专题03 探究坐标规律、坐标与几何压轴（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题01 探究坐标规律、坐标与几何压轴 题型一：周期型坐标规律探究 题型二：渐变型坐标规律探究 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 题型四：新定义型坐标规律探究 题型五：几何性质坐型标规律探究 题型六：坐标与几何压轴：面积型 题型七：坐标与几何压轴：最值型 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 题型一：周期型坐标规律探究 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，矩形的周长为：， ∵甲、乙速度分别为1个单位/秒，3个单位/秒，∴两个物体每次相遇时间间隔为：（秒）， 则两个物体相遇点依次为，，，，……， ∴两个物体相遇点以，，，四次为一个循环； ∴，∴第2026次两个物体相遇位置为：． 2．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ，∴点的坐标与点坐标相同，即为． 3．（26-27八年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点C的坐标是，第1次关于轴对称得到，第2次关于轴对称得到，第3次关于轴对称得到，第4次关于轴对称得到，…… 由上可知，点的坐标变换每4次作为一个循环，∵……2， ∴经过第次变换后点C的对应点的坐标与第2次变换后的坐标相同，即为． 4．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，设， ∴，，∴，，∴， 同理可得，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为，此时点与点重合，即每6个点一个循环． ∵，∴与点重合，故． 5．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵轴，轴，点，，，在轴上，，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，，，，，， ∴按的方向缠绕一周的总长度为， ∵，∴细线另一端所在位置为中点处， ∴细线另一端所在位置的坐标为．故选：C． 题型二：渐变型坐标规律探究 6．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可知：第1列上共1个数，第2列上共2个数，第3列上共3个数，…，第n 列上共n个数，则前n列数的总个数为， 且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1， ∵， ∴第210个点在第20列最上边，横坐标为20且纵坐标比横坐标小1为19， ∴第210个点的坐标为，故选：D． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知点坐标，，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 8．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为，共有个，，右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，，右下角的点的横坐标为时，共有个，，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，，是奇数，第个点是， 故选：B． 9．（25-26广西梧州七年级上期末）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得，第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得……总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为．对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为，因此的坐标是． 10．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第1次平移，向右平移2个单位长度，则横坐标增加2，点的横坐标为， 第2次平移，向右平移4个单位长度，则横坐标增加4，点的横坐标为， 第3次平移，向右平移8个单位长度，则横坐标增加8，点的横坐标为……， 以此类推，可知第n次平移，向右平移个单位长度，则横坐标增加，点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 11．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵，与的纵坐标相同，即为，横坐标为，∴点的坐标是． 12．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按“向右、向上、向右、向下”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第n次移动到，则的面积是（    ） A．253 B．506 C．1012 D．1013 【答案】B 【详解】解：∵，，，，∴，∴，， ∵，∴，∴的面积是． 13．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 【答案】 【详解】解：由题意及图形可知，点的跳动规律如下： 第1次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第2次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 第3次跳动至点，横坐标加2，纵坐标不变； 第4次跳动至点，横坐标不变，纵坐标减1； 第5次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第6次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 每4次跳动为一个循环组，一个循环组内横坐标增加，纵坐标增加 点的坐标可由点的坐标经过506个循环组得到 点的横坐标为，点的纵坐标为 点对应的坐标是． 14．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ，的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为，故选A． 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每一象限的点的特点： 第一象限 ；；；； 第二象限 ；；； 第三象限 ；；； 第四象限 ；；； ，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是．故选：B． 题型四：新定义型标规律探究 16．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题中定义变换可知，，，，，，，…… 找到坐标变换规律为：每四个点为一个循环组依次循环，故为，故选：A． 17．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：先计算横坐标的运算结果． ∵初始横坐标为，第次运算得，第次运算得，第次运算得， 第次运算得，……，∴运算结果以为一个周期，周期为． ∵，余数为，∴横坐标经过次运算的结果为．再计算纵坐标的运算结果． ∵初始纵坐标为，第次运算得，第次运算得，第次运算得， 第次运算得，第次运算得，第次运算得，第次运算得， 第次运算得，∴从第次运算开始，结果以为一个周期，周期为． ∵前次运算未进入循环，∴剩余循环内运算次数为． ∵，余数为，∴纵坐标经过次运算的结果为．∴最终点的坐标为． 18.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为；； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为，故选：． 19.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况：①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， 最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故答案为：或． 20．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到；再将作2次变换，可得，； 再将作2次变换，可得，；.....． ∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为．故答案为：． 题型五：几何性质型标规律探究 21．（21-22九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，，， 又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而， ∴与在同一条射线上，且， 如图，过作轴于，则， ，，故选：D． 22．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，…，，由题意可得：，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴， ∴，∴点在轴正半轴上， ∵，∴点的坐标为，即，故答案为：． 23．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2， ∴第1个等腰直角三角形的面积， ∵，∴第2个等腰直角三角形的腰长为， ∴第2个等腰直角三角形的面积， ∵，∴第3个等腰直角三角形的边长为， ∴第3个等腰直角三角形的面积， 第n个等腰直角三角形的面积则第2024个等腰直角三角形的面积是；故答案为：． 24．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，，， ，， ，≌，， ，，， ，≌，， ，，，， ， 同理，，，， ．故答案为：． 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴， ∴，同理得到：， 按此规律得到：∴点的纵坐标为 ．故答案为：． 题型六：坐标与几何压轴：面积型 26．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1)(2)或；；或 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，； （2）当点在上时，，此时，； 当点在上时，，此时，；综上，或； 当时，则，解得； 当时，，解得，此时不符合题意，舍去；综上所述，； ，， 当时，点在上，，， ，，解得； 当时，点在上，，， ，，， ，，；综上所述，或． 27．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)的面积为或(3)存在，点H的坐标为 【详解】（1）解：∵∴，，解得，，； （2）解：∵，，∴，， 由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况： 当点在点C上方时，如图所示，   ∴，∴； 当点在点C下方时，如图所示， ∴， ∴，                        综上所述，的面积为或； （3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：        如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N． 由（1）可得，，，∴，，，， ，，且 ∴ 又∵ 解得∴∴点H的坐标为． ∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的． 28．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 【答案】(1)，(2)(3)不变，它的值为3 【详解】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为， ∴，，∴，，∴，∴，． （2）解：由平移的性质得：，∵，∴， ∵，，，∴， ∴直角梯形的面积为， ∵四边形的面积等于，∴如图，点在点的上方， ∴，∴，∴，由题意得：， 又∵，∴． （3）解：①如图1，当点在上时，则，连接， ∴； ②如图2，当点在延长线上时，则，连接， ∴； 综上，的值不变，它的值为3． 29．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______；(2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ；(3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1） 且点在轴上，，， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ，即，故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，，， ， ，，即， 根据题意，，； （3）四边形面积最大值为，理由如下：平移至，交延长线于，过点作， 则，，， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大，最大值为，四边形面积最大值为． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标；(2)，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段，上以每秒3个单位长度的速度沿着运动，到达O点时P停止运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段向O点运动，到达O点时Q停止运动．设运动时间为t，当P在上，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？(3)如图2，连接AB，点在线段AB上，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积为，若，请求出N点的坐标． 【答案】(1)，，(2)t取或或7(3) 【详解】（1）解：由题意可得：，，，， 、，、，由题意可得：； （2）解：，，点P运动的时间，点Q运动的时间， 当P在上时，，即， ①时，此时点P在线段上，未到达O点， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为， ，，，或； ②时，此时点P已到达O点， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为，， ，，； 当P在上时，t取或或7时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2； （3）解：连接，过M点作轴，垂直于x轴， ， ∴， ∵M到x轴的距离为1，即，，， ，，，， ，， ． 题型七：坐标与几何压轴：最值型 31．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则， 由轴对称的性质可得，∴的周长，∵，且为定值， ∴当P、A、C三点共线时，的周长有最小值，即点P与点D重合时的周长有最小值； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴点D的坐标为，即． 32．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴， ∴，设点的坐标为，∴， 则点，∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴，∵，∴的最小值为． 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，把绕点逆时针方向旋转到，过作轴于， 由旋转的性质可得， ∴，∴∴， 在中，，， ，， ，的最小值是，故答案为：． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 【答案】 6 【详解】解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T， ∵，∴，∴， ∴，， ∴的最大值， ．故答案为：6；． 35．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．      【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）10 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴，∴； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∵，，∴，∴，∴；     （3）如图所示，取，连接， ∴，，且B、D、E三点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，∴的最小值为10． 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 36．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点．(1)直接写出点的坐标；(2)如图1，若点，，连接、、，求的度数；(3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)解：， 证明：为等边三角形，，， 又点与点关于轴对称，，，， 设，则， ∵，∴，∴，即， 在上取点P关于y轴的对称点G，连接，则， ∴∴，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴ 【详解】（1）解：， ，，，，点的坐标为； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，过点A作轴于D， 则，， 点，，，点的坐标为，， ∴，，∴，， ，∴， 是等腰直角三角形，，； （3）略 37．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，若，连接，三角形的面积为，求点的坐标； (2)若，点是第一象限内一点，且，过点作于点，求证：； (3)若，如图3，点为，过点作，连接交轴于点，试求的面积． 【答案】(1)． (2)证明：由 知点 与原点 重合，且 ，， ∴ ，．过点 作 于点 ． ∵ ，，∴ 在 中，，∴ ． ∵ 点 、 都在 上，∴ ，． ∵ ，∴ 在 中，， 且 ． 在 和 中，，∴ ，∴ ，． ∵ 点 、 在线段 上，∴ ， ∴ ，即 ． (3)． 【详解】（1）解：∵ 点 ，点 ，，∴ ，． ∵ 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴ ，， 过点 作 轴于点 ． ∵ 点 、、 都在 轴上，，∴ ． ∵ 在 中，，∴ ． ∵ ，，∴ ， ∴ ，，∴ 点 的坐标为 ． ∴ ，∴ ． ∵ 点 在 轴正半轴上，∴ ，，∴ 点 的坐标为 ． （2）略 （3）解：由 ， 知点 与原点 重合，且 ，． ∵ 点 ，∴ ，．∵ ，，∴ ． 过点 作 轴于点 ．∵ 点 、、 都在 轴上，∴ ． ∵ 在 中，，∴ ． ∵ ，，∴ ， ∴ ，．∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵ ，∴ ．∵ 轴， 轴，∴ ． ∵ 交 轴于点 ，∴ ． ∵ ，∴ 在 和 中，， ∴ ，∴ ． ∵ 点 在线段 上，点 在 与 之间，∴ ． ∵ ，∴ ，即 ． ∴ ．∴ 三角形 的面积为 ． 38．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）探究下列问题： 【模型建立】(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ． 【问题解决】(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知，，，且，连接．求的度数． 【拓展延伸】(3)如图3，在（2）的条件下，点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形，且时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，， ，即，， ，，， 又∵，，，， ∵，，，，， ，，，，， ，∴是等腰直角三角形，∴； （3）解：过点作轴于点，如图，当点F在y轴右边时， ，，∵点坐标为，∴， 同理可证，，， ∵轴，∴是等腰直角三角形，∴， ，，； 如图，当点F在y轴左边时， 同理可得，，，，； 综上，点的坐标为或． 39．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知：如图，平面直角坐标系中，点，，且满足：． (1)则点A的坐标为________；点B的坐标为________；(2)动点E从B出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，设的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t之间的关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E在线段上，且，过点E作于点G，延长交y轴于点F，连接，的平分线交于点K，于点H，求的值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，，∴点A的坐标为；点B的坐标为． （2）解：，，轴，，， 当点E在上时，即时，， ，； 当点E在延长线上时，即时，， ． （3）解：当时，，，，， ，，， ，，， 在和中，，，， 过点O作于点M， ∵在和中，∴，， ，，平分， 过点K作于点N，于点Q，， ∵在和中，∴，∴， 平分，，，，， 设，则，， ∵在和中，∴， ，． 40．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足．现同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点、的对应点，．连接、、． (1)请分别写出、，，四点的坐标____，____，____，____；(2)如图2，是线段的中点，是直线上的一个动点，连接，．当点在线段两点之间运动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，若点在，两点外侧运动（与点，不重合），请直接写出，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)，，， (2)，证明如下： 过点作交轴于点，如图，根据平移可知：， ∴，∴，， ∵，∴； (3)或 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，，解得，，∴点，， ∵同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点、的对应点，． ∴点，即；点，即； 综上，点，，，； （2）略 （3）解：当点在下方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：，∴，∴，， ∵，∴； 当点在上方时，过点作交轴于点，如图， 根据平移可知：，∴，∴，， ∵，∴； 综上，，，之间的数量关系是或． 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 41．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为．①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或(2)4 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点”∴或且， 解得：或或且；∴或，∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或，解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去），∴，或，， 当，时，如图所示：∴，即的值； 当，时，同理，得，即的值为． 42．（25-26七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，________．(2)若，求的值． (3)已知，，若不论取何值时都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)3(2)的值为4或(3) 【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴； （2）∵，点的横坐标为，点的横坐标为， 若，解得或， ∵当时，，，∴，符合题意； ∵当时，，，∴，不符合题意； 若，解得或， ∵当时，，，∴，不符合题意； ∵当时，，，∴，符合题意； 综上所述，的值为4或； （3）∵，，∴当时，最小，解得， 此时，，∴的最小值为2， ∵不论取何值时都有，∴，即， ∵，，∴且， 解得：，解得：，∴． 43．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． (1)若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； (2)对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 【答案】(1)(2)①或②或③且或且 【详解】（1）解：根据题意可得，解得，∴点的坐标为 （2）解：①点的坐标为，根据“2阶变换”可得点的坐标为， 根据“2阶变换”的特征点得，变形，得， 将②代入①中，得，∴，解得或． ②由题意知点的坐标为， 由特征值知，变形，得， 情况：，得，则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上，∴不总等于， 要使恒成立，须，则； 情况：，得，则， ∵点在平面直角坐标系中，且不在坐标轴上，∴不总等于， 要使恒成立，须，解得； 综上所述，“a阶变换”的特征值为或． ③由“a阶变换点”的定义知：， 将点在平面直角坐标系表示出来，如下图所示： ， 可知四边形是边长为的正方形，对称中心在原点，且四个顶点到对称中心的距离均为， ∵点关于原点对称，点关于原点对称，∴四边形的对称中心在原点上； 四边形四个顶点到原点的距离分别为： ， ， ∴， ∴四边形大致图像如下图所示： ， 情况：当时，，则有， 当，解得不等式组的解集为， 当时，解得不等式组的解集为，∴的取值范围为且； 情况：当时，，则有， 当时，解得不等式组的解集为； 当时，解得不等式组的解集为；∴的取值范围为且； 综上所述，的取值范围为且或且． 44．（25-26七年级下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 若线段上存在点，使得点在坐标轴上，则称点P是线段的伴随点． (1)如图，点．①在点，，中，线段的伴随点是 ； ②点是线段的伴随点，则n的最小值为 ，n的最大值为 ． (2)已知点，，点，点E是线段的伴随点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；②，1(2)t的取值范围为或 【详解】（1）解：①由点可知：线段：，且， 若点P是伴随点，则在线段上存在，使得点M在坐标轴上， 即或，解得：或，检验：：需，但是，故排除， ：需，可取，成立，：即，故成立； ②点，设线段上存在，由①可知：伴随条件为或， 因为，所以，即或，最小值为，最大值为1； （2）解：由点，可知：线段：， 点，设线段上存在，所以， 伴随条件为或，解得：或， ∴，解不等式：； 综上所述：t的取值范围为或． 45．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【背景】物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．我们知道，三角形的重心，就是三角形三条中线的交点．对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算确定，将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再求组合图形的重心位置． 【探究】如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【应用】(1)如图，在平面直角坐标系中，求这个组合图形的重心坐标； (2)如图，建立适当的平面直角坐标系，求“”形角钢横截面的重心坐标（结果精确到）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，把这个组合图形分割成正方形和正方形两部分， 由图可知，，，，，，，，， 正方形的面积，正方形的重心坐标，即， 正方形的面积，正方形的重心坐标，即， 组合图形的重心横坐标， 重心纵坐标， 这个组合图形的重心坐标为； （2）解：如图建立如图所示的平面直角坐标系，将这个“”形角钢分割成长方形和长方形两部分，由图可知，，，，，， ，，，，， 则长方形的面积，长方形的重心坐标， 即，长方形的面积，长方形的重心坐标，即， “”形角钢的重心横坐标， 纵坐标． “”形角钢的重心坐标． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 探究坐标规律、坐标与几何压轴 题型一：周期型坐标规律探究 题型二：渐变型坐标规律探究 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 题型四：新定义型坐标规律探究 题型五：几何性质坐型标规律探究 题型六：坐标与几何压轴：面积型 题型七：坐标与几何压轴：最值型 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 题型一：周期型坐标规律探究 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是 （     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 3．（26-27八年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 5．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型二：渐变型坐标规律探究 6．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26广西梧州七年级上期末）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 11．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 12．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按“向右、向上、向右、向下”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第n次移动到，则的面积是（    ） A．253 B．506 C．1012 D．1013 13．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 14．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型四：新定义型标规律探究 16．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 18.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 19.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ． 20．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 题型五：几何性质型标规律探究 21．（21-22九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 23．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ． 24．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 题型六：坐标与几何压轴：面积型 26．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 27．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 29．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______；(2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ；(3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标；(2)，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段，上以每秒3个单位长度的速度沿着运动，到达O点时P停止运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段向O点运动，到达O点时Q停止运动．设运动时间为t，当P在上，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？(3)如图2，连接AB，点在线段AB上，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积为，若，请求出N点的坐标． 题型七：坐标与几何压轴：最值型 31．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 32．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 35．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．      【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 36．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，且、满足，点为轴上一点，点为轴上一点．(1)直接写出点的坐标；(2)如图1，若点，，连接、、，求的度数；(3)如图2，若，点与点关于轴对称，点在第四象限，且为等边三角形，连接，直线与直线交于点，与轴交于点，请找出线段、、之间数量关系并证明你的结论． 37．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，若，连接，三角形的面积为，求点的坐标； (2)若，点是第一象限内一点，且，过点作于点，求证：； (3)若，如图3，点为，过点作，连接交轴于点，试求的面积． 38．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）探究下列问题： 【模型建立】(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ． 【问题解决】(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知，，，且，连接．求的度数． 【拓展延伸】(3)如图3，在（2）的条件下，点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形，且时，请直接写出点的坐标． 39．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知：如图，平面直角坐标系中，点，，且满足：． (1)则点A的坐标为________；点B的坐标为________；(2)动点E从B出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，设的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t之间的关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E在线段上，且，过点E作于点G，延长交y轴于点F，连接，的平分线交于点K，于点H，求的值． 40．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足．现同时将点、分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点、的对应点，．连接、、． (1)请分别写出、，，四点的坐标____，____，____，____；(2)如图2，是线段的中点，是直线上的一个动点，连接，．当点在线段两点之间运动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，若点在，两点外侧运动（与点，不重合），请直接写出，，之间的数量关系是______． 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 41．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为．①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 42．（25-26七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，________．(2)若，求的值． (3)已知，，若不论取何值时都有，直接写出的取值范围． 43．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． (1)若点P的“3阶变换点”为，则点的坐标为__________； (2)对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 44．（25-26七年级下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 若线段上存在点，使得点在坐标轴上，则称点P是线段的伴随点． (1)如图，点．①在点，，中，线段的伴随点是 ； ②点是线段的伴随点，则n的最小值为 ，n的最大值为 ． (2)已知点，，点，点E是线段的伴随点，直接写出t的取值范围． 45．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【背景】物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．我们知道，三角形的重心，就是三角形三条中线的交点．对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算确定，将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再求组合图形的重心位置． 【探究】如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积，重心坐标，即；长方形的面积，重心坐标，即．整个组合图形的重心坐标，则有，，所以，，即整个组合图形的重心坐标为． 【应用】(1)如图，在平面直角坐标系中，求这个组合图形的重心坐标； (2)如图，建立适当的平面直角坐标系，求“”形角钢横截面的重心坐标（结果精确到）． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $