第五章 一元一次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版七年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 D3r2:②2：图0-x0+x3:03x-=-3到中，是-元 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列变形中，不正确的是() A.若a-2=b-2,则a=b B.若-4a=-4b,，则a=b a b C.若a<b,则m2+2m2+2 D.若ac>bc,则a>b 6-x 3.已知方程4=x-1的解比关于x的方程-11=3狄+1的解大5，则k的值为() A.-5 B.-2 C.1 D.3 4.如果关于x的方程2x+1=3和方程x+k=6的解相同，那么k的值为() A.3 B.4 C.6 D.5 5.若x=2是关于x的方程a2+bx+1=0的解，则多项式2025-4a-2b的值是() A.1013 B.1015 C.2024 D.2026 6.某车间有26名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产 的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是 () A.2×20x=12(26-x) B.20x=12(26-x) C.20x=2x12(26-x) D.12x=20(26-x) 7.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则炒的值为 () 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 -5 0+2)2 2x+1 3 -3 0 A.14 B.8 C.-14 D.-15 2a-b(a>b) 8.现定义运算“，对于任意有理数a,6,满足6- a-2b(a<b) 1, =1-2×1=-3 1 如：53=2×5-3=7,2 2 2.若x2=6,则有理数x的值为() A.4或10 B.4或-10 C.10 D.4 9.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），将9个数填在3×3（三行三列） 的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶 幻方，如图2是显示部分式子的幻方，则y与x的关系可以表示为() 洛书 ◇000000000 2 3x-4 5x -2x 图1 图2 A.y=5x-2 B.y=5x C.y=3x-2 D.y=3x 10.已知两个多项式 =+(a+1x+4B=r+(a-)x-4,设C=A+B,D=A-B,下列说法： ①若D=12,则x=2: ②若C-ax2+bx+4的值与x的值无关，则a-b=6: ③若关于x的方程 a-2)x=C-2x2+ 4的解为正整数，则符合条件的整数“有3个. 其中正确的个数是() 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若4x+2与-x-3互为相反数，则x的值为 12.关于*的方程（m-3列x2+1=0 一元一次方程，则m=」 mx+1=m 13.在解关于x的方程2 3时，去分母过程中没有给方程左边的“1¨乘最简公分母6，解得x=1, 则原方程正确的解为， 14.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3,9,10,11,17），照此 方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 日一二三四五六 1234567 891011121314 15161718192021 22232425262728 2930 15,已知关于x的方程x-“-3_3x-l 3=2的解为负整数，则所有满足条件的整数α的和为 16.已知关于m的方程m-m1=5的解也是关于的方程3(x-4)-n=7的解，线段4B=2m,在射线 上取一点P,恰好使P=P8 AB PB A0= ,点为线段的中点， 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.解方程 (1)2(x-3)=3x-1; 5x-7+1=3x- (2)6 4 18.我们定义一种新的运算“⑧”，并且规定：a⑧b=a2-2b.例如：2⑧3=22-2×3=-2， 2⑧(-a)=22-2(-a=4+2a 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0冰a ⑧(-x)=2⑧ (2)若 ,求的值 19.按要求解答问题： 02知关于伯方爱3-2-2与3-m=+ 的解互为倒数，求m的值； 2)在(1)的条件下，若多项式m+3m与4(m-2m） 的和为15，求”的值， 20.在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队9场比赛保持不败. ()设这支球队胜了x场比赛. ①根据信息填表（用含有x的式子表示）： 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3x 平 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数： (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列二元二次方程，说明你的结论.） 场次（场） 每场得分（分) 积分（分） 胜 3 3x 平 9-x 1 9-x 21.如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值x”到“判断结果是否大于等于1”为一次运 算.例如：开始输入x的值为-3.运行第一次：-3×2+5=-1.因为-1<1，所以需要运行第二次： -1×2+5=3 3>1 y=3 因为，则输出结果. 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x 乘以2 加上5 否 是 输出结果y (1)当x=2时，y= ；当x=-2时，y= (2)当输入x为-2.5时，求输出结果y的值； (3)若经过两次运行后输出结果y=1,请直接写出此时输入的x的值. 2.已知关于x的方程4-4)x-(a-4)x+2b+3=0 一元一次方程. (1)a的值为 (2)若已知方程与关于x的方程4-7x=9x+2b的解相同，求b的值： (3)若已知方程的解比方程3x-6=4-2x的解小5，求b的值. 23.元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 商 优惠活动 场 全场商品按标价的6折销售 甲 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比 乙 如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券) 丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选 择一商场购买更实惠； (2)李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子， 最后付款额也一样，求这条裤子的标价： (3)丙商场又推出“先打折，再参与每满100减50元”的活动.李先生买了一件标价为400元的上衣，付款 516 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 后李先生发现竞然比没打折前多付了10元钱，求丙商场先打了多少折后再参加活动？ 24.新定义：0是关于x的一元一次方程 x+b=0(a≠0) 的解，儿是关于y的方程的一个解，若满足 x0+%=9 ，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”.例如：一元一次方程3x-16=x 的解是6=8，方程 y+2=3 的解是y=1或”=，当%=时，名+%=9 则方程+2=3 一元一次 方程3x-16=x的“和美方程”. Q四)尼知关于y的方程：①2+y=3,②=2 以上哪个方程是一元一次方程x-11=0的“和美方程”？ 请直接写出正确的序号 ②)若关于y的方程y-+2=5是关于x的一元一次方程2-，+a=x的“和美方程”，请求出a的值 y+n=3-y-m (3)若对于任何数心，关于y的方程2 都不是关于x的一元一次方程3(x-1)-2mn=6的“和 美方程”，求关于t的方程4n-3t=5的解。 25.数轴上有A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系， 则称该点是其它两个点的“关联点”·例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4，此时点B是点 A,C的“关联点”， A B C 012345 (I)若点A表示数-3，点B表示数3，点M是点A,B的“关联点”，点M在A、B之间，且表示一个负数， 则点M表示的数为_： (2)若点A表示数-2，点B表示数1，下列各数-1,2,4,6中，是点A,B的“关联点”表示的数的是_： (3)点A表示数-10，点B表示数15，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“关联点”，求此时点P表示的数： ②若点P在点B的右侧，点P,A,B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P 表示的数 616 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 2．下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 3．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先解出第一个方程的解，再根据两个方程解的关系得到第二个方程的解，代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：先解方程， 去分母得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， ∵方程的解比方程的解大5， ∴方程的解为 ， 把代入得， 移项合并同类项得， 解得． 4．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】先求解第一个一元一次方程得到x的值，再利用解相同的条件，将x代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：解方程， 移项得：， 即， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． 5．若是关于的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1013 B．1015 C．2024 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，将代入方程得到 的值，然后整体代入多项式求值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 则． 故选：D． 6．某车间有名工人，每人每天可以生产个螺母或个螺栓个螺栓需要配个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设安排名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母，根据：个螺栓需要配个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可列方程：． 7．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先依据正方体展开图的特征确定互为相对的面，再结合“相对面上的数或代数式互为相反数”这一性质建立方程，通过解方程求出、的具体值，最后代入代数式计算出结果． 【详解】解：由正方体展开图的相对面规律，与相对，与相对，与相对． ∴，． 解得，； ∴． 8．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足 如：，．若，则有理数的值为（     ） A．4或10 B．4或 C．10 D．4 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，当时，分别根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，此时不满足，不符合题意； ∴有理数的值为4． 9．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2是显示部分式子的幻方，则与的关系可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中心位置上的数为，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：设中心位置上的数为， 根据题意，得， 整理，得； 故， 故． 10．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ． 12．关于的方程是一元一次方程，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，需满足未知数的次数为1且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，可得 解得， 故答案为：． 13．在解关于的方程时，去分母过程中没有给方程左边的“1”乘最简公分母6，解得，则原方程正确的解为___________． 【答案】 【分析】先根据题意错误去分母得到含参数m的错误方程，将已知解代入错误方程求出m的值，再将m代入原方程，按照一元一次方程的解法求解即可得到原方程的正确解． 【详解】解：由题意，去分母时未给1乘6，得到的错误方程为：， 把代入错误方程，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 把，代入原方程，得， 方程两边同乘6去分母，得， 去括号，得，， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为_____________． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用； 设中间这个数为，则最小数为，最大数为，根据题意，得进行求解即可． 【详解】解：设中间这个数为，则最小数为，最大数为， 由题意得，， 解得，， ∴最大数为：， 故答案为：． 15．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 16．已知关于的方程的解也是关于的方程的解，线段，在射线上取一点，恰好使，点为线段的中点，____． 【答案】或 【分析】先求解关于的一元一次方程得到的值，根据同解方程的定义得到关于的方程中的值，代入求出的值，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，结合线段中点定义和线段和差关系计算的长度． 【详解】解：． 去分母得． 去括号得． 合并同类项得． 系数化为得． 关于的方程的解也是关于的方程的解． ． 将代入得∶． 解得． 由题意得，，分两种情况讨论∶ ①当点在线段上时∶ ． ，解得． 点为的中点． ． ． ②当点在线段的延长线上时∶ ，． ，解得． 点为的中点． ． ． 综上或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得． 18．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新运算得出，然后通过有理数运算法则进行计算即可； （）根据新运算得到关于的一元一次方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， 又 ∴ ． 19．按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解得． 因为两方程的解互为倒数， 所以方程的解为． 将代入，得 ． （2）解：由题意，得． ． 将代入，得 解得． 20．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 21．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果． (1)当时，________；当时，________； (2)当输入为时，求输出结果的值； (3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值． 【答案】(1)9；1 (2)输出结果y的值为 (3)此时输入的x的值为 【分析】（1）分别将和代入流程图进行计算即可； （2）将代入流程图进行计算即可； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，由流程图可得， ； 当时， ； （2）解：当时， ， ∴需进行第二次运算，将0代入得， 答：输出结果y的值为； （3）解：∵经过两次运行后输出结果， ∴第一次运算结果小于1，第二次运算结果等于1， 设输入的x为所求值，则第一次运算结果为，第二次运算结果为， ∴ 解得， 答：此时输入的x的值为． 22．已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 23．元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择　　 商场购买更实惠； (2)李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价； (3)丙商场又推出“先打折，再参与每满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，求丙商场先打了多少折后再参加活动？ 【答案】(1)丙 (2)220元 (3)九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据甲、乙、丙三家商场给出的优惠方案，可求出选择各商家所需费用，比较后即可得出结论； （2）设这条裤子的标价为元，根据在甲、乙两商场付款额相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设丙商场先打了折后再参加活动，分及两种情况考虑，根据付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：选择甲商场所需费用为（元， 选择乙商场所需费用为（元； 选择丙商场所需费用为（元； ， 李先生应选择丙商场购买更实惠． 故答案为：丙； （2）解：设这条裤子的标价为元， 根据题意得， 解得， 答：这条裤子的标价为220元； （3）解：设丙商场先打了折后再参加活动， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）． 答：丙商场先打了九折后再参加活动． 24．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“和美方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程，得，再解方程①，②根据“和美方程”的定义去判断即可； （2）解出方程的解为，一元一次方程的解是或，得到或，求出a的值即可； （3）解一元一次方程，得，由，得到，进而推导出，得到，要使成立，则不能含有m，得到，得，再将代入，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． 25．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，点M是点A，B的“关联点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为 ； (2)若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6中，是点A，B的“关联点”表示的数的是 ； (3)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 【答案】(1) (2)，4 (3)①或或；②或或 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间距离公式，理解新定义和分类讨论是解题的关键． （1）设点M表示的数为x，根据“关联点”定义，分和两种情况列方程，结合M在A、B 之间且为负数的条件，解得． （2）根据新定义内容，结合数轴上两点间距离公式求解； （3）①根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解；②根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解． 【详解】（1）解；设点M表示的数为x，因为M在、之间且为负数，所以分两种情况： 若，则， 解得， ， ． 若，则， 解得， ， （不符合负数，舍去）． 综上，点M表示的数为． 故答案为：； （2）解：设，，，所对应的点分别是，，，， ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； 故答案为：，4； （3）解：设点在数轴上表示的数为． ①在点左侧，则： （Ⅰ）当点在之间时， ， 解得：； 或， 解得：； （Ⅱ）当点在点左侧时， ， 解得，； 当点在点左侧时，点表示的数为或或； ②点在点右侧，则： （Ⅰ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； （Ⅱ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； 或， 解得：； （Ⅲ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：， （Ⅳ）当时，可得； 点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 4．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 5．若是关于的方程的解，则多项式的值是（   ） A．1013 B．1015 C．2024 D．2026 6．某车间有名工人，每人每天可以生产个螺母或个螺栓个螺栓需要配个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（     ） A．14 B．8 C． D． 8．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足 如：，．若，则有理数的值为（     ） A．4或10 B．4或 C．10 D．4 9．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2是显示部分式子的幻方，则与的关系可以表示为（     ） A． B． C． D． 10．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若与互为相反数，则的值为________． 12．关于的方程是一元一次方程，则__________． 13．在解关于的方程时，去分母过程中没有给方程左边的“1”乘最简公分母6，解得，则原方程正确的解为___________． 14．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为_____________． 15．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 16．已知关于的方程的解也是关于的方程的解，线段，在射线上取一点，恰好使，点为线段的中点，____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程 (1)； (2)． 18．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 19．按要求解答问题： (1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值； (2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值． 20．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 21．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果． (1)当时，________；当时，________； (2)当输入为时，求输出结果的值； (3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值． 22．已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 23．元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠活动 甲 全场商品按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择　　 商场购买更实惠； (2)李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价； (3)丙商场又推出“先打折，再参与每满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，求丙商场先打了多少折后再参加活动？ 24．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 25．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，点M是点A，B的“关联点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为 ； (2)若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6中，是点A，B的“关联点”表示的数的是 ； (3)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D D A C D A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．27 15． 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得；..........3分 （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得．..........6分 18． 【详解】（1）解： ；..........3分 （2）解：∵，， 又 ∴ ．..........6分 19． 【详解】（1）解：， 解得． 因为两方程的解互为倒数， 所以方程的解为． 将代入，得 ．..........3分 （2）解：由题意，得． ． 将代入，得 解得．..........6分 20． (1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场..........3分 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分．..........6分 21． 【详解】（1）解：当时，由流程图可得， ； 当时， ；..........2分 （2）解：当时， ， ∴需进行第二次运算，将0代入得， 答：输出结果y的值为；..........5分 （3）解：∵经过两次运行后输出结果， ∴第一次运算结果小于1，第二次运算结果等于1， 设输入的x为所求值，则第一次运算结果为，第二次运算结果为， ∴ 解得， 答：此时输入的x的值为．..........8分 22． 【详解】（1）解：， 解得；..........2分 （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为．..........5分 （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为．..........8分 23． 【详解】（1）解：根据题意得：选择甲商场所需费用为（元， 选择乙商场所需费用为（元； 选择丙商场所需费用为（元； ， 李先生应选择丙商场购买更实惠． 故答案为：丙；..........2分 （2）解：设这条裤子的标价为元， 根据题意得， 解得， 答：这条裤子的标价为220元；..........5分 （3）解：设丙商场先打了折后再参加活动， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）． 答：丙商场先打了九折后再参加活动．..........8分 24． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②．..........3分 （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17；..........7分 （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得．..........12分 25． 【详解】（1）解；设点M表示的数为x，因为M在、之间且为负数，所以分两种情况： 若，则， 解得， ， ． 若，则， 解得， ， （不符合负数，舍去）． 综上，点M表示的数为． 故答案为：；..........3分 （2）解：设，，，所对应的点分别是，，，， ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； 故答案为：，4；..........7分 （3）解：设点在数轴上表示的数为． ①在点左侧，则： （Ⅰ）当点在之间时， ， 解得：； 或， 解得：； （Ⅱ）当点在点左侧时， ， 解得，； 当点在点左侧时，点表示的数为或或； ②点在点右侧，则： （Ⅰ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； （Ⅱ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； 或， 解得：； （Ⅲ）当点为点，的“关联点”时， ， 解得：， （Ⅳ）当时，可得； 点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为或或．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $