专题04 勾股定理中的五类最短路径模型（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题04 勾股定理中的五类最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 模型01：在圆柱表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 【典例3】（25-26八年级下·广东·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【典例5】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 模型02：在长方体表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级下·广东·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·山西·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【典例3】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____． 模型03：在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 模型04：将军饮马与空间最短路径模型 【典例1】（25-26·重庆·八年级校考期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【典例2】（24-25八年级下·陕西·阶段检测）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是________．（鱼缸厚度忽略不计） 【典例3】（25-26八年级上·山东东营·期中）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为____． 模型05：几何构图法解代数最值模型 【典例1】（25-26八年级下·青海西宁·期末）综合与实践 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【知识应用】(1)如图，点，在直线的异侧，，，垂足分别为，，，，，点是线段上一动点，求的最小值． 解：连接交于点，依据两点之间线段最短，线段的长即为的最小值．过点作，交的延长线于点则（将解题过程补充完整） 【知识迁移】(2)设，则 在中  ；在中   （用含的代数式表示） 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长；∴代数式的最小值为 ； (3)变式训练：代数式的最小值是 ． 【典例2】（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式…… 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ． 【典例3】（25-26八年级下·重庆九龙坡·开学考试）数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系． (1)勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理； (2)若线段上有一点C，，，，求的最小值． 【典例4】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 5.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 9.（25-26八年级上·四川成都·期中）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为______． 10．（25-26八年级上·成都·专题练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 2.（25-26八年级下·广西北海·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 5．（25-26八年级下·成都·期中）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    6．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，．要使得的值最小， ∵……（请补全推理过程）∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 8．（25-26八年级上·河北·单元复习）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长．(3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 9．（26-27八年级·江苏·入学考试）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 10．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）阅读并回答下列问题 【几何模型】如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】如图3，若一条东西方向的笔直公路，其长为，在点正北方处有一村庄．在点的正北方处有一村庄，计划在上建一快递站，使得快递站到村庄、村庄的距离和最小．(1)在图3中，若，请用含的代数式表示：______km (2)小东利用【几何模型】求出了快递站到两村庄距离之和的最小值为______，此时快递站建在距点______处． (3)【拓展应用】①求当______时，代数式有最小值，最小值为______． ②已知，求的最小值 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理中的五类最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 模型01：在圆柱表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【答案】5 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：，故答案为：5． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 【答案】 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接，则为蚂蚁爬行的最短路径， 由题意得，，， ∵，∴，∴最短的路线长是，故答案为：． 【典例3】（25-26八年级下·广东·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米，即滑行的最短距离为米，故选∶B． 【典例5】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示，最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短，∵底面半径为，∴底面周长为， 又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是：，即， ，∴最短为．故选：A． 模型02：在长方体表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级下·广东·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为，∴，在中中， ∴它运动的最短路程．故选：B． 【典例2】（25-26八年级下·山西·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：如图1， ∵，∴，∴； ∵，∴，∴， ∴，∵，∴它需要爬行的最短路程为10． 【典例3】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长， 由勾股定理得，，故选：B． 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____． 【答案】40． 【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG＝30，AP＝AB＝50，∴PG＝40，∴BG＝80， ∴PB＝＝＝40．故这只蚂蚁的最短行程应该是40．故答案为：40． 模型03：在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【典例1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，，， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是．故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，将木块展开，由题意得，展开后的长方形的长为，宽为， ∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为，故选A．    【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径．故选：A． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，，蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 【典例5】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，连接， 则，，， ，故选：A． 模型04：将军饮马与空间最短路径模型 【典例1】（25-26·重庆·八年级校考期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 【典例2】（24-25八年级下·陕西·阶段检测）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是________．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，∴， ∵，∴ ∵，∴，故答案为：130． 【典例3】（25-26八年级上·山东东营·期中）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：.在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是故答案为：15． （2）如图所示，∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图，作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，，所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为____． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴，∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得，∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为．故答案为： 模型05：几何构图法解代数最值模型 【典例1】（25-26八年级下·青海西宁·期末）综合与实践 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【知识应用】(1)如图，点，在直线的异侧，，，垂足分别为，，，，，点是线段上一动点，求的最小值． 解：连接交于点，依据两点之间线段最短，线段的长即为的最小值．过点作，交的延长线于点则（将解题过程补充完整） 【知识迁移】(2)设，则 在中  ；在中   （用含的代数式表示） 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长；∴代数式的最小值为 ； (3)变式训练：代数式的最小值是 ． 【答案】(1)解：过点作，交的延长线于点，则， ，，，又，∴四边形是矩形，   ，， 在中 ，，的最小值是； （2）解：设，则，在中 ，，在中，， 可以看做是直角边分别是和2的直角三角形的斜边的长，可以看做是直角边分别是和1的直角三角形的斜边的长，∴代数式的最小值为； （3）解：如下图，设，则， ，而（当且仅当三点共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为矩形，， ，，的最小值为， 即代数式的最小值是． 【典例2】（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式…… 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ． 【答案】5 【详解】解：如图，在中，，，， 在中，，，；∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图， ∴，∴四边形为矩形，∴，， 在中，，∴的最小值为5， 即的最小值为5．故答案为：5． 【典例3】（25-26八年级下·重庆九龙坡·开学考试）数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系． (1)勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理； (2)若线段上有一点C，，，，求的最小值． 【答案】(1)见详解(2)41 【详解】（1）解：方法一：， 方法二： ， ∴，，即，∴． （2）解：如图，在线段的同侧构造和，，使且， ，则，． 延长 到，使，连接 交于点，作，交延长线于点F． ∵，∴∴（当、C、E三点共线时，取“=”号） ∵，∴四边形是矩形， ∴，；∴， ∴，∴最小值为41，即最小值为41． 【典例4】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得，∴， 为最小值，即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得，；∴， 由（1）中得方法知的最小值为，即的最小为17． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，   此时蚂蚁爬行的最小长度为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，∴，， ∴在中，由勾股定理得：，则， 即：这只蚂蚁爬行的最小长度为．故选：D． 2.（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是，∴，， 在中，，∴这条彩带的最小长度是，故选：C． 3.（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 【答案】B 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面沿过A点的一条竖线展开， 连接，则线段的长即为蚂蚁经过的最短路程，由题意得，，， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁经过的最短路程为，故选：B． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得，∴需要爬行的最短路程是厘米，故选：D．    5.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点P是的中点，∴， 如图，∴，∴； 如图，∴；如图，∴， ∵，∴所走的最短路程是；故选C． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 【答案】C 【详解】解：如图所示，      ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得：，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25． 故选：C． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米），（米）， （米），（米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米，故选：D． 8．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，，∴， ∵钢管横截面的周长为，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是．故选：． 9.（25-26八年级上·四川成都·期中）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为______． 【答案】130 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，，， ，从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 10．（25-26八年级上·成都·专题练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 【答案】 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米，∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米，故答案为：． 11．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程．∵，， ∵，∴， 在中，由勾股定理可得：， ，，即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径．如图所示： ∵，∴， 在中，由勾股定理可得：，，， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开，此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为，∴， ∴，此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小：， ∵，∴，即：，∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中：水平直角边：3米，竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为：米．故选：C． 2.（25-26八年级下·广西北海·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，，∴， 解得（负值舍去），故他滑行的最短距离约为（米）．故选：B． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，将木块展开，如图， 长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m． 于是最短路径为： (m)．故选B． 4．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【答案】A 【详解】解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示： 第种情况：，第种情况：， 综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是，故选A． 5．（25-26八年级下·成都·期中）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    【答案】10 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，，∴， 由勾股定理得，，故答案为：10． 6．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，．要使得的值最小， ∵……（请补全推理过程）∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 【答案】(1)图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形(2)补全推理过程见解析，4(3)50(4)13 【详解】（1）由图可得，图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形，故答案为：右；下或左；上； （2）∵，又∵，∴，∵，∴，∴， ∴情况为图4时，此时的值最小，则的值最小，故答案为：4； （3）根据（2）可得，当为下图展开时为最短路程，作于， ∴，∴ ∴在中，，故答案为：； （4）由题意可得，当路线为如下所示时，为最短距离， ∵一个长方体的长、宽、高分别为且一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙， ∴，∴， 在中，，∴， ∴那只蚂蚁所走的最短路程是，故答案为：13． 8．（25-26八年级上·河北·单元复习）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长．(3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)D(2)(3) 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴，同理可得，∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值，由轴对称的性质可得，， ∴，∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，， ∴，∴蚂蚁爬行的最短路程为． 9．（26-27八年级·江苏·入学考试）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【详解】解：（1）由题意得：，，， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，，， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，，， 底面周长为，，， 10．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）阅读并回答下列问题 【几何模型】如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】如图3，若一条东西方向的笔直公路，其长为，在点正北方处有一村庄．在点的正北方处有一村庄，计划在上建一快递站，使得快递站到村庄、村庄的距离和最小．(1)在图3中，若，请用含的代数式表示：______km (2)小东利用【几何模型】求出了快递站到两村庄距离之和的最小值为______，此时快递站建在距点______处． (3)【拓展应用】①求当______时，代数式有最小值，最小值为______． ②已知，求的最小值 【答案】(1)(2)，(3)①，；② 【详解】（1）解：由题意，， ∵，∴，∴， ∴； （2）解：作关于的对称点，连接交于点，作，如图： 则，， ∴，当与点重合时，最小为的长，∴， ∴快递站到两村庄距离之和的最小值为， ∵，∴， ∴，∴，∴此时快递站建在距点处； （3）解：①如图，，，，，则， ∴， 作关于的对称点，连接交于点，作， 则，， ∴，当在线段上时，最小为的长，∴，∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最小值为； ②如图，，， 则，∴， ∴当四点共线时，的值最小为的长， 作，则，， ∴，即的最小值为. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $