专题03 一次函数的图象与性质（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题5.3 一次函数的图象与性质 1.探索并理解k的符号对正比例函数y=kx (k≠0)和一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）图象产生的影响； 2.知道从图象的变化趋势、经过的象限等角度分析正比例函数的图象特征与性质； 3.在观察正比例函数和一次函数的图象的变化趋势中归纳图象特征与函数性质，发展几何直观与数学抽象； 4.能将行程问题、几何问题等转化为一次函数模型，并利用性质求解。 1. 一次函数y=kx+b (k，b为常数，k≠0)的图象是一条直线；若b=0时，为正比例函数，正比例函数的图象是一条经过 原点 的 直线 。 2．一般情况下，画一个函数的图象需要经过 列表 、 描点 、 连线 三个步骤。 3.正比例、一次函数的图象和性质： 函数 k，b 图象 经过象限 函数性质 y=kx+b （k>0） b>0 一、二、三 y随x增大而 增大 b<0 一、三、四 b=0 一、三 y=kx+b （k<0） b>0 一、二、四 y随x增大而 减小 b<0 二、三、四 b=0 二、四 4.拓展：1）一次函数的平移规律（左加右减，上加下减）。 2）已知两个一次函数的解析式，其中l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2； ①若l1与l2关于x轴（或y轴）对称，则两函数的k值互为相反数，即k1+k2=0； ②若l1与l2平行，则两函数的k值相等，b不相等，即k1=k2，b1b2； ③若l1与l2垂直，则两函数的k值之积为负倒数，即k1k2= -1。 题型01 正比例函数的图象 【典例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正比例函数，经过一、三象限，，经过二、四象限， ∴，，，，∵直线越陡，越大，∴，即比例系数中最大的是． 【变式1】（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】解：函数是正比例函数，其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ，图象经过第一、三象限，故排除A，又当时，，图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点，C选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系 ． 【答案】 【详解】解：由图象可得，，∴．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是____． 【答案】甲 【详解】解：设每位同学的身高为x，跳跃高度为y，根据题意得，， 根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡， 如图，连接原点与甲、乙、丙、丁四点，观察图象可知，甲点与原点的连线最陡， ∴甲同学的跳跃高度与自己身高的比值最大，∴获胜的同学是甲． 题型02 正比例函数的性质综合 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、形如（为常数，）的函数是正比例函数，中，符合该形式，是正比例函数，结论正确； B、把代入，得，故函数图象不经过点，结论错误； C和D、∵，∴函数图象经过第二、四象限，随的增大而减小，故C、D结论正确； 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵ ，，∴ 图象经过第二、四象限．故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，，∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误．故选：C 【变式3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而减小， ∴，函数图象经过第二、四象限． ∵点在第一象限，点在y轴正半轴，点在第三象限，点在第四象限， ∴符合题意只有D选项．故选：D 【变式4】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，，∴该函数图象经过第二、四象限． 【变式5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点，都在直线上，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵点，都在直线上，，∴y随x的增大而增大， ∵，∴．故选C． 题型03 一次函数的图象 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据流程图可得：， ∵，，∴函数图象过一、二、四象限，故选：C． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵点在第二象限，∴，。 ∴一次函数，y随x的增大而减小；图象交y轴的正半轴上．∴函数的图象过一、二、四象限． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以函数图象从左到右呈上升趋势，经过第一、三象限， 又因为，所以函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综上，该一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有选项B符合．故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：由得，， ∵两直线不重合，∴，∴， ∴两条直线交点的横坐标为，显然只有C选项符合题意．故选：C． 【变式4】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴一次函数经过第一、第二、第四象限，故只有A选项符合题意． 题型04 一次函数过象限 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】A 【详解】解：∵y随x的增大而增大，∴， ，∴一次函数图像过一、二、三象限， ∴函数图像不经过第四象限．故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·月考）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、三象限．故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·成都·期中）一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：当时，，代入得． 取点代入解析式，得，解得．因此，函数解析式为． ∵，∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D． 【变式3】（24-25·云南·八年级期末）已知是整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则_______． 【答案】-2或-3 【详解】解：∵一次函数y=(m+4)x+m+2的图象不过第二象限， ∴，解得，而m是整数，则m=-2或-3．故答案为：-2或-3． 【变式4】（24-25八年级上·江苏南京·月考）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 题型05 一次函数的增减性与大小比较 【典例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【详解】解：一次函数中，，∴函数值随自变量增大而减小， ∵，∴当时，，最大 当时，，最小，∴最大值与最小值的和为．故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·江苏国·课后作业）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知一次函数解析式为：， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得，点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，．故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，，解得，答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随的增大而减小，，即． 图象与轴的交点在轴下方，当时，，即． 的取值范围是且，即．故选：． 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）、是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】C 【详解】解：一次函数，该函数y随x的增大而减小， 、是一次函数图象上的两点， 当时，，即，，则， 当时，，即，，则，故选：C． 题型06 一次函数的性质综合 【典例1】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【详解】A．将代入函数，得，无论取何值，函数图象必过点，故该选项说法正确，符合题意； B．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意； C．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，故该选项说法错误，不符合题意； D．当，，此时图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项说法错误，不符合题意；故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】B 【详解】解：当时，，点在图像上；当时，，点在图像上，故A正确； 点在图像上，故B错误；∵，∴ y随x增大而减小，故C正确； 令，得，解得，∴与x轴交点为，故D正确；故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．一次函数的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．一次函数的图象过第一、三、四象限 D．与y轴交点的坐标为 【答案】C 【详解】解：∵ 一次函数为 ，其中 ， ． A． 当 时，，∴ 图象不过点 ，A错误． B． ∵ ，∴ 随的增大而增大，B错误． C． ∵ ， ，∴ 图象经过第一、三、四象限，C正确． D． 当 时，，∴ 与 轴交点为 ，不是 ，D错误．故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 【答案】D 【详解】解：选项A：当时，，∴图像与轴交于点，A正确； 选项B：∵，，∴图像经过第二、三、四象限，B正确； 选项C：图像向上平移3个单位，解析式变为，∴C正确； 选项D：∵ ，∴随的增大而减小，若 ，则 ，∴D错误；故选：D． 【变式4】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【详解】A、∵令，得，∵，∴，交点为，故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大，当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立，但不恒成立，故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k，∴ 两直线平行，故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限，故可能同时经过第二象限（时），故D错误．故选：C． 题型07 一次函数的平移 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 【答案】C 【详解】解：由平移得直线的解析式为，．故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，∴，∴；∴的值可以是2．故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合， ∴，，即，，∴，故答案为：1． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 【答案】 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为，故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象与直线平行，且将其向下平移3个单位后，经过点，那么此一次函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数与直线平行，∴， ∴将函数向下平移3个单位后的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点，∴，即，解得， ∴此一次函数解析式为．故答案为：． 题型08 一次函数的轴对称 【典例1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称，∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限，故选：B． 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于x轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线∴当时，，∴直线与y轴的交点为； ∴当时，，解得∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于x轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴∴∴此一次函数的解析式为．故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴，∴翻折后的图象函数表达式是，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵，当时，当时， ∴经过， 关于轴的对称点为 设直线关于轴对称的直线解析式为 ∴线经过点， ∴解得：∴ 故答案为：． 【变式4】（24-25·浙江台州·八年级期末）图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 【答案】y=3x-2 【详解】解：在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1）， ∵直线y=-3x+2关于x轴对称， ∴点（0，2）关于x轴的对称点为（0，-2），点（1，-1）关于x轴的对称点为（1，1）， 设对称后直线的解析式为y=kx+b， ∴解得，∴对称后直线的解析式为y=3x-2．故答案为：y=3x-2． 题型09 一次函数的平行与垂直 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知一次函数与的图象平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象平行，∴， ∵一次函数的图象经过点，∴，∴， ∴该一次函数的解析式为．故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与直线平行，且与轴的交点坐标为，则直线所对应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设直线的函数表达式为． ∵直线与直线平行，∴．∵直线与轴交点坐标为 ，∴． ∴直线的函数表达式为 ．故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·湖南怀化·培优）一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，设与轴交于点，于点， 当时，，则，∵，∴．设， 在中，，∴ 解得：或（舍去）∴． 设直线的解析式为，代入，得 解得：∴直线的解析式为． ∵，∴．解得：，∴． ∴B关于原点的对称点的坐标为．故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点，． 令，则，故点，．．． 由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴，． ．．．设， 把点，代入的解析式中有解得故：．故答案为∶ ． 题型10 一次函数与坐标轴的交点 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵函数图象与 y 轴的交点，x 坐标为 0， ∴令，代入，得，∴交点坐标为．故选 B． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·期中）已知一次函数，那么这个函数图像在y轴上的截距是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵当时，，∴函数图像在y轴上的截距是．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：当时，，解得，所以与x轴交点坐标为． 当时，，所以与y轴交点坐标为．故答案为；． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象与轴、轴分别交于点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：对于一次函数， 当时，，解得 ，所以点的坐标为 ； 当时，，所以点的坐标为 ． 因此 ，，则的面积为．故答案为：4． 【变式4】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． (1)求这个一次函数解析式；(2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)(2)、 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把点，分别代入解析式得，，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，，当时，，解得：， ∴与坐标轴的交点为、． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，随的增大而减小，，函数图象在二、四象限， ，，函数的图象在一、三象限，故选：B． 2.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限，故选：D． 3.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误．故选：C． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中），是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵在函数中，，∴，∴随的增大而增大． ∵，∴．故选：B． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）函数的图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：对于函数，它是一次函数，其中，则随的增大而增大，B、C选项错误； 求与轴的交点：当时，，即直线过点， 求与轴的交点：当时，，解得，即直线过点，D选项错误；故选：A． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图像必经过点 B．它的图像经过第一、二、四象限 C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、当时，，则点不在函数图像上，故此选项结论错误，不符合题意； B、，，函数图像经过第一、三、四象限，故此选项结论错误，不符合题意； C、当时，则，解得，故此选项结论错误，不符合题意； D、当时，则，即，故此选项结论正确，符合题意；故选：D． 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是，故选：A． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列一次函数中，随着值的增大，的值增大速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一次函数中，时，越大，随增大越快， 选项D的，故的值增大速度最快，故选：D． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象过，且与直线平行，则这个一次函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设一次函数表达式为， ∵图象与直线平行，∴．将点代入得：，解得． ∴一次函数表达式为．故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】（2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）C；（2） 【详解】解：（1）∵函数的图像沿轴向右平移3个单位长度 ∴ 故选：C. （2）在函数的图像上取两个点，关于x轴对称的点的坐标， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴一次函数的表达式为. 【强化训练】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一定满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二象限，∴其与 轴的交点在正半轴，可得 。 ∵图象经过第一、三象限，∴ 随 的增大而增大，可得 ，综上， 且 ．故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线关于y轴对称的直线的解析式为：， ∵直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称， ∴，，即，，故选：C. 3.（24-25八年级下·广西南宁·月考）函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵函数， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 结合选项，只有D符合，故选：D； 4．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴，解得．故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】∵ 为减函数，且 ，∴ ， 对于选项A，若 ，∵ ，∴ 且 或且， ∴或，但不能确定的正负，故选项A不符合题意； 对于选项B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若 ，∵ ，∴ 且 ， 又 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意；故选C． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、假设，则过一、二、三象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，，两结论相矛盾，故本选项错误； B、假设，则过一、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，两结论相矛盾，故本选项错误； C、假设，过二、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，故本选项正确； D、假设，其中一条过一、二、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，两结论相矛盾，故本选项错误．故选：C．． 7.（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线∴当时，，∴直线与y轴的交点为； ∴当时，，解得∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴∴∴此一次函数的解析式为．故选：A． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误．故答案为：②③④． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象与y轴的交点在x轴下方时，求m的取值范围； (3)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)且(3) 【详解】（1）解：∵直线中y的值随x的增大而减小， ∴，解得，； （2）解：∵该函数图象与y轴的交点在x轴下方， ∴且，∴且； （3）解：∵图象经过第一、三、四象限， ∴解得：，故答案为：． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像；(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析(2)4(3)点P的坐标是或． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是；故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则；，， 设点P的坐标是，由题意得，解得或， ∴点P的坐标是或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 一次函数的图象与性质 1.探索并理解k的符号对正比例函数y=kx (k≠0)和一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）图象产生的影响； 2.知道从图象的变化趋势、经过的象限等角度分析正比例函数的图象特征与性质； 3.在观察正比例函数和一次函数的图象的变化趋势中归纳图象特征与函数性质，发展几何直观与数学抽象； 4.能将行程问题、几何问题等转化为一次函数模型，并利用性质求解。 1. 一次函数y=kx+b (k，b为常数，k≠0)的图象是一条直线；若b=0时，为正比例函数，正比例函数的图象是一条经过 原点 的 直线 。 2．一般情况下，画一个函数的图象需要经过 列表 、 描点 、 连线 三个步骤。 3.正比例、一次函数的图象和性质： 函数 k，b 图象 经过象限 函数性质 y=kx+b （k>0） b>0 一、二、三 y随x增大而 增大 b<0 一、三、四 b=0 一、三 y=kx+b （k<0） b>0 一、二、四 y随x增大而 减小 b<0 二、三、四 b=0 二、四 4.拓展：1）一次函数的平移规律（左加右减，上加下减）。 2）已知两个一次函数的解析式，其中l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2； ①若l1与l2关于x轴（或y轴）对称，则两函数的k值互为相反数，即k1+k2=0； ②若l1与l2平行，则两函数的k值相等，b不相等，即k1=k2，b1b2； ③若l1与l2垂直，则两函数的k值之积为负倒数，即k1k2= -1。 题型01 正比例函数的图象 【典例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B．C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系 ． 【变式3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是____． 题型02 正比例函数的性质综合 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【变式2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【变式3】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是 （    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【变式5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点，都在直线上，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 题型03 一次函数的图象 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A．B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【变式4】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型04 一次函数过象限 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【变式1】（24-25八年级上·江苏·月考）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】（24-25八年级上·成都·期中）一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（24-25·云南·八年级期末）已知是整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则_______． 【变式4】（24-25八年级上·江苏南京·月考）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 题型05 一次函数的增减性与大小比较 【典例1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏国·课后作业）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）、是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 题型06 一次函数的性质综合 【典例1】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．一次函数的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．一次函数的图象过第一、三、四象限 D．与y轴交点的坐标为 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 【变式4】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 题型07 一次函数的平移 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 【变式4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象与直线平行，且将其向下平移3个单位后，经过点，那么此一次函数的解析式为 ． 题型08 一次函数的轴对称 【典例1】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于x轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为 ． 【变式4】（24-25·浙江台州·八年级期末）图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 题型09 一次函数的平行与垂直 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知一次函数与的图象平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与直线平行，且与轴的交点坐标为，则直线所对应的函数表达式为 ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南怀化·培优）一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 题型10 一次函数与坐标轴的交点 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·期中）已知一次函数，那么这个函数图像在y轴上的截距是（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象与轴、轴分别交于点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【变式4】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． (1)求这个一次函数解析式；(2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中），是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）函数的图象为（   ） A．B．C． D． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图像必经过点 B．它的图像经过第一、二、四象限 C．当时， D．当时， 7．（25-26八年级上·浙江金华·月考）将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列一次函数中，随着值的增大，的值增大速度最快的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象过，且与直线平行，则这个一次函数的表达式为 ． 10．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】（2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一定满足（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·广西南宁·月考）函数的图象是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A．B．C．D． 7.（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象与y轴的交点在x轴下方时，求m的取值范围； (3)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像；(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $