3.2.2 函数的奇偶性第二课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 3.2.2 函数的奇偶性第二课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 逻辑推理 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式. 数形结合 用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤 复习回顾 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数f(x)是偶函数 关于____ 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)是奇函数 关于____ 对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤 一求（定义域Ⅰ） 二看（是否关于原点对称） 三算（计算f(-x) ） 四断 f(-x)与f(x) 探索新知 探究1：判断下列函数的奇偶性，并说明理由. (1)f(x)＝x5＋x3＋x； 【解析】　(1)f(x)的定义域为R，∀x∈R都有－x∈R， 且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数. 探索新知 拓展： 1.奇偶函数的运算性质来判断函数的奇偶性： 偶函数的和、差、积、商仍为偶函数. 奇函数的和、差为奇函数， 两个奇函数的积、商为偶函数. 2.奇函数、偶函数的定义域M,一定关于原点对称，所以x∈M则-x∈M;若f(x)是奇函数且在x=0有意义，则f(0)=0 定义域符合要求 探索新知 跟踪练习.(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，m= . (3)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，求f(3)？ －1 2 解：(3)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 探索新知 总结：由函数的奇偶性求参数值的思路： (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去. (2)一般策略：取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. (3)特殊策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去. 探索新知 －1 探索新知 探究2： 判断下列函数的奇偶性： 解：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数. 探索新知 探索新知 探索新知 跟踪训练1.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状. 探索新知 跟踪训练2.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状. 又∵f(x)是偶函数 ∴f(-x)=f(x)=x2+2x+1. ∵当x≥0时，f(x)=x2-2x+1 设x＜0，则 ∴f(-x)= 即f(x)=x2+2x+1 其图象右 (-x)2-2(-x)+1 (x＜0) = x2+2x+1. 解: -x>0. x y o -1 1 1 思考：本题和刚才的例题有何不同？为什么x=0不需单独考虑? 探索新知 探索新知 探索新知 探究：定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，有f(x)>0. (1)试判断f(x)的单调性，并加以证明； 解：f(x)在R上单调递增.理由如下： 任取x1，x2∈R，令x1<x2，则x2－x1>0， 又当x>0时，f(x)>0，知f(x2－x1)>0， ∵对任意x，y∈R，恒有f (x＋y)＝f(x)＋f(y)， ∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在R上单调递增. 探索新知 探究：定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，有f(x)>0. (2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明； 解：f(x)是奇函数.理由如下： 取x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 对任意x∈R，取y＝－x，则f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，又x∈R，都有－x∈R， ∴f(x)是R上的奇函数. 探索新知 判断抽象函数的奇偶性、单调性，主要是利用定义判定： (1)找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系. (2)赋值代换，至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值－1或0或1来达到解题目的. 探索新知 探究：已知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数 ,且在[0,1)上是增函数. 解不等式： 又∵奇函数f(x)在[0,1)上是增函数， ∵f(x)在R上是奇函数, ∴f(x)是增函数。 解： 探索新知 思考：若将”[0,1)”改为”(0,1)”,情况会怎样? 思考：若将函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数改成偶函数？你会求解吗？ 不等式没法解，因为f(x)不一定还是增函数。 除非加上另加条件，如图象连续不断。 f(x)＝f(|x|). f（x）<f(x- )⇔ f（|x|）<f(|x- )⇔ 探索新知 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系. (2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题. 提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中f(x)=f(|x|)的灵活运用. 探索新知 探索新知 B 探索新知 探索新知 跟踪练习. 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为 (　　) A f(1)>f(-10) B f(1)<f(-10) C f(1)=f(-10) D f(1),f(-10)的大小关系不定 D 【解析】 依题意,奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,但无法确定f(x)在R上的单调性,所以f(1)和f(-10)的大小关系不定.故选D. 探索新知 A 探索新知 结论：若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在 [-b，-a]上有最小值为 . 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为 . -M N 探索新知 跟踪练习.已知函数f(x)是奇函数，且在区间[3,7]上为单调递增，若f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，最大值是6，求函数f(x)在区间[-7,-3]最大值。 解: 由题意知 函数f(x)在区间[-7,-3]上单调递增 ∵f(x)是奇函数 ∴f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为 ∴f(-3)=-f(3) 由题意知f(3)=5 ∴f(-3)=-5 即函数f(x)在区间[-7,-3]最大值为-5 f(-3) 课堂小结 根据本节知识，请你主动回答以下问题： 1.怎样判断函数奇偶性： 2.怎样利用函数奇偶性求解析式： 3.怎样利用奇偶性解不等式： 4.怎样利用奇偶性求最值： 课堂检测 解析　定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称. √ 课堂检测 D 课堂检测 D 课堂检测 课堂检测 解： 5.已知奇函数f(x)在[0,+∞)单调递减, 解不等式 ： ∵f(x)是奇函数 ∵f(x)在[0,+∞)单调递减 ∵f(x)在（-∞,+∞)单调递减 ∴f(x)在为减函数 课后作业 课本第85页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： (2)f(x)＝x＋eq \f(1,x)； 【解析】　(2)对于函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，其定义域为{x|x≠0}，∀x∈{x|x≠0}都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数. (2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 跟踪训练.(1)若函数f(x)＝eq \f(x＋a＋1,x2＋6)为奇函数，则实数a＝________. 【解析】　方法一：∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即eq \f(－x＋a＋1,(－x)2＋6)＝eq \f(－x－a－1,x2＋6)，得a＝－1. 方法二：由f(－1)＝－f(1)，得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意. (2)若函数f(x)＝eq \f(x,(2x＋1)(x－a))为奇函数，则a＝________. eq \f(1,2) f(x)＝ 变式1、函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________. 解析 设x>0，则－x<0， 所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1). 因为函数f(x)为R上的偶函数， 故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)， 即x>0时，f(x)＝x(x＋1). 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下： (1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上； (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x) 变式2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)， ∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，② (1 ＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)； (①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1) 跟踪练习.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x， 求函数f(x)，g(x)的解析式. 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (1 ＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 跟踪练习.定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数， 若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围. 解：∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数， ∴g(1－m)≤g(m)⇔g(|1－m|)<g(|m|) ⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|)) ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,（1－m）2>m2)) ⇒－1≤m<eq \f(1,2). 即m的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|－1≤m<\f(1,2))). 探究：若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A．f(－ eq \f(3,2) )<f(－1)<f(2) B．f(2)<f(－ eq \f(3,2) )<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(－ eq \f(3,2) ) D．f(－1)<f(－ eq \f(3,2) )<f(2) [解析]　∵对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－ eq \f(3,2) <－1，∴f(2)＝f(－2)<f(－ eq \f(3,2) )<f(－1)，故选B. 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量 转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 探究：如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 [解析]　f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值， 又已知f(－1)＝5， ∴f(－1)＝－f(1)＝5， ∴f(1)＝－5，故选A. 解决此类求最值问题应充分利用： 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且 图象关于原点对称； 偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且 图象关于y轴对称． 1.函数f(x)＝x2＋eq \r(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数， 若 f(－4)＜f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(－1)＜f(3) B．f(2)＜f(3) C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1) D　[由题意可得，函数f(x)在[－5，0]上也是单调函数，再根据f(－4)＜ f(－2)，可得函数f(x)在[－5，0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0，5]上是单调减函数，故f(0)＞f(1).] 3. 是定义在R上的奇函数，则 ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析：设 ，则 ，即 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .因为 ，所以 ， . 4．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,g（x），x<0)) 为奇函数，则g(x)＝________． [解析]　设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1， 所以f(x)＝g(x)＝－f(－x)＝－x2－1. [答案]　－x2－1 $