专题07 一次函数选填题压轴（二）（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题02 一次函数选填题压轴（二） 模型一：一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 模型二：一次函数与整数点综合压轴 模型三：一次函数与动态含参综合压轴 模型四：一次函数与面积等分综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与特殊线段综合压轴 模型七：一次函数与特殊三角形综合压轴 模型八：一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 模型九：一次函数与新定义综合压轴 模型十：一次函数与其他综合压轴 模型一：一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数：（1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 3 【详解】解：（1）当时，，， ∵，∴当时，； （2）∵，∴直线过定点，令，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点，∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点，∴的取值范围是． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点（不含端点），则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方法一：用过定点和平移的观点来看，，经过点，当此直线经过点时，，当公共点往左边来时，可知．经过点时，，当公共点往左边来时， 可得，解得，综上： 方法二：联立解析式，用不等式来解决 经过点，的直线解析式为： 联立，得，由交点在线段上，且不含端点，，解得， 联立可得，由交点在线段，且不含端点，，解得 综上：． 3．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，，∴直线与正方形有两个交点，k的取值范围是， 观察四个选项，只有在范围内． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，已知点，点，经过点的直线（）交x轴于点B，将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到“V”字形图象，当“V”字形图象与线段有交点时，k的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线经过点，∴，令，则，解得，∴点， ∵将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，∴翻折后的直线经过点，， 设翻折后的直线的解析式为，将代入得，解得， ∴翻折后的直线的解析式为， ∴“V”字形图象由两部分组成和， ∵“V”字形图象与线段有交点时，且点，点，∴“V”字形图象上存在点且， 对于直线，令，则，解得，即， ∴原直线与线段无交点；对于翻折后的直线， 令，则，解得，即， ∵，∴或，解得或，即， 观察四个选项，只有符合题意，即选项B符合题意． 5．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于、两点，直线与两坐标轴交于、两点，且两直线相交于点．点是线段上一点（不含端点），连接并延长至，使，连接．若直线与的边有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：如图，直线 与坐标轴交于 、； 直线 与坐标轴交于 、．联立 ，得交点 ． 点 在线段 上（不含端点），而 、 均在直线 上，故 ，且 ． 由 延长至 且 ，知 为 的中点，故 ． ，代入 得 ， 故该直线恒过定点 ． 当直线绕 旋转时，与 边恰有两个交点的临界位置由直线经过 的顶点决定． 把点 代入：，整理得 ，解得 （此时直线恰过点 ，仅 个交点，舍去）； 把点 代入：，得 ，超出 的范围（此时 已不在 上），舍去； 当 时，直线穿过 内部，与边界恰有两个交点； 当 时直线在 下方，无交点； 又 时点 与端点 重合（题目要求不含端点，舍去）．所以 的取值范围是 ． 模型二：一次函数与整数点综合压轴 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）我们称横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，从点处发出光线照射到线段上， （1）若光线经过线段上的点时，_______． （2）若光线将线段分成两部分，且这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：（1）∵光线经过线段上的点，∴，解得：； （2）解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得，解得，∴解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得，此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 7．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，此时，，设直线的解析式为，由条件可得： ，解得，， 当时，，，； 如图3所示，此时，，设直线的解析式为， 由条件可得：，解得，， 当时，，，；综上，． 8．（25-26八年级下·四川·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有______个整点，三角形的边上有_______个整点．若直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：当时，，直线与轴交于点； 当时，，解得，直线与轴交于点；画出图象如下： 由图象可得，直线与坐标轴围成的三角形内不包含边界有个整点，三角形的边上有个整点．如图，直线一定过点， 把代入得，，把代入得，， 直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点， 的取值范围是，故答案为：，，． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：，直线经过点，如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点．故答案为 且 ． 10．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 【答案】B 【详解】解：令，解得：， 把代入得：，∴两条直线的交点为， 把分别代入，得：，， ∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，∴y轴上的“美点”有； 对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个）， 对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B． 模型三：一次函数与动态含参综合压轴 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为 ；（2）在点的移动过程中，的取值范围为 ． 【答案】 或或 【详解】（1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时，定点． （2）直线与轴交于点，令，解得，， ①当点与点重合时，将点代入直线得：，解得：， ②当点与点重合时，将点代入直线得：，解得：， ③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点，故， 结合图形分析，当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交．的取值范围为或或． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点、，，是过点， 关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则，解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是．故答案为：． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当动点在的内部时， ∴列不等式组，解得：， ∴点不在的内部，则m的取值范围为或．故选：D． 14．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是 ．    【答案】 【详解】解：联立，解得：，∴点P的坐标为，∴点P在直线上， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， 联立，解得：，∴直线与直线的交点为， ∴当点在内部（不包括边界）时，． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点A按下列方式变换：①作点A关于x轴对称的点，得到点，②作点关于直线对称的点，得到点，则我们称是A的“双对称”点．若一个点坐标为，则它的“双对称”点坐标为 ；若正方形的四个顶点坐标分别为，，，，若点的“双对称”点刚好落在正方形内部（不包含边界），则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为 ∴的“双对称”点坐标为； 点的“双对称”点， ∴点刚好落在正方形内部（不包含边界）时， 解得，．故答案为：；． 模型四：一次函数与面积（等分）综合压轴 16．（2026·河北石家庄·模拟预测）将直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，…，以此类推，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于直线，令，解得，即与轴交点为， 直线，令，解得，即与轴交点为， 联立，得，解得，代入得，即两直线交点为， ∴三角形的底长为，高为交点到轴的距离，∴， ∵，∴ ，当越来越大时，越来越接近，最接近. 17．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，直线与直线在第一象限的交点为，且，则的值为________． 【答案】 【详解】解：设点，点， ∵一次函数，当时，，∴， ∴，，， ∵，∴，解得：， ∵，∴，∴，解得：， ∴，即，解得：， ∵点在一次函数的图象上，∴，解得：，∴． 18．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， 当时，当时， ∴，，∴，，∴， ∴， ，故答案为：． 19．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，过点的直线交线段于点，交轴于点，若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式为，把代入，得 ，解得，∴， 设，直线的解析式为， ，解得，∴， 当时，，∴，∴． ∵，∴．∵，∴， ∴，解得，∴，∴． 20.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】解：根据题意作出如下图形： 直线经过点，且将的面积分成两部分，由图可知有两种情况， 当直线经过时，则，解得：， 当直线经过时，，解得：， 的值为：或，故选：D． 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 25．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于点． （1）若，则点的坐标为___________；（2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上，当时，点的坐标为___________． 【答案】 【详解】（1）令，则， ， ， ， ， 点在轴正半轴， ； （2）将代入， ，解得， ， 将代入， ，解得， 一次函数解析式为， 令，则，解得， ， 过点作轴于点， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， . 22．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，∴． 分两种情形，①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵，∴，∴． ∵，，∴． 又∵，∴()．∴． ∴．∴．又∵，设直线解析式为， 则，解得：，∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得．又∵，设直线解析式为，则，解得：， ∴此时直线BC为．综上，直线为或．故答案为：或． 23．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：与轴的交点坐标为，． 又点是轴上的一点，且，点的坐标是或．如图： ①当点的坐标是时，，． ，，，， ②当点的坐标是时，，， ，．故答案为：或． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为 ． 【答案】（，） 【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，AB＝4， ∵点C为AO中点，OD＝3，∴OC＝AC＝2，BD＝1， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°， 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图， 则，是等腰直角三角形，， 轴，，，设，则， ，， ∠APC=∠BPD,，， 又，，，，， 三点共线，设直线的解析式为， 则，解得，直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴P（，）．故答案为：（，）． 25．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．    【答案】或 【详解】解：对于，当时，，解得，∴， 对于，当时，，解得，∴， 解方程组，得，∴，∴，    作于点E，如图，∵直线过点A且与x轴垂直，∴，即， ∵，∴， 当点C在A点下方时，∵，∴，∴，∴， 当点C在A点上方时，即为点，同理可得， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：或． 模型六：一次函数与特殊线段综合压轴 26．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    【答案】 【详解】解：作，如图所示：    令，则；令，则；∴,； ∵平分，且，∴； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，则,∵，∴，解得：； ∴，∴，故答案为： 27．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，，由勾股定理得，， ∵平分，∴，设，则， ∴，即，解得，即，故答案为：． 28．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，，过作轴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 同时，，∴，∴，， ∴，∴的坐标为，根据，，求得的直线方程式为， ∵，∴的纵坐标为，代入方程式得到，，∴．故答案为：． 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：令，则；令，则； ∴，∴；∵，∴； 设，则，解得或（舍），∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示：由题意得：且，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设点，则，∴，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴，解得：，∴， 即：点的纵坐标的取值范围是；故答案为： 30．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，解得，则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上，∴点P的坐标为．故选：D． 模型七：一次函数与特殊三角形结合综合压轴 31．（25-26八年级上·贵州·期末）一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图像上运动，当出现点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图像上运动一次会发出警报的次数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵点的坐标为，点的坐标为，点在直线上， ∴当时，，即时，，∴； 当时，，即时，，∴； 如图，当或时，∴有两个点， 综上，有个点使为直角三角形，发出次警报，故选：． 32．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【详解】解：对于直线，当时，，即点， 当时，得，即点，故，， 由勾股定理得，令点的坐标为， 故当时，即，解得（舍去）或，即， 当时，故，∴，得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 33．（2026·江苏无锡·二模）已知一次函数（为常数且）的图像经过定点，与轴交于点，与一次函数的图像交于点．①点坐标为______；②若为等腰三角形，则的值为______． 【答案】 ； 或或或 【详解】①整理一次函数，得， ，当，即时，，与的取值无关，定点的坐标为； ②求点坐标：一次函数与轴相交时，代入得，，原点， 联立两个一次函数解析式求点坐标：，， 解得，将代入，得，； 因为为等腰三角形，所以分三种情况讨论： 情况1：，的长度为，的长度为，， 等式两边分别平方得：， ，两边除以得，即或，解得或，均符合条件； 情况2：，的长度为， ，化简，两边平方除以得，， 整理得：，解得，解得，符合条件； 情况3：， 则，即，化简得：， ，，代入得：，， 解得，即，符合条件；综上，的值为或或或． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为直线上位于第二象限内的一点，过点作该直线的垂线交轴于点，点为点关于轴的对称点，连接，当为等腰三角形时，的长度为______． 【答案】4或2 【详解】解：令，则，令，则，解得：，∴， 根据题意可知，设，则，如图，当时，， ∵，∴，∴，∴， ∴点是的中点，∴，解得：，即； 如图，当时，，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴，解得：，即； 如图，当时，，∵，∴， ∴，∴，即点A和点C重合， ∵点为直线上位于第二象限内的一点，故该情况不符合题意，舍去； 综上，的值为4或2；故答案为：4或2． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：将代入得：，解得，∴， 将代入得：，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的斜边，∴也是以为顶点的三角形的斜边，则分以下两种情况： ①如图1，当时，∴，∴此时点的坐标为； ②如图2和图3，当时，∴，∴点的纵坐标为或， 将代入得：，解得，∴此时点的坐标为； 将代入得：，解得，∴此时点的坐标为； 综上，这样的点有3个．故选：C． 模型八：一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 36．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，，∴， 建立如图所示的平面直角坐标系，∴ 设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为， 设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为， 联立，解得，∴，作轴， 由勾股定理得，．故答案为：． 37．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵将绕点B顺时针旋转得到，， ∴设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为， 设的解析式为，代入， ，解得，∴解析式为， 联立    ，解得，∴，作， 由勾股定理得：故答案为：． 38．（2025·广东·校考二模）如图，在中，，，，关于对称的直线恰好交于点则的长为 ．    【答案】 【详解】如图所示：以所在边为轴，以所在边为轴，以为原点建立坐标系，设关于对称的对应点为相交于点    ∵，， ∴直线的解析式为： ∴设直线的解析式为：把代入 ∴直线的解析式为：直线和直线联立， 是的中点，∴直线的解析式为： ∵直线的解析式为：∴直线与直线联立可得出点 故答案为：． 39．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 将绕某点逆时针旋转，得到， ，，， 为中点，，，，，， 由，得直线解析式为，由得直线解析式为， 联立，解得，，，，故答案为：． 40．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题： 函数的最大值为 ； 函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：整理， 可得：， 表示点到点的距离与到点的距离之差， 设，作直线交轴于点，设， ， ，那么当位于点时，，取得最大值，最大值为， 的最大值是，故答案为：； 解：整理， 可得：， 表示点到点的距离的一半与点到点的距离之和的最小值， 设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点，那么，为的中点，， 移动点，使直线与轴正半轴的夹角为，即，过点作交的延长线于点，，，， 此时，，取得最小值，最小值为， ，，，，，， 不妨设，，，（舍去负值） ，，，，， ,． 函数的最小值为．故答案为：． 模型九：一次函数与新定义综合压轴 41．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的双倍点．在平面直角坐标系中，点，，，．点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．以上选项均不对 【答案】D 【详解】解：根据“双倍点”定义：若点在四边形的边上，点在四边形上，且为线段的中点（，不重合），则称为四边形关于点的双倍点， 由中点坐标公式可得：若是双倍点，则存在四边形边上的点，使得点在四边形上，如图所示， 平行于二、四象限角平分线的直线与轴交于点，解析式为， 代入得，解得，代入得，解得， 当时，直线穿过四边形内部，线段上会存在点无法找到四边形边上的点作为中点，不满足“所有点均可成为双倍点”的要求； 时，直线经过顶点，线段上所有点均能找到对应边上的点和四边形上的点，满足双倍点定义；要使最大，点取在四边形最右侧的边上，点取在四边形最左侧的边上， ∵，，，，∴边解析式：，边解析式：， 设，，由中点纵坐标关系得， 化简得：，即，由中点横坐标关系得，即，因此， 此时点，均在对应边上，符合题意； 若，端点无法找到符合条件的点，不满足题意； 时，直线经过顶点，线段上所有点均满足双倍点定义； 若，直线继续向左下方移动，对应对称点会超出四边形的边的范围，无法找到符合条件的点，不满足题意；综上，的取值范围是或． 42．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在直线上，∴，即．∴直线方程为． 当直线经过点时，代入得，解得； 当直线经过点时，代入得 ，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”．故选：A． 43．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】③ 【详解】解：根据不动点定义，令， 对于①：，解方程，得，无解，故①错误； 对于②：，解方程，得，，此时，不动点为，故②错误； 对于③：，解方程，恒成立，故有无数个不动点，③正确．故答案为：③． 44．（25-26八年级上·四川成都·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是 ；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ①当时，则，解得， ②当时，则，解得，故m的值为； 如图，取．连接， 依题意，得：“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点）， ∵过点的一次函数图象存在“垂距点”， 则说明点的一次函数图象与正方形有交点， ∵直线经过点，∴，∴， ∴过点 的一次函数表达式为， ∴当直线经过时，则，解得：， 当直线经过时，则，解得：， 观察图象可知满足条件的k的取值范围为．故答案为：；． 45．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”． （1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标 ； （2）下列结论中，正确的是： ．（写出所有正确结论） ①函数与函数不具有“对立关系”； ②函数与函数的“对立值”为； ③若是函数与函数的“对立值”，则． 【答案】 相等 ②③ 【详解】解：（1）∵、两点关于轴对称， 根据点关于y轴对称的性质可知：∴、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；故答案为：相等； （2）①设这两个函数具有“对立关系”， 令函数的x值为a，则函数的值是， ∴，解得：，∴∴， ∴存在函数上的点和函数图象上的点关于y轴对称， 即这两个函数图象上存在点关于y轴对称，即这两个函数具有“对立关系”，故此项说法错误； ②由①函数与函数的“对立值”为，故此项说法正确； ③令函数值为1，分别代入函数与函数，得：， 根据函数是“对立关系”可得：，解得：，故此项正确；故答案为：②③． 模型十：一次函数与其他综合压轴 46．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围_____________． 【答案】或 【详解】解：①，整理，得， 当时，不等式恒成立，符合题意； 当时，设， 由题意可知，当时，一次函数恒大于， ∴一次函数的图象为上升趋势，且在处不小于，即，解得， ∵，且符合题意，∴或； ②，整理，得， 当时，不等式恒成立； 当时，设， 由题意可知，当时，一次函数恒大于， ∴，解得， ∵，且符合题意，∴或； 综上所述，的取值范围为或． 47．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（    ） ①点在直线上；②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①将代入，得，∴点在直线上，①正确； ②直线与及轴不能围成三角形，分两种情况： 若直线与平行，则；若直线过与轴的交点，将代入解析式得，解得，∴或，②错误； ③∵在直线上，∴，， ∴，∴， ∵，∴，即式子符号与一致， 又∵，，∴， ∵，∴，，即， 又，∴，∵，且， ∴，∴，③正确； ④当时，，∴直线与轴正半轴交点为， 当时，解得，∴直线与轴正半轴交点为， 根据题意得，，解得， 三角形面积，令，则，，， ∴，∵，∴，即， ∵，两边同除以得，当且仅当时取等号， ∴，即的最小值为，④正确．综上，正确的推断有①③④，共3个． 48．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为，根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为，把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为，把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为，把代入，解得； 综上所述，当时，，故答案为：． 49．（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为 ；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 ， 【详解】解：如图，作轴， 由题知，∴， 反向延长射线交轴于点，则，∴，　 又∵，，∴，∴， ∵，∴，设直线的表达式为 ， 则，解得，∴直线的表达式为． 当时，，∴点的坐标为．故空１答案为：． 由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴越近函数值越小． ∵，，均为“反射函数线”上的点，且，∴， ∴①当时，，∴此时无解； ②当时，，∴，∴此时； ③当时，，∴，此时； ④当时，，∴此时无解； 综上，的范围为：．故空2答案为： ． 50．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，则点F在上，，，D为中点，， 设直线表达式为，则，解得：，直线表达式为， 作于点P，作于点Q，四边形为正方形，， ，， ，，同理，， ，设，则，， 把代入，则，解得：，， 设直线表达式为，则，解得：， 直线表达式为，设直线表达式为， 则，解得：，直线表达式为， 联立：，解得：，，，故答案为：． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数选填题压轴（二） 模型一：一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 模型二：一次函数与整数点综合压轴 模型三：一次函数与动态含参综合压轴 模型四：一次函数与面积等分综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与特殊线段综合压轴 模型七：一次函数与特殊三角形综合压轴 模型八：一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 模型九：一次函数与新定义综合压轴 模型十：一次函数与其他综合压轴 模型一：一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数：（1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若直线，与线段均有公共点（不含端点），则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，已知点，点，经过点的直线（）交x轴于点B，将直线l在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到“V”字形图象，当“V”字形图象与线段有交点时，k的值可能是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于、两点，直线与两坐标轴交于、两点，且两直线相交于点．点是线段上一点（不含端点），连接并延长至，使，连接．若直线与的边有两个交点，则的取值范围是________． 模型二：一次函数与整数点综合压轴 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）我们称横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，从点处发出光线照射到线段上， （1）若光线经过线段上的点时，_______． （2）若光线将线段分成两部分，且这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是_______． 7．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有______个整点，三角形的边上有_______个整点．若直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则的取值范围是______． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 模型三：一次函数与动态含参综合压轴 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为 ；（2）在点的移动过程中，的取值范围为 ． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D．或 14．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是 ．    15．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点A按下列方式变换：①作点A关于x轴对称的点，得到点，②作点关于直线对称的点，得到点，则我们称是A的“双对称”点．若一个点坐标为，则它的“双对称”点坐标为 ；若正方形的四个顶点坐标分别为，，，，若点的“双对称”点刚好落在正方形内部（不包含边界），则a的取值范围是 ． 模型四：一次函数与面积（等分）综合压轴 16．（2026·河北石家庄·模拟预测）将直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，…，以此类推，直线：和直线：及x轴围成的三角形面积记为，记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，直线与直线在第一象限的交点为，且，则的值为________． 18．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ． 19．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，过点的直线交线段于点，交轴于点，若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 20.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 25．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于点． （1）若，则点的坐标为___________；（2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上，当时，点的坐标为___________． 22．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 23．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为 ． 25．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．    模型六：一次函数与特殊线段综合压轴 26．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    27．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 28．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ． 29．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ． 30．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 模型七：一次函数与特殊三角形结合综合压轴 31．（25-26八年级上·贵州·期末）一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图像上运动，当出现点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图像上运动一次会发出警报的次数为（　　） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 33．（2026·江苏无锡·二模）已知一次函数（为常数且）的图像经过定点，与轴交于点，与一次函数的图像交于点．①点坐标为______；②若为等腰三角形，则的值为______． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为直线上位于第二象限内的一点，过点作该直线的垂线交轴于点，点为点关于轴的对称点，连接，当为等腰三角形时，的长度为______． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 模型八：一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 36．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 37．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 38．（2025·广东·校考二模）如图，在中，，，，关于对称的直线恰好交于点则的长为 ．    39．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是 ． 40．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题： 函数的最大值为 ；函数的最小值为 ． 模型九：一次函数与新定义综合压轴 41．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的双倍点．在平面直角坐标系中，点，，，．点为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交轴于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于的双倍点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．以上选项均不对 42．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 44．（25-26八年级上·四川成都·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是 ；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ． 45．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”． （1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标 ； （2）下列结论中，正确的是： ．（写出所有正确结论） ①函数与函数不具有“对立关系”；②函数与函数的“对立值”为； ③若是函数与函数的“对立值”，则． 模型十：一次函数与其他综合压轴 46．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围____． 47．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（    ） ①点在直线上；②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则； ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ． 49．（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为 ；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是 ． 50．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $