， 则点在直线上，∴，∴ ∵点的“和谐点”也是点的“和谐点”，∴点在直线上， ∴，∴，∴点A的坐标为． （3）解：∵点，∴点的“和谐点”在直线上． ∵，∴， 设以，，，为顶点的四边形为四边形． ①当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上，即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ②当点在边上时，设点，其中，∴点C的“和谐点”在直线上， ∵，∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ③当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵，∴即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ④当点在边上时，设点，其中，∴点C的“和谐点”在直线上， ∵，∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． 综上所述，点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ∵线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”， ∴线段的最小值为直线和直线的距离． 如图，设直线交x轴于点J，交y轴于点I．令，则，解得， 令，则，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴， 设直线与x轴的交点为Q，令，则，解得，∴， ∴，过点Q作垂直于直线，垂足为点K，则， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴直线和直线的距离为， 即线段的最小值为． 37．（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”． 【应用】(1)①点的“跃迁点”坐标为 ；点的“跃迁点”坐标为 ；②若点是点的“跃迁点”，则的坐标为 ； 【探究】(2)已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如下图所示．当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式； 【拓展】(3)在（2）的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②(2)(3) 【详解】（1）解：①点中，则有，∴点的“跃迁点”坐标为， 点中，则有，∴点的“跃迁点”坐标为； ②∵点是点的“跃迁点”，∴点的横坐标为，且， 设点的坐标为，∴点的纵坐标，可得，∴点的坐标为； （2）解：∵点的“跃迁点”为点，又∵当时，点在直线上， ∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∵当时，点在直线上，∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∴点所在函数的表达式为； （3）解：点所在的函数以及直线如图， 根据图象可知，当时，直线与点所在的函数图象有且只有两个交点， 38．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，，即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，，①当时，求的面积；②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 【答案】(1)(2)①；②；③或 【详解】（1）解：联立两直线解析式得，解得，∴点A的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为，点的坐标为； （2）解：①在中，当时，， 在中，当时，，∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点B的坐标为，∴，∴； ②在中，当时，， 在中，当时，，∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为； 设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为， 在中，当时，，∴直线与y轴的交点的坐标为； ③由（2）②得点的坐标为，点的坐标为， ∴点在直线上，点在直线上； 在中，当时，，在中，当时，， ∴直线与y轴的交点的坐标为，直线与y轴的交点的坐标为； 当时，点的坐标为，点的坐标为， 此时线段与直线交于点，与直线交于点，符合题意； 当时，则点在y轴右侧，点在y轴左侧，∴此时线段与直线交于点； 当时，则点在y轴左侧，点在y轴右侧，∴此时线段与直线交于点； ∴不管a取何值，线段与直线一定交于点； 联立，解得，联立，解得， 如图所示，当点恰好与点重合时，∴，解得， 在中，当时，， 当时，，∴此时线段与直线必有一个交点， ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 如图所示，当点恰好与点重合时，∴，解得，此时点的坐标为， 在中，当时，，∴此时点在直线上； 在中，当时，， 当时，，∴此时线段与直线必有一个交点； ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 当时，，∴此时线段与直线没有交点，不符合题意； 综上所述，当或时，线段与直线，组成的图形只有两个交点． 39．（25-26八年级下·黑龙江双鸭山·期末）【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的纵坐标满足：则称点为点的“关联点”． 例如：点的“关联点”坐标是，点的“关联点”坐标是． 【特殊感知】(1)点的“关联点”的坐标为______； 【问题解决】(2)已知点在函数的图象上，点是点的“关联点”： 请直接写出关于的函数解析式；若点的纵坐标为，求点的横坐标． 【答案】(1)(2)点的横坐标为或 【详解】（1）解：根据题意可知点和点两点，点为点的“关联点”，纵坐标满足，∴的“关联点”坐标为， ∵，根据纵坐标满足，∴，∴的“关联点”坐标为． （2）解：∵点在函数的图象上，∴点， ∵点是点的“关联点”，∴当时，根据题意得，∴， 当时，根据题意得，∴， ∴函数解析式为． ∵点的纵坐标为，即，∴由可知，函数解析式为， 当时，，∴，解得，当时，，∴，解得， 综上所述，点的横坐标为或． 40．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或 【详解】解：任务1：①；故答案为：； ②设线段上任一点的坐标为，， ，，当时，， 即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 任务2：，， 整理得：，故答案为：； 任务3：①设，“纵横点”坐标为，“纵横值”是8， ，整理得：， 所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下： ②设，， ，，整理得：，， 联立得，解得，点为直线与直线的交点， 由图得，，，，， 设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为；故答案为：或． 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 41．（25-26八年级下·广东茂名·期末）【命题证明】如图1，是的角平分线，求证：． (1)关于此问，数学兴趣小组讨论后给出如下解决思路：如图，过点分别作、边上的高线，再利用“角平分线性质和等面积法”解决问题．请完成证明． 【理解应用】(2)如图2，一次函数与轴、轴分别交于、两点，请在轴上找一点，使得射线平分，请用无刻度直尺直接画出射线，并写出点的坐标； 【深度思考】(3)如图3，在中，，，是边上一点且是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)证明：如图，过点分别作于点，于点， 过点作于点．则， 是的角平分线，，， ，，又，； (2)射线如图所示，，点的坐标为 (3)的长为 【详解】（1）解：略 （2）解：令，解得，令，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，， ∵射线平分，∴，即，解得， ∴点的坐标为；作出射线，图略 （3）解：是的角平分线，，设，则， ，∴，解得，∴，， ，，， 垂直平分，，平分，， 设，，，解得：， 经检验，是原方程的解，． 42．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y (1)如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B，①求证：；②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． (2)如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？(3)若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 【答案】(1)①证明：∵一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， 令，则；令，则，解得：或， ∴，，，∴，即是等腰直角三角形，∴； ② (2) (3)或 【详解】（1）①略； ②解：如图，在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接，∵，，∴，设直线的解析式为， ∵点P的纵坐标为，且在线段上，又∵， 将代入得：，∴， 将点P代入直线的解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为，∴，即， ∵，∴，在中，， ∴，∴，∴点P的纵坐标为， 则点P的横坐标为，∴． （2）解：如图，设与的交点为Q，∵轴，，，∴，， ∵以、为邻边构造矩形，且一次函数y与矩形只有2个交点， ∴点必为矩形边上的交点，又∵，∴x的取值关于y轴对称， 此时分情况讨论矩形与一次函数y的临界点情况： ①当矩形与线段有交点时，即点F在线段上， 令，代入得，∴； ②当矩形与线段有交点时，即点Q在线段上， 令，代入得，则，∴，要使一次函数y与矩形只有2个交点， 则需满足线段与矩形无交点，矩形与线段有两个交点， ∴，解得：，∴a的取值范围是． （3）解：由一次函数y可知，与恒过点， ∵时，点，都在一次函数y上，且， ∴点固定在直线上，要使恒成立，此时分情况讨论： ①当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则左边最小值大于右边最大值， ∴当时，， 当时，，∴，解得：，即； ②当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则点M在点N的右侧，∴，解得：， 综上所述，k的取值范围是或 43．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式；(2)点在直线l上．①当时，判断点是否在直线上；②若点在的边上，求的值；③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 【答案】(1)；(2)①点不在直线上；②或；③ 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，． ∴轴，，，则轴，∴，， 设直线的函数解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的函数解析式； （2）解：①当时，， 在中，当时，，即点不在直线上； ②∵，，∴， 当在上时，令，则，即， 当在上时，，且， 当，解得，不在上，（舍去） 当在上时，，，∴解得，符合题意， 综上所述，或； ③点在直线l上．∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位长度后的解析式为， 当时，∴； 直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），∴为负奇数， 取，，，，，（共6个奇数），对应值均为正整数， ，即与轴的交点横坐标满足：，解得，∵为整数，∴ 44．（25-26八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，我们规定： ①点的对换点为点；②若在直线上取任意一点，在直线上都能找到它的对换点．同时，对于直线上任意一点，都能在上找到点，使得点为点的对换点，则称直线为直线的对换直线．根据规定，解答下列问题：(1)的对换点是 ．(2)若点为一次函数的图象上一点，且点的对换点也在一次函数的图象上，求线段的长；(3)若直线是直线的对换直线，且和相交于点，与轴交于点，与轴交于点，连接，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵的对换点为，对于，， ∴的对换点坐标为． （2）解：设，∵在上，∴， ∵的对换点坐标为， 在上，∴， 把代入方程得：，解得， 代入得， ∴，，∴． （3）解：设直线解析式为， ∵过，∴，得，∴， 设是上任意一点，则， ∵的对换点满足，， ∴，， 把，代入，整理得解析式为， ∵在上，∴，解得，∴， 令得，即，，令得，即， ，，， ∴，且，∴是等腰直角三角形，， ∴． 45．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，），其中为小于2的最大整数．(1)求的函数表达式及与轴，轴的交点坐标；(2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，设线段与线段长度之和为，点的横坐标为，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若．设直线（为常数，），当直线的图象与函数的图象交点有2个时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，(2)(3)或 【详解】（1）解：∵为小于2的最大整数，∴，∴； 当时，；当时，； 故与轴，轴的交点坐标分别为， （2）解：由题意，， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点，∴， ∵过点作轴的平行线交函数的图象于点，∴点的纵坐标为， 当时，，∴， ∴，， ∴，∴； （3）解：由（2）知：；∵，∴当时，， 当时，，当时，．画出函数图象如图： ∵，∴当时，，∴直线过定点， 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个； 当，直线过点时，则，解得， 此时直线的图象与函数的图象只有1个交点， ∴当时，直线的图象与函数的图象交点有2个；综上：或. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $