专题04 用一次函数解决问题（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题04 用一次函数解决问题 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式； 2.能将简单的实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，从而解决问题； 3.认识图象中的数据在实际问题中的意义，能读懂图象，根据图象提取信息并解决有关问题； 4.会运用一次函数模型解决最优方案、最大利润等实际问题。 1.数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3.选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.用一次函数解决实际问题的步骤： （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案。 题型01 一次函数实际应用-方案比较问题 【典例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆；方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； (2)当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 【变式1】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价的九折优惠．某班级需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)设这个班级购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为元，在乙店的付款金额为元，分别写出在两家商店的付款金额，与乒乓球盒数x之间的函数解析式． (2)该班级如何根据购买乒乓球的数量来选择在哪家商店购买更划算？ 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折；方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式；(2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 题型02 一次函数实际应用-最优方案问题 【典例1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元．(1)求A、B型健身器材每套各多少元？(2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【变式1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）某工程队负责修建一座水库，该工程队有A，B两种型号的挖掘机．已知台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米；台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为元．(1)求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？ (2)若工程队调配A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，需至少完成立方米的挖土量，且总费用不超过元．问施工时共有几种调配方案？ (3)在（2）的条件下，哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨．(1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资；(2)请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【变式3】（25-26八年级下·青海玉树·期末）某茶店打算购进青茶和八宝茶进行销售，已知八宝茶采购成本为元/盒，青茶的采购成本（元）与采购数量（盒）之间的函数关系如图所示．该茶店打算购进两种茶共盒． (1)求与的函数解析式；(2)已知该店八宝茶和青茶的售价分别为元/盒，元/盒，购进青茶的数量不少于八宝茶的数量，则该店应当如何购进两种茶，才能使销售完这两种茶获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式4】（25-26八年级上·江苏盐城·期中） 某西瓜专销商销售利润的探究 素材1 东台三仓作为全国首个“中国西瓜之乡”，其西瓜远近闻名．某西瓜专销商准备从三仓购进早春红玉，特小凤两种西瓜进行销售．已知早春红玉每箱进价32元，售价35元；特小凤每箱进价24元，售价30元，购进西瓜的总费用不超过3000元． 素材2 现计划购进两种西瓜共100箱，其中早春红玉不少于60箱．设购进早春红玉箱，两种西瓜全部售完，商家获利元． 解决问题 任务1 （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： 任务2 （2）当购进早春红玉多少箱时，商家获利最大，最大利润为多少？ 任务3 （3）该商家对特小凤以每箱优惠元的价格进行促销活动，早春红玉的售价不变，那么商家应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 题型03 一次函数实际应用-行程问题（单直线） 【典例1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） (1)观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是________；(2)图象中_______，_________； (3)直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 【变式1】（2026·广东·模拟预测）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发去地，途经地，到达地后，立即按原路原速返回地；乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离地的路程与甲车行驶时间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)，两地之间的距离为________，乙车的速度为________； (2)求线段的函数解析式；(3)请直接写出乙车返回地前，甲车行驶多少小时，甲、乙两车相距． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）国庆假期，小明一家驾驶私家车从城到城游玩，他们先匀速行驶了15分钟，后由于车流量太大，立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）至城．汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当时，求行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的函数关系式．(2)求的值． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·月考）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：(1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；(3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 题型04 一次函数实际应用-行程问题（双直线） 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． (1)小王的速度为________米/分，小刘的速度为________米/分；(2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式；(3)直接写出游玩结束后小王与小刘相遇时a的值． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；(3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 【变式4】（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 题型05 一次函数实际应用-分段计费问题 【典例1】（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式；(2)求用电量为180度时的应付费用． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题：(1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元；(2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【变式3】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象： 付款金额（元） 7．5 10 12 购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3 (1)直接写出表中a、b的值：_____；_____．(2)求出当时，y关于x的函数解析式；(3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额． 题型06 一次函数实际应用-其他问题 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）求与的函数表达式；（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）； 【模块二】绿波速度的通行情况（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________； ②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）； 【模块三】交通系统优化效果对比 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 分钟 红灯等待次数 次 次（） 单次红灯平均等待时长 秒 秒 行驶速度 米/分钟 米/分钟 求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)的值为 ；(2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 【变式2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式； (2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？ 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据： 时间 1 2 3 4 5 … 水量 5 8 11 17 … (1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________． (2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”） ②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)乙机器人停工保养的时间为______分钟，______；(2)求所在直线对应的函数表达式；(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 题型07 一次函数的最值问题 【典例1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值；(2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点．(1)求与之间的函数表达式；(2)当时，求函数的最小值． 题型08 一次函数与几何最值 【典例1】（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ． 【变式3】（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 题型09 一次函数与几何图形综合 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点． (1)求a的值和直线的解析式；(2)若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点． (1)求直线的解析式；(2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；(3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点． (1)如图1，当两点在直线的同侧时，求证； (2)如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接．①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式； ②当与的和最小时，求点的坐标． 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知．(1)求直线的解析式；(2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标；(3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【巩固训练】 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果；方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ． 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：(1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 7．（24-25八年级下·四川南充·期末）勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：(1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？(2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式；(3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？ 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数关系式；(2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 9.（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示．(1)当时，求与之间的函数关系式；(2)当月用电量为度时，应交电费多少元？ 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于x轴的对称图形并写出，，的坐标； (2)写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； (3)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，不下结论），并求出周长的最小值：______． 【强化训练】 1.（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ． 4．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台．(1)求投放塑料的奖励积分；(2)求的值；(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 7.（25-26八年级上·江苏·期中）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义；(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）教材问题重现： 在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流． 对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容：【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务一：（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ． （2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ． 【探究活动二】深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论： ①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的； ②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值． 任务二：（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积． （4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ． （5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图，与都是等腰三角形，，，且，则与的数量关系是______； （2）如图，直线：与轴、轴分别交于点，在第二象限内直线上取一点，使得点到原点的距离等于，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形，若点为的中点，连接，求长的最小值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 用一次函数解决问题 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式； 2.能将简单的实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，从而解决问题； 3.认识图象中的数据在实际问题中的意义，能读懂图象，根据图象提取信息并解决有关问题； 4.会运用一次函数模型解决最优方案、最大利润等实际问题。 1.数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3.选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.用一次函数解决实际问题的步骤： （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案。 题型01 一次函数实际应用-方案比较问题 【典例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆；方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； (2)当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 【答案】(1)（），（）； (2)当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款 【详解】（1）解：由题意得（）， （）； （2）解：由题意得，即，解得， 答：当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款． 【变式1】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价的九折优惠．某班级需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)设这个班级购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为元，在乙店的付款金额为元，分别写出在两家商店的付款金额，与乒乓球盒数x之间的函数解析式． (2)该班级如何根据购买乒乓球的数量来选择在哪家商店购买更划算？ 【答案】(1)（且为正整数）；（且为正整数） (2)当购买乒乓球盒数为4到15盒（含4和15）时，选择甲商店更划算；当购买乒乓球盒数为16盒时，两家商店费用相同；当购买乒乓球盒数超过16盒时，选择乙商店更划算 【详解】（1）解：∵甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球，需购买球拍4副，乒乓球盒（）， ∴需付费的乒乓球数量为盒， ∴， 其中且为正整数， ∵乙店所有商品按定价的九折优惠， ∴， 其中且为正整数； （2）解：分三种情况讨论：①当时，， 解得：， 又∵且为正整数， ∴当时，选择甲店更划算； ②当时，， 解得，∴当时，两家商店费用相同； ③当时，， 解得， 又∵为正整数， ∴当时，选择乙店更划算； 综上所述，当购买乒乓球盒数为4至15盒（含4和15）时，选甲店更划算；当购买16盒时，两家费用相同；当购买盒数超过16盒时，选乙店更划算． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折；方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元，故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为，总费用为：． （2）解：当时，，． ， 选择方案二更优惠． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式；(2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：；乙旅行社：当时，，当时，； (2)选择甲旅行社． 【详解】（1）解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为 元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人， 故； （2）解：当时，（元），（元）， ∵，∴选择甲旅行社． 题型02 一次函数实际应用-最优方案问题 【典例1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元．(1)求A、B型健身器材每套各多少元？(2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】(1)A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元 (2)采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元 【详解】（1）解：设A型健身器材每套x元，B型健身器材每套y元． ，解得：; 答：A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元． （2）解：设采购A型健身器材m套，B型健身器材套． 解得： ∵m为整数，∴或5，设总费用为W元，总费用， 因为-200<0所以当m越大时，W越小，所以当时，总费用最小． 此时． 答：采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元． 【变式1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）某工程队负责修建一座水库，该工程队有A，B两种型号的挖掘机．已知台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米；台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为元． (1)求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？ (2)若工程队调配A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，需至少完成立方米的挖土量，且总费用不超过元．问施工时共有几种调配方案？ (3)在（2）的条件下，哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米(2)施工时共有种调配方案(3)当调配A型挖掘机台、B型挖掘机台时，施工费用最低，最低费用为元 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米． 根据题意得，，解得． 答：每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米． （2）解：设调配A型挖掘机台，则B型挖掘机为台， 根据题意，得．解得， ∵为整数，∴当时，A型台，B型台；当时，A型台，B型台； 当时，A型台，B型台；当时，A型台，B型台． 答：施工时共有种调配方案． （3）解：设总费用为y，根据题意得，， ∵，∴y随m的增大而增大， ∴当时，总费用y最小，最小费用为（元）． 答：当调配A型挖掘机台、B型挖掘机台时，施工费用最低，最低费用为元． 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨．(1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资；(2)请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A地收到200吨物资，B地收到100吨物资 (2)设计方案为A地运往C地20吨、D地180吨，B地运往C地100吨、D地0吨，最少费用为45200元. 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资， 由题意得 ，解得； 答：A地收到200吨物资，B地收到100吨物资； （2）解：设从A地运往C地吨物资，总运费为元，则A地运往D地吨，B地运往C地吨，B地运往D地吨，∴，解得， 总运费 整理，得，∵ ，∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 最小值为； 此时调运方案： A地运往C地20吨，运往D地吨； B地运往C地吨，运往D地吨. 【变式3】（25-26八年级下·青海玉树·期末）某茶店打算购进青茶和八宝茶进行销售，已知八宝茶采购成本为元/盒，青茶的采购成本（元）与采购数量（盒）之间的函数关系如图所示．该茶店打算购进两种茶共盒． (1)求与的函数解析式；(2)已知该店八宝茶和青茶的售价分别为元/盒，元/盒，购进青茶的数量不少于八宝茶的数量，则该店应当如何购进两种茶，才能使销售完这两种茶获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(2)当购进青茶盒，八宝茶盒时，利润最大，为元 【详解】（1）解：设与的函数解析式为，过点，， ∴，解得：，∴与之间的函数解析式为； （2）解：设购进青茶盒，利润为元，则购进八宝茶为盒， 依题意得：，解得：，∴（为整数）， ∵， 又∵，∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为：，此时（盒）， 答：当购进青茶盒，八宝茶盒时，利润最大，为元． 【变式4】（25-26八年级上·江苏盐城·期中） 某西瓜专销商销售利润的探究 素材1 东台三仓作为全国首个“中国西瓜之乡”，其西瓜远近闻名．某西瓜专销商准备从三仓购进早春红玉，特小凤两种西瓜进行销售．已知早春红玉每箱进价32元，售价35元；特小凤每箱进价24元，售价30元，购进西瓜的总费用不超过3000元． 素材2 现计划购进两种西瓜共100箱，其中早春红玉不少于60箱．设购进早春红玉箱，两种西瓜全部售完，商家获利元． 解决问题 任务1 （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： 任务2 （2）当购进早春红玉多少箱时，商家获利最大，最大利润为多少？ 任务3 （3）该商家对特小凤以每箱优惠元的价格进行促销活动，早春红玉的售价不变，那么商家应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 【答案】（1）， 且为整数（2）当购进早春红玉60箱时，最大利润为420元 （3）当时，购进早春红玉75箱；当时，购进早春红玉60箱；当时，利润相同 【详解】解：（1）购进西瓜的总费用不超过3000元，，解得． 又早春红玉不少于60箱，，且为整数． 依题意得：． （2），，随的增大而减小． ，当时，最大，最大值为420． 答：当购进早春红玉60箱时，商家获利最大，最大利润为420元． （3）依题意得：， 当时，，随的增大而增大，当时，最大． 当时，，随的增大而减小，当时，最大． 当时，，不随的变化而变化． 综上所述，当时，购进早春红玉75箱；当时，购进早春红玉60箱；当时，最大利润相同． 题型03 一次函数实际应用-行程问题（单直线） 【典例1】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） (1)观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是________；(2)图象中_______，_________； (3)直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 【答案】(1)100 (2)； (3)函数图象如下： 【详解】（1）解：服务区A离老家， ∴由图可得，期间行驶了2小时，路程为，即到C， 前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是； （2）解：到服务区A后，休息了半个小时，， 服务区A到南京的距离为，且之后以的速度回到南京，； （3）解：当时，此时轿车行驶速度为，∴路程为， ∵以的速度行驶时每平均耗油，； 当时，前面两小时耗油量为，∴还剩， ∵在A服务区加油，∴此时共有；； 当时，此时轿车行驶速度为，∴路程为； ； 综上所述，，函数图象如下： 【变式1】（2026·广东·模拟预测）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发去地，途经地，到达地后，立即按原路原速返回地；乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离地的路程与甲车行驶时间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)，两地之间的距离为________，乙车的速度为________； (2)求线段的函数解析式；(3)请直接写出乙车返回地前，甲车行驶多少小时，甲、乙两车相距． 【答案】(1)，；(2)； (3)乙车返回地前，甲车行驶或或，甲、乙两车相距． 【详解】（1）解：根据图象得，两地之间的距离为，当甲到达地时，用时小时， ∴返回地时总的时间为小时， ∵乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地，∴乙车在路上行驶的总时间为， ∵乙车从地去地，然后返回地，∴总路程为， ∴乙车的速度为，故答案为：，； （2）解：由图象可知甲车的速度为， ∵，，∴，，设线段的函数解析式为， ∴，解得，∴线段的函数解析式为； （3）解：设甲车行驶小时，甲、乙两车相距， ∵乙车在甲车出发小时后从地去地，∴甲车提前行驶了， ∵， ∴在从地到地的过程中，两车之间的距离一直在减小到乙车会追上甲车，不可能相距， ∵甲车行驶到地需要的时间为，乙车行驶到地需要的时间为， ∴当乙车在地停留，甲车到达地后继续行驶时，两车之间距离为，此时甲车行驶的时间为； 当甲车从地原路返回，且到达地之前，与乙车之间的距离为时， 由题意得乙车到达地且在地停留小时后一共需要，甲车行驶的路程为， ∴甲车行驶的时间为，符合题意； 当两车都原路返回地的过程中，当两车之间的距离为时，由题意可得，乙车一直在甲车前面， ∴，解得（符合题意）， 综上可得，甲车行驶或或时，甲、乙两车相距． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）国庆假期，小明一家驾驶私家车从城到城游玩，他们先匀速行驶了15分钟，后由于车流量太大，立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）至城．汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当时，求行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的函数关系式．(2)求的值． 【答案】(1)(2)的值为90 【详解】（1）根据图象，可得当时，路程（千米）与时间（分钟）的函数关系是正比例函数，故设函数关系式为． 因为在函数图象上，所以，解得，故函数关系式为． （2）设过的解析式， ∴，解得，∴该一次函数的解析式为：， 把代入中，得，解得，∴． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·月考）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：(1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；(3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80，120(2)见解析，(3)或 【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶小时，行驶距离为， ∴先出发的车的行驶速度为， ∵后出发的车行驶小时时两车相遇，∴后出发的车的速度为， ∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为．故答案为：80，120； （2）解：点D表示快车到达乙地， ∵快车走完全程所需时间为，∴点D的横坐标为， 此时慢车走过的路程为，∴点D纵坐标为360，∴点D的坐标为， ∴点D的实际意义是快车出发了4小时，快车慢车相距时快车到达乙地； （3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为， 两车相遇前，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，，∴，解得，∴， 当时，，解得，∴当时，两车之间的距离为； 两车相遇后，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，，∴，解得，∴， 当时，，解得，∴当时，两车之间的距离为； 综上所述，当或时，两车之间的距离为． 题型04 一次函数实际应用-行程问题（双直线） 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离与亮亮所用时间之间的函数关系如图所示，芳芳到达地时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：设亮亮S与t的函数关系式为：， 把代入，即，解得： ，∴亮亮S与t的函数关系式， 当时，，解得：，设芳芳S与t的函数关系式为：， 把和代入，，解得：，∴， 令代入，即，解得：，∴芳芳到达A地的时间是． 【变式1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意； 说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意； 说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意； 说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意；说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意； 由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B． 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变． (1)小王的速度为________米/分，小刘的速度为________米/分； (2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间t的函数表达式； (3)直接写出游玩结束后小王与小刘相遇时a的值． 【答案】(1)100；75(2)(3)70 【详解】（1）解：根据题意得，小王的速度为（米／分）， 小王到达园林的时间为（分钟）， 小刘的速度为（米／分）． （2）解：（分钟）． 根据题意得，60分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式为，即， 当时，，解得， 60分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式为． （3）解：根据题意得，小王到达景区的时间为（分钟）， 当小王从园林出发时，设小王的路程关于时间的函数表达式为， 将代入，得，解得， 当小王从园林出发时，小王的路程关于时间的函数表达式为． 联立得，解得，游玩结束后小王与小刘相遇时的值为70． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； (2)求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；(3)直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 【答案】(1)60；90 (2)(3)两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米 【详解】（1）解：由题意可得：，∴甲车的行驶速度是：（千米/时）， M的纵坐标为360，∴B，C两地之间的距离为360千米， 乙车行驶的路程为（千米），行驶的时间为（小时）， 乙车行驶的速度是（千米/时），故答案为：60；90； （2）解：∵甲车比乙车晚小时到达C地，∴点， 乙的速度为90千米/小时，则，∴，， 设表达式为，将和代入， 得，解得：， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：； （3）解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是30千米， ①在乙车到B地之前时，，即，解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时，小时； ③当乙车追上甲车并超过30千米时，小时； ④当乙车已经回到C地时，甲车距离C地30千米时，小时； 综上：两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米． 【变式4】（25-26八年级上·四川成都·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 【答案】(1)，；(2)或． （2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设， ∵ 过点，∴ ，解得 ，∴， 设，∵ 过点， ∴ 解得，，∴； （2）解：当时，分两种情况： 情况一： 即，解得， 情况二：即，解得， 答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或． 题型05 一次函数实际应用-分段计费问题 【典例1】（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1)(2)14.5吨 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为．将点和点的坐标代入 得，解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得．解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式；(2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时(2)142元 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得解得 ∴； 设当时，，把，分别代入， 得解得∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 【变式2】（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题：(1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元；(2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)7，(2)(3)或 【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元），故答案为：7；； （2）解：设，把代入， 得：，解得：；∴； （3）解：当时，，解得：； 当时，，解得：；综上：或． 【变式3】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象： 付款金额（元） 7．5 10 12 购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3 (1)直接写出表中a、b的值：_____；_____． (2)求出当时，y关于x的函数解析式； (3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额． 【答案】(1)5，14(2)(3)甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 【详解】（1）解：结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x， ∵，∴，．故答案为：5，14． （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 将点代入中，得：，解得：， ∴当时，y关于x的函数解析式为． （3）解：∵，∴甲农户的购买量为：（千克）． 当千克时，． 答：甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 题型06 一次函数实际应用-其他问题 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）求与的函数表达式；（2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）； 【模块二】绿波速度的通行情况（3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________； ②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）； 【模块三】交通系统优化效果对比 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 分钟 红灯等待次数 次 次（） 单次红灯平均等待时长 秒 秒 行驶速度 米/分钟 米/分钟 求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数． 【答案】（1）；（2）从路口出发到通过路口的总时长为秒；（3）① ②； （4）优化前的红灯等待次数为，优化后的红灯等待次数为 【详解】解：（1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数， 设与的函数表达式为，把代入解析式得： ，解得：，∴与的函数表达式为； （2）由图2可知，汽车以这样的速度向路口行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口，第秒时，路口绿灯亮起，故从路口出发到通过路口的总时长为秒； （3）①绿灯通过路口，则，即， 绿灯通过路口，则，即， 绿灯通过路口，则，即，∴“绿波速度”的取值范围为； ②“绿波速度”的整数值为，总时长为（秒），（秒）， ∴与（2）中相比优化后的总时长减少了秒； （4）由题意得：，整理得：，∴， ∵且为正整数，∴，∴， ∴优化前的红灯等待次数为，优化前后的红灯等待次数为． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)的值为 ；(2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 【答案】(1)(2)当时，与之间的函数关系式为 (3)点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一 【详解】（1）解：．故答案为：6． （2）解：设，将，代入，得，解得， ∴（）． （3）解：当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，， 解得，．答：石油气炉的燃烧时间为280分钟． 【变式2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）现有甲、乙两种恒温电热水壶在同时加热相同质量水的时候，壶中水的温度与时间（秒）之间的函数关系图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两种电热水壶在水温达到恒定温度（）之前，关于的函数表达式； (2)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为多少？ 【答案】(1)甲电热水壶关于的函数表达式为，乙电热水壶关于的函数表达式为 (2)乙壶中的水温为 【详解】（1）解：设甲电热水壶关于的函数表达式为， 将和代入，得：，解得， 甲电热水壶关于的函数表达式为； 同理，设乙电热水壶关于的函数表达式为， 将和代入，得：，解得， 乙电热水壶关于的函数表达式为； （2）解：当甲壶中水温刚好达到时，，解得， 将代入，得：，即乙壶中的水温为． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）初三的几位同学阅读了教材中《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，他们进行了以下试验与探究．试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每隔记录一次容器中的水量，由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量的水，因而得到如表中的一组数据： 时间 1 2 3 4 5 … 水量 5 8 11 17 … (1)探究：根据上表中的数据，你用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②），③，你认为选用函数___________（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并写出相应的表达式______________和表中漏记的的值_________． (2)应用：①若用量筒进行测量，请估计第30分钟时量筒是否滴满？________（填“是”或“否”） ②成年人每天大约需要饮水，请估计这个水龙头一天的漏水量可供一名成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 【答案】(1)②，，14(2)①否；②这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天 【详解】（1）解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②， 把代入函数解析式可得，，解得， 水量与时间的解析式为，故漏记的；故答案为：②，，； （2）解：①将代入函数解析式，可得， 在第30分钟量筒没有滴满，故答案为：否； ②由题意知水龙头每分钟滴水为，水龙头一天的漏水量为， （天）， 答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天． 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)乙机器人停工保养的时间为______分钟，______；(2)求所在直线对应的函数表达式；(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 【答案】(1)，(2)所在直线的函数表达式为(3)乙机器人工作分钟 【详解】（1）解：乙机器人停工保养的时间为（分钟）， 甲乙合作的效率为：（件/分钟）， （件），故答案为：，； （2）设所在直线的函数表达式为， 将点和代入得，解得， 所在直线的函数表达式为； （3）当时，，解得，（分钟）， 答：乙机器人工作分钟． 题型07 一次函数的最值问题 【典例1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【详解】解：， y随x的增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为； 当时，函数的最大值与最小值的和为．故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求的值；(2)若随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若，当时，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3)14 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得，解得． （2）解：y随着x的增大而减小，，解得． （3）解：当时，函数的解析式为， ，y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值，故y的最大值为． 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点．(1)求与之间的函数表达式；(2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴，则，解得，∴与之间的函数表达式为； （2）解：∵，∴中随的增大而增大， ∵，∴当时，有最小值，最小值为， ∴函数的最小值为． 题型08 一次函数与几何最值 【典例1】（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 的坐标是，直线的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式可得．点的坐标是．故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知：垂直平分，∴，∴， 要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，由一次函数可令时，则有，令时，则有， ∴，∴，即的最小值为；故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵，当三点共线时，，即图中的，此时取最大值， 设直线为，∴，解得：，∴直线为， 当，则，∴，故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：过C作，使，连接， 由条件可知，∴，， ∵，∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴当E在上时取最小值，最小值，∴， ∵点和点，∴，解得或， ∵由图形可知在第一象限，∴，∴，∴， 把和，代入得，解得，故答案为：． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 【答案】(1)，(2)与之间的函数关系式为；． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：，∴点， 把点，代入得： ，解得：，∴直线的函数表达式为； （2）解：①中，当时，，解得，∴， ∵，∴，∵点的横坐标是，∴点， ∵的面积是，∴， 根据题意得：，即与之间的函数关系式为； ②解：如图，作点B关于y轴的对称点，过点作于点E，连接，与y轴的交点即为P点，此时的值最小，且当点D与点E重合时，取得最小值，为的长， ，则，设点， ∴ ∵，∴， 解得：或4（舍去），∴点， 设直线的函数表达式为，，解得：， 直线的函数表达式为，令，则，． 题型09 一次函数与几何图形综合 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点． (1)求a的值和直线的解析式；(2)若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为(2)点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或 【详解】（1）解：把点代入得：，∴， 设直线的解析式为，由题意得： ，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知：直线的解析式为，， 令，则有，解得：，∴， 由直线：，可令时，则有，∴，∴， ∴，设点，则可分： 当点P在x轴的上方时，，解得：，∴； 当点P在x轴的下方时，，解得：，∴； 综上所述：当时，点P的坐标为或； （3）解：由直线：，可令时，则有， ∴，即，由可知：，∴是等腰直角三角形，∴， 设点，则，即， 当点N为的中点时，如图所示： ∵点N为的中点，∴，∴，， 过点N作于点G，∵平分，轴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得：，∴； 当点O为的中点时，如图所示：∴，则， 同理可得：，解得：，∴； 综上所述：当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，点Q的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点． (1)求直线的解析式；(2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；(3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3)或 【详解】（1）设直线的解析式为，代入，得 解得：∴直线的解析式为； （2）解：∵，C为中点．∴∴ ∵，∴∴是等腰直角三角形，∴， ①当时，如图所示，∴ 又∵∴是等腰直角三角形，∴， ∵，沿所在直线将翻折到的位置， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴延长交轴于点， ∴是等腰直角三角形，∴∴， 设，则∵∴解得：， ∴∴∴ ②当时，如图所示，过点作轴于点， 同理可得是等腰直角三角形，∴ 设，则，则， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，，∵折叠∴又∵∴ 在中，∴，∴ ∴ 在中，∴解得： ∴，∴；综上所述，或； （3）解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点， ∴三角形是等腰直角，，∴是等腰直角三角形， ∴，设，∴， 在中，在中， 又∵∵ ∴，∴∴ 解得：或（舍去）∴， 设直线的解析式为代入， ∴解得： 直线的解析式为； 过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴∴ 又∵∴ ∴∴即 设直线的解析式为代入， ∴解得：直线的解析式为； 综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点． (1)如图1，当两点在直线的同侧时，求证； (2)如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接．①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式； ②当与的和最小时，求点的坐标． 【答案】(1)证明过程见解析(2)，理由见解析(3)①；② 【详解】（1）证明：直线，直线，，， 线段绕着点按顺时针方向旋转至线段， ，，， 在和中，，． （2），理由如下：直线，直线，，， 线段绕着点按顺时针方向旋转至线段，， ，，在和中，， ，，，，； （3）①如图3所示，当点在第四象限时，由（2）可知：， 又点坐标为，，，， ，，整理得：， 同理可得：当点在第一象限或第三象限时，，综上，与的关系式是； ②：由①可知：点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接， 设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，， 易知，，，，由轴对称性质易得： ，，，，， ，， ，且当，，三点共线时，有最小值， 设直线的表达式为，把，代入上式得： ，解得：，，联立方程组可得：，解得：，． 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知．(1)求直线的解析式；(2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标；(3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)P点坐标为或(3)存在， 【详解】（1）解：，，，，， 设直线的解析式为，，解得，； （2）过B点作直线的平行线为，，点在直线上， ，，；直线关于直线的对称直线为， ，点在直线上，，； 综上所述：P点坐标为或； （3）存在点M，理由如下：在x轴上取点H，连接，使， 过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴， ，，，， ，≌，，，设， ，，，，解得，， ，，， 与x轴的交点为，直线的解析式为，当时，， 【变式4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【答案】(1)①是；②(2)(3)或 【详解】（1）①解：把代入，可得，， 根据勾股定理可得， ，点A是线段的“美好点”，故答案为：是； ②解：设，是线段的美好点，在线段的垂直平分线上， ， ，将，代入直线得， 即； （2）解：当时，，解得，， 当时，，，为等腰直角三角形，，且， 由折叠的性质，可知且， 是线段的“黄金美好点”，则以为斜边，构建等腰， ，， ，，即，，，． （3）解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”， 在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形， 当在上方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， ，， ，且，， 设，得，将点代入得，， 解得，即 当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， 同理可得，将点代入得，， 解得，即 综上，或． 【巩固训练】 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，，联立，解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；故选：C． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴，解得：，∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴，解得：，∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果，费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果，费用为：（元）， ∵（元），∴方案一比方案二节省元．故选：B． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察表格数据发现每过2小时，增加克，即每小时增加6克． ∴与是一次函数关系，设解析式为 ． 将 ， 和，代入得 ，解得，∴函数关系式为 ， 令 ，代入函数关系式： 解得， ∵实验开始时间是上午，沉沙时间小时，∴结束时间为：．故选：C． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 【答案】21 【详解】解：设y与x的函数解析式为， 由和在函数图象上， 得方程组： 因此函数解析式为， 当时，．故答案为：21． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，也等于从到，甲槽中水面下降的高度，，．． 设线段所在直线的函数表达式为， 将，的坐标分别代入，得，． 线段所在直线的函数表达式为． 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：(1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)5千米 (2)千瓦时 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米， 1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）． 答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米． （2）解：当时，设，把点，代入得： ，解得，∴， 当时，． 答：当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 7．（24-25八年级下·四川南充·期末）勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？(2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式；(3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？ 【答案】(1)2元(2)(3)14立方米 【详解】（1）解：元/立方米， 答：当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费2元； （2）解：设当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，y与x之间的函数关系式为， 把代入中得，∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：设这户居民十月份用气m立方米，则这户居民九月份用气立方米， ∵，且， ∴九月份的用气量必然超过10立方米且不超过40立方米， 当十月份的用气量不超过10立方米时，则，解得（舍去）； 当十月份的用气量超过10立方米且不超过40立方米时，则，解得； 综上所述，， 答：这户居民十月份用气14立方米． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数关系式；(2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 【答案】(1)；(2)当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样；当骑行时间小于时，选B品牌；当骑行时间大于时，选A品牌． 【详解】（1）解：设， 过代入得，，解得：，， 关于x的函数解析式为；设当时，， 将点，代入得，， 解得， 当时，，； （2）解：由图象知，当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样； 当骑行时间小于时，选B品牌：当骑行时间大于时，选A品牌． 9.（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示．(1)当时，求与之间的函数关系式；(2)当月用电量为度时，应交电费多少元？ 【答案】(1)(2)元 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点和点代入得，，解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：当时，，∴应交电费元． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形并写出，，的坐标； (2)写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； (3)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，不下结论），并求出周长的最小值：______． 【答案】(1)见解析，，，(2)(3)， 【详解】（1）解：如图，作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求；可知，，； （2）解：点关于轴的对称点的坐标为；故答案为：； （3）解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点，∴，∴， ∴当、、在同一直线上时，最小，∴此时最小，∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得∴直线为：，当得，∴； ∵点C关于y轴的对称点，∴，∴， ∴当A、P、在同一直线上时，最小，∴此时最小， ∴此时的周长最小，则周长的最小值为：． 故答案为：． 【强化训练】 1.（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：，∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上，∴，解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上，∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，故③正确； 由相遇得：，∴，∴，∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ，，，， 将代入，得：，，， 设，则，，， ，，，，故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：将代入得：，即，∴， 将代入得：，解得，即， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点， 则，∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，， ∴，∴， 设直线的解析式为，将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得，∴， 即当值最小时，点的坐标为，故答案为：． 4．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分；(2)求的值；(3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)；(2)；(3)能，理由见解析． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，，当时，， ，解得：，与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ，； （3）解：当时，投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分，，不符合题意； 当时，投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ，解得：， 此时，分， ，不能兑换扫地机器人； 当时，投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ，解得：， 此时，分， ，能兑换智能扫地机器人． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见解析(2)(3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： ； （2）解：∵各点连线是一条直线，∴是的一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得，解得，∴， 当时，得，解得，∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得，解得，∵经过小时后是， ∴如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)(2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨，∴，即， ∵，解得，且为3的倍数， ∴，故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：，∴，解得， ∵，且为3的倍数，∴，且为3的倍数， ∵，，∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 7.（25-26八年级上·江苏·期中）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义；(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间(2)(3)或 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设，由题意，图象经过点，即， 则：，解得：，∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：；综上：或． 8．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或(3)点的坐标为或 【详解】（1）解：如图1，，，，． 由对称性可知，，在中，， 在中，，即，解得．． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在．设，由（1）知，，，，则． ，．， ，解得或18．点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上．设直线的表达式为， 解得直线的函数表达式为． ，，，， ．．，． 当时，，解得．； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，，四边形是平行四边形． 又，四边形是矩形．． 综上，点的坐标为或． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）教材问题重现： 在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流． 对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容：【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务一：（1）填空：上述材料中的▲= ，█= ． （2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ． 【探究活动二】深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论： ①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的； ②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值． 任务二：（3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积． （4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ． （5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】解：（1）设函数的两点为，， ∴，，∴， 同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点， 则．故答案为：3，k． （2）由题可知，，故答案为：3． （3），，∴． （4）由（3）可得这个定值为：．故答案为：． （5）如图，过点D作轴于点H， 在正方形中，，，∵点，，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵直线，∴，∴，设直线l的函数表达式为， 将点D坐标代入得，，∴，∴直线l的函数表达式为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图，与都是等腰三角形，，，且，则与的数量关系是______； （2）如图，直线：与轴、轴分别交于点，在第二象限内直线上取一点，使得点到原点的距离等于，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形，若点为的中点，连接，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）． 【详解】解：（）∵，∴，即， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （）∵与轴、轴分别交于点，∴，， ∴，∴，如图，过作轴于，过作轴于， ∴，∵，， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， ∴； （）在轴的正、负半轴上各取一点，连接，使，作直线， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴点在经过点且与轴的夹角等于的直线上运动， 设直线交轴于点，作于点，则， ∵，∴，∵点为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $