专题14 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：无图条件下点或射线的位置不确定，或涉及动点、旋转导致多解。 解题方法：核心是分类讨论，按位置关系逐一画图求解：辅以方程思想，设未知数表示线段或角度列 式。~易错提醒：分类标准须统一、不重不漏，避免漏解，计算中注意线段中点与角平分线的对应，防止 混淆。 ◆◆ 》● 刁题型归纳一精讲夹型题法，寿尖解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 典例1(25-26七年级上河南开封期末)若A、B、C三点在同一直线上，线段AB=12,BC=4,点E, F分别是线段ABBC的中点，则线段EF= 题型模版 1特征：点的位置或线段关系不确定，需按不同情形分别计算。 2.方法：先确定分类标准，逐类画图计算，最后综合各情形结果。 变式1-1(25-26七年级上山西长治期末)在一条直线上有A,B,C三点，线段AB=3Cm,点C在点B 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的右侧，线段BC=2cm,点D是线段AC的中点，则线段AD的长为 变式1-2(25-26六年级上·上海期末)已知线段AB=16,在直线AB上作线段BC,使得BC=6,若点D 是线段AC的中点，则线段AD的长为一 A D C B 图1 ,AB=16,BC=6, .AC=AB-BC=10, A D B C 图2 ,AB=16,BC=6, .AC=AB+BC=22. 变式1-3(2425七年级上山东聊城期末)同一条直线上有三点A,B,C且线段BC=3AB,点D是BC 的中点，CD=3厘米，则线段AD的长为， 厘米. 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 典例2(25-26七年级上江西上饶期末)如图，己知∠AOB=80°，OC平分∠AOB,画一条射线OD,若 ∠COD=26°，则∠BOD的度数为 A B 题型模版 1.特征：角的终边位置或射线位置不确定，需分情形讨论。 2方法：按位置关系分类，逐类画图计算，最后综合各结果。 变式2-1(25-26七年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，射线BD平分∠ABC,射线BE是∠ABC一条三等分 线，己知∠ABC=120°，则∠ABE+∠DBE的度数为一 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 变式2-2(25-26七年级上：宁夏固原·期末)已知∠A0B=50°，作射线0C,使∠A0C等于40,0D是 ∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是 变式23(25-26六年级下山东威海期末)己知在同一平面内，∠A0B=60°，∠B0C=20°，0M是 ∠AOC的平分线，则∠AOM的度数为 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 典例3(25-26七年级上·江苏无锡·期末)如图，长度为2的线段CD在线段AB上滑动，AB=12,线段 CD在滑动的过程中，取线段AC的中点M,线段BD的中点N. C D B (1)当AC=5时，试说明线段CD的中点也是线段AB的中点. (2)在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若不变，求出MW的长度；若变化，说明理由. 题型模版 1特征：线段和差含可变位置，整体关系不变，可由特殊情形归纳。 2.方法：先取特殊点探求规律，再用整体代换或字母表示一般情形。 变式3-1(25-26七年级上福建厦门期末)如图，已知点A,B,C是数轴上三点，O为原点，点C对应的 数为6，BC=4,AB=12 C BO A BO A 备用图 (I)请直接写出：点A对应的数为_，点B对应的数为： (2)动点P、Q同时从点O、C出发，分别以每秒4个单位和2个单位的速度沿数轴负方向运动.M为AP的 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (t>0) 中点，设运动时间为 是否存在t使得 BM=2C吧？若存在，请求出1的值，若不存在，请说明理 由 变式3-2(25-26七年级上·天津滨海新区·期末)【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的 中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x,y,点C是线段AB的中点，那么点C表示的数为 x+y 2· 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d,又知a<b<0,且 a=16,bl=12 c、d分别为6和8. (1)求a、b的值： (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时， 线段AB的中点与线段CD的中点距离为3个单位长度： (3)在(2)的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段AB上. 变式3-3(25-26七年级上江苏南京·期末)如图1，数轴上点A、B对应的数分别是a、b,且a、b满足 (a+12+b-20=0,现有一长度为2的玩具火车MW从原点出发（点M与点0重合），以每秒4个单位 长度的速度向右运动，设运动时间为s。 P B B 图1 图2 (1)直接写出a=」 b= (2)在整个运动过程中，求AN-BM的值（用含t的式子表示）： (3)如图2，在A、B处各放置一块挡板P、,当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度返回，当点 M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回.当0<1≤12时，若 AN-BM =ON 求的值， 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 典例4(2425六年级下山东淄博期中)已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 -D (1)如图①，若∠AOC=40°，求∠D0E的度数： (2)将图①中的∠COD绕项点O顺时针旋转至图②的位置，猜想∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出 你的结论，并说明理由： 题型模版 1特征：角有和差关系，部分角未知但整体可求，需发现一般规律。 2方法：把相关角视为整体代换，先从特殊情形探规律再推广。 变式41(25-26七年级上广东惠州期末)综合与实践 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动， 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知O为直线AB上的一点，将直角三角板的直角∠COE置于点O处，如 图1所示，若OF平分∠AOE 【解决问题】你来试试吧！ E B B 图1 图2 (1)如图1，若∠COF=34°，则∠EOF= ∠BOE= (2)如图1，若∠BOE=m°，求∠AOE,∠COF的度数.（用含m的代数式表示）： 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： (3)当三角板的直角∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，OF平分∠AOE仍成立，提出问题： ∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由， 变式4-2(25-26七年级上·江苏宿迁期末)如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOC∠AOB、∠BOC,若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线OC为∠AOB的 “优线”. P B B 图① 图② (1)∠AOB的角平分线 这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有 条 “优线”. (2)若∠AOB=60°，射线OC为∠AOB的“优线”，则∠AOC的度数为 (3)如图②，己知∠AOB=120°，射线OP从OA出发，绕点0以每秒2°的速度顺时针方向旋转，射线O0从 OB出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至OPO吧相遇时停止，设旋转 的时间为 ⊙，问'为何值时，射线OP是∠400的优线： 变式4-3(25-26七年级上广西百色·期末)【阅读理解】如图①，射线OC在∠A0B的内部，图中共有3 个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB 的“巧分线”· (P)A\ B(O) 图① 图② 【解决问题】 ()一个角的平分线_这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） (2)若∠AOB=120°，射线0C是∠A0B的“巧分线”，则∠A0C=-: 【拓展延伸】 (3)如图②，若∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以每秒10°的速度顺时针方向旋转，同时射线O9从 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB出发，以每秒5°的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设 (s) 运动的时间为 当1为何值时，射线OP是∠AO0 的“巧分线”？并说明理由. 同压轴挑战一支克离难压轴，变酸思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级上河北邯郸期末)线段AB=3cm,C是直线AB上的一点，BC=5cm,则AC的长度为 () A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不对 2.(25-26七年级上湖南娄底·期末)如图，点C在线段AB上，图中共有3条线段，分别为AB,AC和BC 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“二倍点”.若线段AB=12, 点C是线段AB的“二倍点”，则线段AC的长为() B A.4或6 B.4或8 C.6或8 D.4或6或8 3.(25-26七年级上江苏镇江期末)已知∠AOB=30°，OD平分∠A0B,∠B0C=80°，则∠D0C的度 数为() A.110° B.50°或110° C.95 D.95°或65 4.(25-26七年级上河北石家庄期末)己知∠A0B=40°，OD平分∠A0B,∠B0C=60°，则∠D0C的 度数为() A.20 B.80° C.40°或80° D.35°或65° 二、填空题 5.(25-26七年级上湖北襄阳期末)点M,N,P在同一条直线上，MN=5,P=3,则MP的长为 6.(25-26七年级上·湖南长沙期末)已知线段AB=6,点C是直线AB上一点，且AC=2BC,则线段 AC的长等于 7.(25-26七年级上山西临汾期末)己知∠A0B=35°，∠B0C=58°，那么∠A0C= 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级上四川达州期末)己知∠A0B=48°，画射线0C,使∠A0C:∠B0C=7:5,OM平分 ∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON= 三、解答题 9,(2627七年级上全国·期末)【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结 构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理。 例如：已知x2+x=1,求x2+x+2026的值.我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=1+2026=2027. a D D B B A 图① 图② 【探索发现】 (1)已知x=2是关于x的方程r+b=5的解，则代数式6a+3b-4的值是 【尝试应用】 (2)如图①，点O是线段AB上一点，C,D分别是线段AO,BO的中点，当AB=16cm时，线段CD的长 为 cm: 【拓展应用】 (3)如图②，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长 为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体.如果 a-2b=8cm,求这个有盖长方体的底面长方形ABCD的面积. 10.(25-26七年级上江西上饶期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结 合.研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点4，点B表示的数分别为，b,则A,B两点之间的距离 AB=a-b ,即当a>b时， AB=a-b;当a<b时，AB=b-a. ②线段AB的中点表示的数为2(a+b)】 如图，数轴上点A,点B,点C表示的数分别为6,2,3，点P,Q,R分别从点A,B,C出发沿数 8/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为 每秒m个单位长度，线段PQ的中点为D,设运动时间为t秒. A O B (I)点P表示的数为_，点Q表示的数为_；中点D表示的数_；（用含的代数式表示） (②)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R,D两点间的距离保持不变，试求m的值和RD的长度： (3)当OP=4OD时，直接写出t的值. 11.(25-26七年级上河南新乡·期末)小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=6,AC=2,求MN的长. N B 图1 M C NB 图2 ()根据题意，小明求得MN=」 (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究， 设AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解 答 ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN= @如图2，MN分别是AC·BC的三等分点，即仙4C,BN=写C,求N的长. 3 ③若M,N分别是AC,BC的na≥2)等分点，即AM-AC,BN=BC,则= n n 12.(25-26七年级上辽宁锦州期末)小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长， A M C (1)根据题意，小明求得MN=一： (2)小明在求解 的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始 深入探究. 9/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答. ①，1MN,AC BC MN= 如图，“，分别是，的中点，则 ②如图2MN分别是AC:BC的=等分点，即4W-4C,Bw=吉C,求的长 3 A M C NB图若M,N分别是4C,BC的n等分点，即 AM=LAC,BN-BC,则MN=一 13.(25-26七年级上：江西吉安期末)如图1，∠AOB=120°，过点O在∠AOB的内部作射线0C,使得 ∠10C-}<B0C,射线OD从射线OB开始以每秒30的速度绕者点0顺时针转动，当∠C0D为T角时0D 3 停止转动，设转动的时间为t秒. B 图1 图2 (I)当射线OD位于射线OC的左侧时，∠COD=_°（用含t的式子表示）； (2)当射线OD平分∠AOC时，求t的值： (3)如图2，射线OE从射线OC开始以每秒1°的速度与射线OD同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止， 当∠C0E=C0D时，求1的值. 14.(25-26七年级上甘肃甘南期末) 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B 图(1) 图(2) 图(3) (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题.先按照图(1)的方式摆放，画出 ∠AOB;再按照图(2)的方式在∠AOB内摆放一副三角尺，画出射线OC,则∠AOB= ∠AOC= °，射线OC是∠AOB的 (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由30°和45°角分别重复画m次和n次合并而成(、n是整数)，设 这个角的度数为a°，则α=30m+45n,可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角.请在智慧小组讨 论的基础上回答：这些角的度数是否为15°的整数倍？并说明理由 (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图(3)，已知同一平面内∠A0B=90°，∠A0C=60°，OD平分∠B0C, OE平分∠AOC,求∠DOE的度数： (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在(3)的条件下，如果将题目中的∠AOC=60°，改成 ∠A0C=2a(a<45) 其他条件不变，他们有了“∠DOE的度数为定值”的重大发现，这个定值为 15.(25-26七年级上山西朔州期末)综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题.下面我们继 续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点C,D在线段AB上，M,N分别是AC,BD的中点. 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMCD。 B B 图① 图② (I)特例感知：如图①，点C在点D的左侧，如果AB=9,AC=3,那么 ①线段BC的长为. ②若CD=1,求线段MN的长； (2)规律探索：如果AB=a,CD=b,则线段MN的长为. (用含a,b的代数式表示，结果最 简) (3)迁移应用：己知∠A0B=5712,射线OC在∠A0B内部. ①如图②，如果∠A0C=3336,那么∠B0C为. ②如果射线OD也在∠40B内部，∠COD=12r,射线OE在∠AOC内部，且∠B0C=写A0C,射线Or 在∠BOD内部.且∠F0D=写B0D,请你直接写出∠BOF的度数. 16.(24-25七年级上·山西吕梁期末)问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题， 同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力. (1)【特例感知】 如图1，已知线段CD在线段AB上运动，线段AB=10cm,CD=2cm,点E、F分别是AC、BD的中点. 解答下列问题： ①在如图l中，若AC=3cm,则EF的长=cm;(直接写出结果) ②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变.小聪理由如下 .E,F AC BD 分别是、 的中点， ∴EC=AC,DF=DB, ∴.EF=EC+CD+DF =1AC+CD+DB 2 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4c+D8+D -0-D+c0 -4B+c0) AB=10cm,CD=2cm不变， .EF的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和 ∠BOD,则∠EOF与∠AOB、∠COD有一定的数量关系，说明理由. (3)【知识迁移】 如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，将OE和OF分别平分∠AOC和LBOD改为分别作出射线OE,OF 若∠AOE=nZEOC,∠BOF=n∠DOF,直接写出∠EOF与∠AOB、∠COD的数量关系. D B 图1 图2 图3 13/13 专题14 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：无图条件下点或射线的位置不确定，或涉及动点、旋转导致多解。 - 解题方法：核心是分类讨论，按位置关系逐一画图求解；辅以方程思想，设未知数表示线段或角度列式。- 易错提醒：分类标准须统一、不重不漏，避免漏解；计算中注意线段中点与角平分线的对应，防止混淆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 典例1 （25-26七年级上·河南开封·期末）若A、B、C三点在同一直线上，线段，点E，F分别是线段的中点，则线段 ___________． 【答案】8或4 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，根据线段中点的定义可得的长，再分两种情况：当点C在上时，则；当点C在的延长线上时，则；据此求解即可． 【详解】解：∵线段，点E，F分别是线段的中点， ∴； ∵A、B、C三点在同一直线上， ∴当点C在上时，则； 当点C在的延长线上时，则； 综上所述，线段的长为8或4， 故答案为：8或4． 题型模版 1.特征：点的位置或线段关系不确定，需按不同情形分别计算。 2.方法：先确定分类标准，逐类画图计算，最后综合各情形结果。 变式1-1（25-26七年级上·山西长治·期末）在一条直线上有A，B，C三点，线段，点C在点B的右侧，线段，点D是线段的中点，则线段的长为______________． 【答案】或 【分析】本题考查线段的中点及线段的和差运算，掌握相关知识是解题的关键．由点C在点B的右侧，但点A的位置不确定，需分类讨论点A在点B的左侧或右侧，分别计算的长度，再根据中点定义求的长即可． 【详解】解：当点A在点B的左侧时， ，， ， ； 当点A在点B的右侧时， ，， ， ； 故答案为：或． 变式1-2（25-26六年级上·上海·期末）已知线段，在直线上作线段，使得，若点D是线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并分情况进行计算是解决本题的关键．根据题意可分为两种情况，①点C在线段上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案；②在线段的延长线上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案． 【详解】解：根据题意分两种情况， ①如图1， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴． ∴线段的长为5或11． 故答案为：5或11． 变式1-3（24-25七年级上·山东聊城·期末）同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【答案】或 【分析】需要根据三点在同条一直线的位置关系分类讨论求解，先根据中点性质求出的长度，再结合已知条件求出和的长度，最后分情况计算的长度． 【详解】解：点是的中点，厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 当点位于点的左侧，三点顺序为时， 厘米； 当点位于点和点之间，三点顺序为时， 厘米； 综上所述，线段的长为或． 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 典例2 （25-26七年级上·江西上饶·期末）如图，已知，平分，画一条射线，若，则的度数为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，再分两种情况：射线在内部和射线在内部，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当射线在内部时，则， 当射线在内部时，则， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 题型模版 1.特征：角的终边位置或射线位置不确定，需分情形讨论。 2.方法：按位置关系分类，逐类画图计算，最后综合各结果。 变式2-1（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，射线平分，射线是一条三等分线，已知，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想是解题关键．由角平分线的定义可知，，再根据三等分线的位置分两种情况求解即可． 【详解】解：射线平分，， ， ①如图1，当射线是靠近的一条三等分线时， 则，， ∴； ②如图2，当射线是靠近的一条三等分线时， 则，， ， ， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 变式2-2（25-26七年级上·宁夏固原·期末）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算 ；由于射线的位置不确定，需分两种情况讨论：当在内部时和当在外部时，分别计算的度数，再根据角平分线定义求出结果即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当在内部时， ， ∵是的平分线， ∴． ②当在外部时， ， ∵是的平分线， ∴ 故答案为：或． 变式2-3（25-26六年级下·山东威海·期末）已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 典例3 （25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，长度为的线段在线段上滑动，，线段在滑动的过程中，取线段的中点，线段的中点． (1)当时，试说明线段的中点也是线段的中点． (2)在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∴ ∴线段的中点也是线段的中点； (2)的长度不变， 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算． （1）根据，即可求解； （2）根据线段中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵是的中点，是的中点， ∴ ∵， ∴ 题型模版 1.特征：线段和差含可变位置，整体关系不变，可由特殊情形归纳。 2.方法：先取特殊点探求规律，再用整体代换或字母表示一般情形。 变式3-1（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为，． (1)请直接写出：点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (2)动点P、Q同时从点O、C出发，分别以每秒4个单位和2个单位的速度沿数轴负方向运动．M为的中点，设运动时间为，是否存在t使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10； (2)存在这样的t，t的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、线段长度、中点坐标、绝对值的意义等知识点，熟练掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． （1）根据点C表示的数和，可确定点B表示的数；再根据可确定点A表示的数； （2）先根据题意确定M对应的数为，易得、，再分、两种情况，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C对应的数为，， ∴点B对应的数为， ∵， ∴点A对应的数是． 故答案为：10；． （2）解：t秒后P对应的数为：，t秒后Q对应的数为：， ∵点A对应的数为10，M是中点， ∴M对应的数为：， ∴， ∵是Q运动的路程，速度2单位/秒，运动t秒， ∴， 当，即时，，解得：； 当，即时，，解得：． 综上，存在这样的t，t的值为或． 变式3-2（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x，y，点C是线段的中点，那么点C表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d，又知，且，c、d分别为6和8． (1)求a、b的值； (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段上． 【答案】(1)， (2)当t为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度 (3)当时，C、D两点都在线段AB上 【分析】（1）由得，结合即可解答； （2）求出线段表示的数，表示出运动中线段的中点的代数式，根据两点间的距离公式列方程解答即可； （3）表示出、两点同时向左运动时的代数式，根据、都在线段上，即、都在、两点之间，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， ，； （2）解：，；、分别为和， 线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， 当、同时向左匀速运动秒时，其中点也同时向左匀速运动秒， 其中点此时表示的数为． 两个中点距离为3个单位长度， ， ， 即， 解得或， 当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； （3）解：当、两点同时向左运动时，表示的数分别为和， ∵、都在线段上，即、都在、两点之间， ∴当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的开始时刻， 此时， 当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的最后时刻， 此时， ∴当时，、两点都在线段上． 变式3-3（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，数轴上点、对应的数分别是、，且、满足，现有一长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为． (1)直接写出______，______； (2)在整个运动过程中，求的值（用含的式子表示）； (3)如图2，在、处各放置一块挡板、，当点碰到挡板时，玩具火车以原来的速度返回，当点碰到挡板时，也立即以原来的速度返回．当时，若，求的值． 【答案】(1)， (2)当点M在点B左边时，；当点M在点B右边时， (3)的值为或2或7或． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可； （3）首先求出当点N和点B重合时，，当点N和点O重合时，，当点M和点A重合时， ，然后分情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）当点M在点B左边时，； 当点M在点B右边时，； （3）当时，根据题意得，，， ∴， ∵长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动， ∴当点N和点B重合时，， ∴此时； 当点N和点O重合时，， 当点M和点A重合时， ， ∵， ∴当时，， 解得或； 当时，， 整理得，， 解得或； 当时，， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，的值为或2或7或． 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 典例4 （24-25六年级下·山东淄博·期中）已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 【答案】(1) (2) 解：．理由如下： 平分， ∴． ， ∴， ． ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、几何图形中的角的运算，理解角平分线的定义是解答的关键． （1）先根据平角定义求得，再根据角平分线的定义求得，进而求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到，进而可得，进而可推出，结合可得结论． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵是直角， ∴， ； （2）略 题型模版 1.特征：角有和差关系，部分角未知但整体可求，需发现一般规律。 2.方法：把相关角视为整体代换，先从特殊情形探规律再推广。 变式4-1（25-26七年级上·广东惠州·期末）综合与实践 【问题情境】： 某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】： 海阔太空小组进行了如下探究：已知为直线上的一点，将直角三角板的直角置于点处，如图1所示，若平分． 【解决问题】你来试试吧！ （1）如图1，若，则___________，___________； （2）如图1，若，求，的度数．（用含的代数式表示）； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （3）当三角板的直角绕点逆时针旋转到如图2的位置时，平分仍成立，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）； （3）与的数量关系是． 理由：是直角， ， 又平分， ， ． 【分析】此题考查了角平分线，平角的定义，角的和差计算，正确使用角平分线的计算是解题的关键． （1）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用平角求解即可； （2）首先由平角求出，然后由角平分线求出，进而求出； （3）首先得到，然后由角平分线求出，然后利用平角求解即可． 【详解】解（1），， ， 又平分， ， ； （2）， ， 又平分， ， 是直角， ； （3）略 变式4-2（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【答案】(1)是，3 (2)，， (3)24秒或30秒或秒 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【详解】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 变式4-3（25-26七年级上·广西百色·期末）【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，解题的关键是对点的位置进行分类讨论，避免漏解． 分两种情况讨论，当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，分别代入数值计算即可． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，， ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述,的长度为或． 故选：． 2.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在线段上，图中共有3条线段，分别为和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点为线段的“二倍点”．若线段，点是线段的“二倍点”，则线段的长为（   ） A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．4或6或8 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算及新定义“二倍点”的应用，关键是根据“二倍点”的定义分三种情况讨论：①；②；③，分别计算的长度． 【详解】解：已知，点是线段的“二倍点”，分三种情况分析： 当时， ， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ，此时，满足，符合“二倍点”的定义； 综上，线段的长为4或6或8， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知平分，，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和角的和差等知识，分情况讨论是关键． 分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形计算的度数即可． 【详解】解：∵，平分 ∴． 情况1：当在外部时，如图， ∵ ∴． 情况2：当在内部时 ∵ ∴． 综上，的度数为或， 故选：D． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知，平分，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，然后根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系．分情况讨论点在点左侧和右侧两种情况讨论，利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，， 综上，的长为或， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知线段，点C是直线上一点，且，则线段的长等于______ 【答案】4或12 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在直线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即， 解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即， 解得：， 所以， 综上所述，的长为4或12， 故答案为：4或12． 7．（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知，，那么____________． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．分的边在的内部和外部两种情况作出图形并讨论求解即可． 【详解】如图1，的边在的内部时， ； 如图2，的边在的外部时， ， 综上所述，等于或． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，画射线，使，平分，平分，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内和射线在外两种情况求解即可． 【详解】解：当射线在内时， ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ． ∴． 当射线在外时， 则：， ． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：或 三、解答题 9．（26-27七年级上·全国·期末）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【探索发现】 (1)已知是关于的方程的解，则代数式的值是________； 【尝试应用】 (2)如图①，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，线段的长为________； 【拓展应用】 (3)如图②，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积． 【答案】(1)11 (2)8 (3) 【分析】（1）由方程的解得出，然后整体代入化简后的式子计算即可． （2）由线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出，然后代入计算即可． （3）由底面长方形的长，宽，根据长方形的面积公式结合代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． （2）解：∵，分别是线段，的中点， ，， ． （3）解：底面长方形的长，宽， ∴底面长方形的面积为：． 10．（25-26七年级上·江西上饶·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，即当时，；当时，． 线段的中点表示的数为． 如图，数轴上点，点，点表示的数分别为，，，点，，分别从点，，出发沿数轴的正方向移动，其中点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，线段的中点为，设运动时间为秒． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ；中点表示的数 ；（用含的代数式表示） (2)若在运动过程中，点始终在点的右边，且，两点间的距离保持不变，试求的值和的长度； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)，； (3)． 【分析】本题考查了数轴两点间的距离和一元一次方程的应用． （1）根据运动过程即可求解； （2）先根据题意求出点R表示的数，再求出，再根据R，D两点间的距离保持不变进行求解即可； （3）先求出和，再根据进行分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由运动过程可得， 点表示的数为，点表示的数为，中点表示的数为， 故答案为：，，． （2）解：由题意得，点表示的数：； ∴． ∵，两点间的距离保持不变， ∴， 解得， ∴． （3）解：由题意得，，， ∵， ∴， 由可得， 由可得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得，舍去． 综上所述，t的值为或． 11．（25-26七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图1，，过点O在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点O顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为t秒． (1)当射线位于射线的左侧时，______（用含t的式子表示）； (2)当射线平分时，求t的值； (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点O顺时针转动，同时停止，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)35 (3)当时，或90 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）先求出求出度数，再根据，列出方程，即可； （2）根据角平分线的定义可得，列出方程，即可； （3）分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵∠AOB = 120° ，∠AOC = ∠BOC， ∴， ∴， ∵射线从射线开始以每秒的速度绕着点O顺时针转动， ∴， ∴当射线位于射线的左侧时，， （2）解：∵射线平分， ， ， 解得； （3）解：由题意得， ①当未转动到时，， ∵， ∴， 解得； ②当与重合时，则， ∴，不符合题意，应舍去； ③当越过时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述， 当时，或90． 14．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 15．（25-26七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 16．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，． (2) 小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．理由： 分别是、的中点， ，， ， ，不变， 的长不变； (3) 【分析】此题考查了线段中点的相关计算、角平分线的相关计算、几何图形中相关角度的计算等知识． （1）①根据线段中点的定义得到，，得到，即可求出答案；②按照①的步骤即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据，，得到，则，即可得到结论； 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，， ∴ ， 故答案为；； ②略 （2）解：， 理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $