4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系 知识层面 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图象间的对称关系.2.能够利用反函数与原函数图象、单调性等性质的关系解决相关问题． 素养层面 通过反函数概念及指数函数与对数函数图象间的关系学习，培养直观想象素养；通过求函数的反函数，提升数学运算、逻辑推理素养． 问题　在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，试描述两个函数图象的关系． 提示： 两个函数图象关于直线y＝x对称． 知识点　指数函数与对数函数的关系 1．反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． 2．反函数的性质 一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f-1(x)．则： (1)y＝f(x)的定义域与y＝f-1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f-1(x)的定义域相同． (2)y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线y＝x对称． (3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同． [微提醒]　(1)由性质(2)可知，若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图象上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图象上． (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝(k≠0). 3．求反函数的步骤 当函数y＝f(x)存在反函数时，求反函数的步骤为： 学生用书第30页 [微提醒]　(1)对于函数y＝f(x)，若任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，则f(x)存在反函数．如一次函数y＝kx＋b(k≠0)、反比例函数y＝(k≠0)、指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)，它们都有反函数；如二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于－对称的两个不同的自变量对应同一个函数值，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换，对应法则互逆． 1．函数y＝＋1(x≥1)的反函数是(　　) A．y＝x2－2x＋2(x＜1) B．y＝x2－2x＋2(x≥1) C．y＝x2－2x(x＜1) D．y＝x2－2x(x≥1) 答案：B 解析：由y＝＋1，得x＝(y－1)2＋1，即x＝y2－2y＋2，因为x≥1，所以y＝＋1≥1，所以反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1).故选B. 2．若函数y＝f(x)＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－1 答案：B 解析：方法一　由y＝1＋3－x得x＝－log3(y－1)， 又3－x＞0，所以y＝1＋3－x＞1，所以g(x)＝－log3(x－1)(x＞1)，所以g(10)＝－2. 方法二　设g(10)＝a，则f(a)＝10，即1＋3－a＝10，所以a＝－2，即g(10)＝－2. 3．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则(　　) A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe 答案：C 解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x． 4．(多选)下列区间，在函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f-1(x)的定义域内的是(　　) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 答案：ACD 解析：y＝f-1(x)的定义域即函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域．因为3x＋1＞1，所以log2(3x＋1)＞0，所以y＝f-1(x)的定义域为(0，＋∞).故选ACD. 5．(多选)已知函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝(a>0，a≠1)，以下结论正确的有(　　) A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图象关于直线y＝x对称 答案：ABD 解析：因为y＝－logax＝logx，所以函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝(a>0，a≠1)互为反函数，故A正确；再根据反函数的定义可知B、D正确；又互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称，所以它们的单调性相同，故C不正确．故选ABD. 题型一　判断函数是否有反函数 例1　判断下列函数是否有反函数： (1)f(x)＝；(2)g(x)＝x2－2x. [思路点拨]　由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明． 解：(1)令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数． (2)令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3， 即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在． 判定函数存在反函数的方法 1．逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在． 2．确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在． 3．利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．　　 对点练1.判断下列函数是否存在反函数． (1)y＝－2；(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞). 解：(1)y＝－2是由函数y＝向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数． (2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数． 学生用书第31页 题型二　求函数的反函数 例2　函数y＝－(x≤1)的反函数是(　　) A．y＝x2－1(－1≤x≤0) B．y＝x2－1(0≤x≤1) C．y＝1－x2(x≤0) D．y＝1－x2(0≤x≤1) [思路点拨]　由y＝f(x)解出x即可．解之前要注意原函数的值域． 答案：C 解析：因为x≤1，所以≥0，所以－≤0.又反函数的定义域与原函数的值域相同，所以只有C中的定义域满足条件．故选C. 反函数的求法 1．先确定原函数的值域，即反函数的定义域． 2．对调原函数解析式中的x和y，解出y. 3．写出反函数．　　 对点练2.函数y＝1－(x≥2)的反函数为(　　) A.y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0) C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0) 答案：D 解析：因为y＝1－，所以＝1－y，所以x－1＝(1－y)2，所以x＝(1－y)2＋1.因为x≥2，所以x－1≥1，所以≥1，所以－≤－1，所以1－≤0.所以函数y＝1－(x≥2)的反函数为y＝(x－1)2＋1(x≤0). 题型三　原函数与反函数的图象与性质 例3　若函数f(x)与 g(x)＝的图象关于直线 y＝x对称，则f(4－x2)的单调递增区间是(　　) A．(－2，2] B．[0，＋∞) C．[0，2) D．(－∞，0] 答案：C 解析：由题意，可得函数f(x)与g(x)＝ 互为反函数，故f(x)＝logx，f(4－x2)＝log(4－x2)，令t＝4－x2，由4－x2>0，解得－2<x<2，故f(4－x2)的定义域为(－2，2)，利用二次函数的性质可得，函数t＝4－x2在(－2，2)上的减区间为[0，2)，又y＝logt在定义域内单调递减，由复合函数的单调性可知：f(4－x2)＝log(4－x2)的单调递增区间是[0，2).故选C. 对点练3.函数y＝f的图象与函数g＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝ln x，即f(4＋3x－x2)＝ln (4＋3x－x2)，要使函数有意义，则4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，设t＝4＋3x－x2，则t＝4＋3x－x2在上单调递增，在上单调递减，因为函数y＝ln t，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性可知此所求单调递减区间是.故选D. 1．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(　　) A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 答案：C 解析：原函数与它的反函数的图象关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图象过点(1，5)，而点(1，5)关于y＝x的对称点为(5，1)，所以函数y＝f(x)的图象必过点(5，1).故选C. 2．函数y＝log3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　) A．(0，＋∞) B．R C．(－∞，0) D．(0，1) 答案：A 解析：由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．故选A. 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　) A．log2x B．logx C． D．x2 答案：B 解析：因为y＝ax的反函数为y＝logax.又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝logx.故选B. 4．下列函数中，反函数是其自身的函数为(　　) A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞) B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞) C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞) D．f(x)＝，x∈(0，＋∞) 答案：D 解析：f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f-1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f-1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f-1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f-1(x)＝，x∈(0，＋∞).故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $