第二章 反比例函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章反比例函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A 8 ⊙ D C 0 C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-2 12.-6 13.为<为<y 14.1<x<5 15.50 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17 【详解】(1解：把（←3,2）代入y x中， 得2 -3’ 解得k=6」 ys、6 .3分 6 (2)解：点(2，m)在反比例函数y= x上， 、.2三-)=-3.6分 18 【详解】(1)解：y=(m-4)x2 是关于x的反比例函数， 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-2=-1 .m-4≠0， 解得：m=士1；3分 (2)解：y=(m-4)x2 是关于x的二次函数， m-2=2 .m-4≠0， 解得：m=-4.6分 19. 【详解】(1)解：点4在一次函数y=x+1的图象与反比例函数为=x(k为常数，k≠0)的图象上， 当时，=11=2 A(1,2) .k=1×2=2:3分 (2)解：·一次函数y=x+1的图象与反比例函数片=x的图象交于AB两点， +1 =x,整理得x2+x-2=0? 解得5-2，=1 点A的横坐标为1， 点B的横坐标为-2， 则白图可如，不等式x1>套的解集为21成2<r<0一-6分 20. 【详解（解设男-年为=6-2小，则-生6-2）， [飞-k0-2)=-1 1 根据题意得 -k(3-2)=5 3 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [k=3 解得k=-4, -y=2(90x-2)24-8k0:3分 (2)解：由1)得y=3+4x-8, 将r-6代入得名4x6-8=24-8=16空 022,6分 21. 6 【详解】(1)解：：反比例函数y=一的图象过点A(-2,m),B3,m小， m=-=3,n=-6 -2 -2 3 1(-23).B8-2) 一次函数y=r+b的图象过点A、点B, -2a+b=3 .3a+b=-2, 「a=-1 解得b=1, .一次函数的解析式y=-x+1, 如图，设直线AB与y轴的交点为C, 对于y=-x+1,令x=0,得y=1, :c0,) S.A0n=S.40c+S.Boc= 2x1+ 1 2 2×3x1=5 2 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4分 -x B （②）解：如图，Sam=2Sr 3 S.408=S.40r+S.moP= ,=5_1x2x1=2 .S.con=S.on-S.oc=3 即时，子解得气手 ,P为线段AB上一点， =1 3 修 …8分 22 【详解】(1)解：·平均总成本由固定的材料成本和与生产数量成反比的制作成本组成， k .设y=a+ +x（k≠0)· 将x=20,y=20和x=40,y=15分别代入，得 k a+ =20 20 at. =15 40 解得k=200,a=10 六y与x的函数表达式为y=10+200 （x为正整数).4分 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据题意， 得10+200 16 .x>0, .200≤6x, 100 解得x≥ 3· ,x为正整数， ∴.x的最小值为34. 答：至少需要生产34件.8分 23. 【详解】（山解，反比例函数y-(x>0)的图象与正比例的数y-=k>0)的图象交于点A亿，）， A(2,a 点 在正比例函数'=x(>0 的图象上， a=2. 即12,2) 把42到代入-中，得2= k 2, 解得k=4; 即k的值为4；…2分 (②解：1B1x轴于点B,且12,2) .B(2,0) :四边形OAP吧为平行四边形， .Pg∥OA」 直线P№的解析式的一次项系数为1， 设直线P的解折式为=x+6,把B(20)代入得0=2+b, 解得b=-2, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即直线P2的解析式为y=x-2, 由（山）知反比例函数解折式为y=4 xX' 4 y= 联立得y=x-2消去少，得2-2x-4=0 解得=5+名=-5+1（合去）， 把=5+1代入y=x-2.得=5-1， x=V5+1 则y=5-1' 即点P的坐标为人5+5-)，…5分 (3)解：如图，连接OPA0交于点D,分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B,设 4 (p,),Pm, m,其中p<0,m>0, D 图2 m+0_2+p 22 则年+02+4·消去心得 "22 m p+2)(2+1)=4 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即21+2p+pt=0①， 8w8a3, S梯形4CB0-S4C0-S.0OB=3 即2+2-p)x2x2-xp1-3, 整理得1=p+3② 把②代入①，整理得P+7p+6=0 解得A=-,B=6 m+0_2+p 而由2 2得，m=2+p 当D=一时，m=1,此时P,4) 当Pp=-6时，m=-4<0,不符合题意，舍去， 1,4 即点P的坐标为 .…8分 24. 1 【详解】(1)解：函数y x一十，分式分母不能等于0， .x-1≠0， x≠1， ∴.自变量x的取值范围是x≠1；2分 （2)解：当x=-小代入函数，得1= 1 2*1s1 2 2 1 .m= 2； 3+11 1 y +1=2+1=3 当x=),代入函数，得21 2 2 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n=3;.4分 (3)解：图象如图所示： 9816542外 476分 1 ①解不等式x- +1小3 3 由表格可知，当y=2时，x=3 由图象可知，当1<x<3时，y随x的增大而减小，当x<1时，y<1, 1 3 -+1> 一当x-+1>2时，x的取值范围是1<x<3:8分 ②由图象可知当x=0时，y=0;当x=2时，y=2, ∴方程x一+1=x的解为x=0,为=2：10分 1 2 ④解：+1*-2列：⅓即 y 2t+1, 1 分母不为0：2x+1≠0，即x≠-2 1 令x=0,得50+=1，即与y轴的交点(0,1)： 1一=0 =0’即 令 即2x+1，此时无解，即与，轴没有交点： 2 ∴.图象与坐标轴有1个交点.…12分 25. 【详解】(I)解：：CD⊥DE,BE⊥DE, ∠CDA=∠AEB=90°， 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAB=90°， .∠CAD=90°-∠BAE=∠ABE, .AB=AC, ..ACDAAEB(AAS) .CD=AE,AD=BE, 点C-2) .AE=CD=1,BE =AD=2 ·B(1,2) 设直线BC的解析式为y=x+b, k+b=2 -2k+b=1, 1 解得 b= 5, 15 :直线BC的解析式为y= 3 当x=0时，y=。 3’ ∴.点M的坐标为 ;…4分 (2)解：过点B作B'S⊥x轴于点S, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V B B A 图2 由题知∠BAB=90°， 由(1)同理可证，△ABO≌aBAS, “一次函数 =-2x+2 的图象交轴于点A,交'轴于点B, y B 且当x=0时，y=2,当y=0时，x=1, :B02）.A0) ∴.OB=2,OA=1 ∴.B'S=OA=1,SA=OB=2 ∴.0S=1+2=3, B'(3,1) 设反比例函数的表达式为y-专 x =3×1=3 则 :反比例函数的表达式为少= 设直线MB的函数表达式为 y=kx+b 3k2+b2=1 又有k2+b2=0, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得 1 b,=-2 11 :直线B的函数表达式为y=2-2:8分 (3)解：设点P的坐标为m-2m+2) 过点O作OT⊥AB于点T,过点P作PR⊥OA于点R, ①当点P在x轴上方时， B' .∠BAB'=90°=∠OTP∠OPQ=90° ∴.∠OPT=90°-∠AP9=∠POA ..OP=PO ∴.aOPT≌aP2A(AAS) ..OT=PA, .OA=1,0B=2 .AB=+22=5 S.m=OA.OB_AB.OT 2 2 即VS0r=2 a072v5 解得 5, 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PA=0m=25 5, :PR=-2m+2,OR=m .AR=1-m, PR2+AR2=PA2 (m240--5 3 解得m=5或m= >1(舍去)· 34 ∴点P的坐标为55： ②当点P在x轴下方时， VA B B R O 7 同理可求得m= (7 点P的坐标为5 方P你信)安尽- ，12分 12/12命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数是y关于x的反比例函数的是() A.y=-1 x-1 B.y-x C.y=-3 D.y 2.下列关系中，成反比例函数关系的是() A.圆的面积S与它的半径r之间的关系 B.小芳从家到学校，剩下的路程5与速度v的关系 C.电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系 D.小明的身高h与年龄x之间的关系 6 3.若点A(2,),B(-3,)在反比例函数y=x的图象上，则%，的大小关系是（） A.片>与 B.为>片 C片=乃 D.片≤为 4 4.关于反比例函数少=x的图象，下列说法正确的是（） 1,2) A.必经过点 B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于x轴成轴对称 D.在每一个象限内，'随x的增大而减小 5.若反比例函数y=《-2 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是() A.k≠2 B.k<2 C.k>2 D.k>-2 6.设反比例医数y=生（为布数有+0》.已如当-6≤x≤-2时，y的员人值为1则当35≤4时 y的最大值为() 2 A.3 B.2 C.1 D.3 Q,如图，点和点分别在反比函数y(r<0)y(>0两个图象上，4Bx箱且交v轴 于P,若PA:PB=2:3,则k的值为() 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.3 B.-3 C.4 D.6 8若二次蹈数y=:的图家开门向上，则正比例透数y=:与反比例函数y-兰在月一平盾直角坠标系内 的大致图象是() 9。如图，在平面直角坐标系中，菱形BCD的顶点A,D都在反比例函数y（x>0)的图象上，顶点 B,C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴.则菱形ABCD的面积为() B C A.3 B.12 C.6 D.6 10.将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（©m)与粗细（横截面面积） x(cm)之间的函数关系如 图所示.下列说法错误的是() ◆y(cm) P(0.04,3200) 3200-- 0.04x(cm2) 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 128 A.该函数表达式为y= B.当x=0.08时，y=1600 C.当面条的总长度不超过3200时，x>0.04 D.当x≥0.08时，0<y≤1600 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,若西数y产k≠0)的图象经过点4，-2列，则人的值为一 12.若点A(a,b)在反比例函数y=-x的图象上，则b-2= k2+1 13.若点4)，B(-%),C(2,y)在反比例函数”=的图象上，则X,为，⅓的大小关系是 (用“<”连接) 14.如阁，直线y=x+b与反比例面数y=名(x>0)交于A,B丙点，其横华标分别为1和5，则不等式 x+b> x的解集是 B 5 15。在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气休后汽缸壁所产生的压强P心k)与汽缸内 V(mL) 气体的体积 成反比例，卫关于V的函数图象如图所示.当汽缸壁所产生的压强为 20(kPa时，汽缸 内气体的体积为 mL p(kPa) 120 60 100 V(mL) 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 16,如图，已知一次函数y=2x+1与反比例函数y=的图象交于A,B两点.若点p为直线4B上的动 点，过点P作P9∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q.当△OP吧的面积为24时，所有满足条件的点2 的坐标为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.己知反比例函数y=的图象经过点(-3,2)： (1)求y关于x的函数解析式： 2若点2 在这个图象上，求”的值 18.已知y=(m-4)xm-2 是关于x的函数. (1)若这个函数是反比例函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值. 19.如离，在平面直角华标系中，一次面数人=+1的图象与反比例局数与兰（为市数。人生0的图 象交于A、B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值： 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)关于x的不等式+1>x的解集为， 20.已知函数 ，=5 当3 为-为，”与产成反比例、为与-2成比例，且当=时，y1: (1)求y与x的函数关系式 (2)当x=6时，求y的值. 6 21.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=-x的图象相交于A?B两点，其中点A的坐标为 （-2,m) 点B的坐标为 3,n) (1)求△AOB的面积： (②)若P为线段4B上一点，且 om=2S.or,求点P的坐标. 22.某广告公司制作某种定制纪念品.纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定 不变，制作成本与生产数量成反比，该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 20 40 平均总成本 20 15 (元) ()设平均总成本为y元，生产数量为x件，求y与x之间的函数表达式： (2)下一位客户要将平均总成本控制在16元以内，请问至少需要生产多少件？ 23. 已知反比例西数y-(x>0)的图象与正比例函数y=>0)的图象交于点4亿，a),点p为反比例西 数图象上一动点，连接AP,以OA,AP为邻边构造平行四边形OAP巴， 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求k的值： (2)如图1，过点A作AB⊥x轴于点B,若OAPO的边PO经过点B时，求点P坐标； (3)如图2，当点P在点A左侧时，若OAP2的面积为6，求点P坐标. 1 24.小明根据学习函数的经验，对函数y= x-1 +1的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程，请 补充完整： (1)函数y= +1的自变量x的取值范围是 x- (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m,n的值：m= n= 3 1 3 -1 5 2 2 0 2 2 2 2 3 2 3-5 5 > m n 3 0 -1 2 3 2 5 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点， 画出该函数的图象.并结合函 数的图象，解决问题： 1 3 ①当x一+1>时，x的取值范围是一： 1 ②方程x一+1=x的解为一 ④已知函数1=2x+1(x≠-2) s1 则函数的图象与坐标轴有 个交点 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 54=32-91.2.3.4.5 -2 25.【模型认识】如图1，等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,直线DE经过点A,过C作 CD⊥DE于点D,过B作BE⊥DE于点E,易证得△CDA≌aAEB,因直线DE,线段AC,线段AB组成 的图形形似字母“K”，所以我们将这个模型称为“K形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： y◆ M B B B A E 图1 图2 图用图 【模型运用】 (I)如图1，在等腰Rt△ACB中，∠CAB=90°，AC=AB,以A为原点作平面直角坐标系，DE与x轴重合， 点C(-2 ,求直线BC的函数表达式及点M的坐标： (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+2的图象交x轴于点A,交y轴于点B,将点B绕点 A顺时针旋转90得到点B,B恰好是反比例函数少=，图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线 AB的函数表达式： (3)在(2)的条件下，点P是直线AB上的一点，点O是直线AB上的一点，连接OP,PO,OQ,当 △OP9∠OPQ=90°OP=PQ 满足 ，且 时，请直接写出此时点的坐标. 717 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，，是反比例函数，符合题意； 选项：是正比例函数，不符合题意． 2．下列关系中，成反比例函数关系的是（     ） A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．小芳从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系 C．电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系 D．小明的身高h与年龄x之间的关系 【答案】C 【分析】抓住反比例函数的本质特征：两个变量的乘积为非零定值，以此判断各选项． 【详解】解：A.圆的面积，S与成正比例关系，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意； B.剩下的路程随行走时间变化，s与速度的乘积不是定值，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意； C.电压一定时，由得，与的乘积为定值（），符合反比例函数关系，本选项符合题意； D.身高与年龄的乘积不是定值，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意． 3．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点，的横坐标代入求函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得； ∵， ∴． 4．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．在每一个象限内，随的增大而减小 【答案】D 【分析】先由解析式确定比例系数的符号，再结合反比例函数的图象与性质判断各选项． 【详解】解：A、将代入，得，故A错误； B、，函数图象的两个分支分布在第一、三象限，故B错误； C、反比例函数图象的两个分支关于原点中心对称，不关于轴对称，故C错误； D、，在每一个象限内，随的增大而减小，故D正确． 5．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由反比例函数图象分布在第二、四象限的特征得比例系数为负，列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得：． 6．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 7．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 8．若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向上，可得，再根据正比例函数和反比例函数的图象性质求解即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，可得， ， 正比例函数的图象经过一、三象限，反比例函数的图象在一、三象限， 选项C符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 10．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将点的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入先求出的值，再计算所求式子即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∵ 反比例函数中，两边同乘得 ， ∴ ． 13．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，再利用反比例函数的性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，得． ∵点的横坐标，点的横坐标， ∴，都在第一象限，得，． 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴． 综上，． 14．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 15．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 【答案】或 【分析】设点的横坐标为，根据轴表示出点的坐标，进而用含的代数式表示线段的长及的高，利用三角形面积公式建立关于的方程求解即可 【详解】解：设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵的边上的高为点到直线的距离，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得， 当时，整理得， ∵， ∴该方程无实数根， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点代入反比例函数即可得出结论； （2）把代入已求出的解析式即可求得n的值． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：∵点在反比例函数上， ∴． 18．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得， 解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或． 20．已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求与的函数关系式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）设，，则，联立方程组求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设，，则， 根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）得， 将代入得． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)若为线段上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）先求解点，点坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式，设直线与轴的交点为， 根据列式计算即可； （2）根据，求得点的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，， ∴，， ∴，， ∵一次函数的图象过点、点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式， 如图，设直线与轴的交点为， 对于，令，得， ∴， ∴； （2）解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∵为线段上一点， ∴， ∴． 22．某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） (1)设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； (2)下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 【答案】(1)（为正整数） (2)至少需要生产34件 【分析】（1）根据平均总成本的组成设出含待定系数的函数式，代入已知数据求解系数． （2）根据平均总成本的限制列不等式，结合生产数量为正整数求最小值． 【详解】（1）解：∵平均总成本由固定的材料成本和与生产数量成反比的制作成本组成， ∴设（）． 将，和，分别代入，得 ， 解得，． ∴与的函数表达式为（为正整数）． （2）根据题意，得． ∵， ∴， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为34． 答：至少需要生产34件． 23．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解； （2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解； （3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在正比例函数的图象上， ∴， 即， 把代入中，得， 解得； 即k的值为4； （2）解：∵轴于点，且， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴直线的解析式的一次项系数为1， 设直线的解析式为，把代入得， 解得， 即直线的解析式为， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立得，消去y，得， 解得（舍去）， 把代入，得， 则， 即点P的坐标为； （3）解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，， 则，消去m，得， 即①， ∵， ∴， 即， 整理得② 把②代入①，整理得， 解得， 而由得，， 当时，，此时； 当时，，不符合题意，舍去， 即点P的坐标为． 24．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出的值：_______，______． … 0 2 3 … … 0 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．并结合函数的图象，解决问题： ①当时，的取值范围是______； ②方程的解为______． (4)已知函数，则函数的图象与坐标轴有______个交点． 【答案】(1) (2)； (3)图象如图所示： ①；②，； (4)1 【分析】（1）根据分式分母不能为 0，列出，即可求得自变量取值范围； （2）分别把和代入函数计算即可解答； （3）①画出函数图象，观察图象在上方部分，结合表格数据，可得到的取值范围； ②在图象上找到的点即为方程的解； （4）把分别令，，即可得到图象和坐标轴的交点． 【详解】（1）解：函数，分式分母不能等于 0， ∴， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）解：当，代入函数，得， ∴； 当，代入函数，得， ∴； （3）解：①解不等式， 由表格可知，当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； ②由图象可知当时，；当时，， ∴方程的解为，； （4）解：，，即， 分母不为 0：，即， 令，得，即与轴的交点； 令，即，此时无解，即与轴没有交点； ∴图象与坐标轴有1个交点． 25．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ∴，， ， ， ， ， 设反比例函数的表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第二章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列关系中，成反比例函数关系的是（     ） A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．小芳从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系 C．电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系 D．小明的身高h与年龄x之间的关系 3．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．在每一个象限内，随的增大而减小 5．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 7．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 8．若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 10．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数的图象经过点，则的值为______． 12．若点在反比例函数的图象上，则______． 13．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 14．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 15．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 18．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 20．已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求与的函数关系式． (2)当时，求的值． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)若为线段上一点，且，求点的坐标． 22．某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） (1)设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； (2)下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 23．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 24．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出的值：_______，______． … 0 2 3 … … 0 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．并结合函数的图象，解决问题： ①当时，的取值范围是______； ②方程的解为______． (4)已知函数，则函数的图象与坐标轴有______个交点． 25．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $