第6章 几何图形初步专题练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第6章几何图形初步专题练习 正方体的展开与折叠 一、找正方体的相对面 方法指导 快速确定正方体的展开图中相对面的方法： 1.找间隔：如果正方体的展开图中有3个或4个小正方形连成“一”字形， 那么间隔一个小正方形的两个小正方形所在的面是正方体的相对面如图1，A 与C,B与D所在的面为相对面：如图2，A与B所在的面为相对面 ABCD B B B 图1 图2 图3 图4 图5 2.找“Z”字形：在正方体的展开图中的形如“Z字形的几个面中，位于 “Z”字两端的面是相对面.如图3,4,5中，A与B所在的面为相对面 1/24 1.如图，这是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建” 字一面的相对面上的字是（) A.人B.才C强 D.国 建 设人才 强 国 2.我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强将 “科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图所示的是它的 一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是 () A.自B.立C.科D.技 科技 自立 自强 3将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示的 是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是 2/24 () A.校 B.安 C.平 D.园 共 建平 安 校园 4.已知一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图所示，则下列判 断正确的是 A.A代表主B.B代表 C.C代表总 DB代表主 ↓ AB· 888c 二、判断正方体的展开图 方法指导 正方体的展开图的4个代表图形： 1-4-1型 1-3-2型2-2-2型 3-3型 3/24 以上四种类型可以编成如下口诀来辅助记忆：中间四个面，上下各一面； 中间三个面，二二隔河现；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一 线 5.下列图形中，不是正方体表面展开图的个数是（) 田出 A.1B.2 C.3D.4 6如图，这是4×3的正方形网格，选择其中一个空白小正方形，则能与阴 影部分组成正方体展开图的选法有 A.1种 B.2种C.3种 D.4种 7.如图所示的正方体的展开图是() 4/24 线段的计算—双中，点问题 一、双中，点（一） 【例1】如图，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中，点 A M C N B (I)若AC=9cm,CB=6cm,则线段MN的长为 cm. (2)若AC=a,CB=b,则线段MN的长为 (③)若C为线段AB上的任意一点，且AB=n,其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论 【拓展提问】若将题千中的“点C在线段AB上”改为“，点C在线段AB的延 5/24 长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并 说明理由. 方法指导： 条件：如图，点C在线段AB所在的直线上，M,N分别是AC,BC的中点. 钻论：MN=}AB, A M C N B 图1 M B N C 图2 N B 图3 针对训练： 1.如图，线段AB的长为6，C是AB的中点，D是BC的中点，E是AD的中点， 求线段AE的长 E C D B 2.(1)如图，已知，点C在线段AB上，且AB=20cm,BC=8cm,M,N分别 6/24 是AB,BC的中点，求线段MN的长 MC N B 解：，AB=20cm,M是 的中点，.BM=--------AB=10cm. :BC=8cm,N是BC的中点， .'BN= ----BC=4cm. ∴.MN=BM- -_=6cm. (②)若C是线段AB上任意一点，且AB=acm,BC=bcm,M,N分别是 AB,BC的中点，求线段MN的长（用含a,b的代数式表示） 二、双中点（二） 【例2】如图，C,D为线段AB上的两，点，M,N分别是线段AC,BD的 中点。 (I)如果CD=5cm,MN=8cm,求AB的长 (2)如果AB=a,MN=b,求CD的长. M D N B 方法指导： 7124 已知线段CD在线段AB所在的直线上，E,F分别为AC,DB的中点. ①如图1,2,3，当，点C在点D左侧时，EF=AB+CD1, D F B 图1 A E C BFD 图2 A E B CF D 图3 ②如图4,5,6，当点C在，点D右侧时，EF=AB-CD. A E D C F B 图4 它b方BC 图5 E B F DC 图 针对训练： 3.如图，C,B都是线段AD上的点，E是线段AB的中点 BbC龙方BD 图1 图2 (1)已知AD=30cm,BD=6cm. ①如图1，求线段AE的长. ②如国2.若AC-号AD,F是线货CD的中点，求线线EF的长 ②)如图2，若AC=AD=a,BD=b,F是线段CD的中点，用含a,b的代 3 8/24 数式表示线段EF的长. 双角平分线模型 【例】如图，∠AOC=130°，∠BOC=50°，且OD平分∠AOB,OE平分 ∠BOC (1)求∠DOE的度数. (2)若将条件“∠BOC=50°”删去，其余条件不变，则∠DOE的度数是否 会改变？请说明理由 【拓展设问】若OB在∠AOC的外部，其他条件不变，则∠DOE= 模型归纳： 条件：如图，射线OC在∠AOB内部，OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC. 9/24 M B 结论：∠MON=号∠AOB 【变式1】如图，已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. (1)若∠AOB=70°，∠BOC=30°，则∠EOF= (2)若∠AOB=Q,∠BOC=B,求∠EOF的度数. (3)通过(1)(2)的计算，能发现什么？ 模型归纳： 条件：如图，射线OC在∠AOB外部，OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC. 10/24 结论：∠MON=号∠AOB 【变式2】如图，∠AOB=80°，∠AOC<180°，OE平分∠AOD,OF平分 ∠B0C.若∠C0D=50?求∠EOF的度数. 线段和角度运算中的数学思想方法 一、方程思想 1.如图，P是线段MN上一点，MP:PN=3:2,Q是线段PN的中点.若 MN=15?求MQ的长 11/24 M P O N 2.如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线， ∠AOB:∠BOC=3:2若∠BOE=13,求∠D0E的度数， 二、数形结合思想 3.已知线段AB=2cm,延长AB到点C,使BC=2AB,D为AB的中点，求 DC的长. 4.已知OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线.若∠DOE=30°，求 ∠AOB的度数 12/24 三、分类讨论思想 5.已知线段AB=12,在直线AB上取一点P,恰好使AP=2PB,Q为PB的中 点，求线段AQ的长. 6.如图，C为线段AB上的一点，D为BC的中点，点C把线段AD分成两部分， 其中AC:CD=4:1,且AB=12. (1)求AC的长. (②)若，点E在线段AB所在的直线上，且AE=3,求DE的长 A C D B 7.已知∠AOB,过点O引两条射线OC,OM,且OM平分∠AOC. (1)如图，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，且点C在∠AOB的内部，求 ∠MOB的度数. 13/24 以下是求∠MOB的度数的解题过程，请补充完整： 解：：∠AOC=∠AOB-∠BOC, ∠AOB=120°，∠B0C=30°， .∠AOC=90° OM平分∠AOC, :∠MoC-1 2 .:∠MOB=∠MOC+ .∠M0B=------口. (2)若∠AOB=a,∠BOC=(其中a<B<90),画出图形，并求∠BOM的 度数（用含a,B的代数式表示） 四、整体思想 8.如图，C,D是线段AB上的两点，AB=a,CD=b,M,N,P分别为 AC,CD,DB的中点， (I)求AM+CN+DP的长. A M C N D P B 14/24 (2)求AM+PB的长. (3)求PM的长. 9.如图，∠AOC=100°，∠BOD=40°，射线OM在∠AOB内部，射线ON在 ∠COD内部，∠AOB=4∠AOM,∠COD=4∠CON,求∠MON的度数. 五、从特殊到一般思想 10.已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE是∠BOD的平分线. D 图1 图2 (1)如图1，当点C,D,E在直线AB的同侧时. ①若∠COE=35°，求∠AOD的度数. ②若∠COE=Q,则∠AOD=.(用含a的式子表示) 15/24 (②)如图2，当，点C与，点D,E在直线AB的两侧时，(1)中②的结论是否仍然 成立？请给出结论并说明理由. 答案 正方体的展开与折叠 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 线段的计算—双中点问题 【例1】解：(1) 2/0*b 2 3箭想：MN=AB=方n结论：若C为线段AB上的任意一点，且M,N分 16/24 别是AC,BC的中，点，则MN=AB. 【拓晨提问】MN=成立理由如下：如图，当点C在线段AB的延长线上 时， A M B N C :M,N分别是AC,BC的中点，MC=号AC,NC)BC.又 MN=MC-NG,MN-AG-BGI-AB-n. 1解：：C是AB的中点，AG=BG=AB=3.又：D是BC的中点， BD=CD号BC=1.5AD=AB-BD=6-15=45.E关AD的中点， AE=号AD=2.25. 2解：山AB时 1BN (2)?AB=0Gm,M是AB的中点，BM=AB=0Om:PC=b,N是 BC的中，点BN-号c-bm..MN=BM-N-ab-2cm 【例2】解：(1)：M,N分别是线段AC,BD的中点， MC-AC,DN-BD.MC+GD+DN-MN-8cm,MG+DN=8-5-3lcml.AC+BD- 11(cm). (②)·M,N分别是线段AC,BD的中点， 17/24 GM-AM-AC,BN-DN-BD.'.AM+BN-CM+DN-AB-MN-a-b..CD-MN-ICM+ 3.解：(1)①：AD=30Cm,BD=6cm,∴.AB=AD-BD=24cm,E是 AB的中点，AE=AB=12cm 2 ② :AC=号AD,AD=30cm,∴AC=10cmCD=AD-AC=20cm.∴CE=AE-AC=12-10=21cm 是CD的中，点，CF=号cD=10cmEF=CF-CE=10-2=8lcml. 2 2:AC=号AD=a,AD=3a..CD=AD-AC=2a.:F是CD的中点， 3 CF=CD=a.:AD=3a,BD=b,AB=AD-B0=3a-b.:E是AB的中点， AR-1 AR-39-b.CE=AE-AC=2020 2 2 22 双角平分线模型 【例】解：(1) .:∠AOC=130°，∠BOC=50°，∴.∠AOB=∠AOC-∠BOC=130°-50°=80°..OD 平分∠AOB,∴.∠DOB=80°÷2=40°..OE平分 ∠B0C,∴.∠B0E=50°÷2=25°..∴.∠DOE=∠D0B+∠B0E=40°+25°=651 18/24 (2)不会变.理由如下：OD平分∠AOB,OE平分 ∠B0C,÷∠DOB=AOB,∠BOE=∠B0C.∠AOB+∠B0C=∠A0C,÷∠DOE= 【拓展设问】65 【变式1】解：(1)35 (2):OE平分∠A0C,:2E0C=号∠A0C.:0F平分 ∠B0C,∠C0F2∠BOC.∠E0F=∠E0C-∠C0F-∠A0G-3<B0C-∠A0C-4 (⊙)发现∠E0F=∠A0B,与∠BOC的度数无关 【变式2】解：，OE平分∠AOD,OF平分 ∠B0C,∠AOE=∠EOD=5∠AOD,∠BOF=∠COF=3∠B0C.∠E0F=∠EOD+∠B 2 线段和角度运算中的数学思想方法 1.解：MP:PN=3:2,∴.设 MP=3x,PN=2x.,MN=15,.3x+2x=15,解得 x=3..MP=9,PN=6.Q是线段PN的中点， .PQ=QN=6÷2=3,.∴.MQ=MP+PQ=9+3=12. 19/24 2.解：设∠AOB=3x,∠BOC=2x,则 ∠AOC=∠AOB+∠BOC=5X.:OE是∠AOC的平分线， ∠A0E=号A0C=x∠B0E=∠A0B-∠A0E=3xx=13,解得 x=26°.0D是∠B0C的平分线， :∠B0D=5∠B0C=X=26.∠D0E=∠D0B+∠B0E=26+13=39 3解：如图所示： D为AB的中点， BC=2AB,'.DB=AB=1cm,BC=4cm.:'.DC=DB+BC=5cm. 4.解：如图所示.，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线， ∴.∠AOC=2∠COD,∠BOC=2∠COE.∴.∠AOC+∠BOC=2∠COD+∠COE .∠AOB=2∠DOE=2×30°=60° 5.解：①如图1，当，点P在线段AB上时， ..P2 B 图 20/24 :AP=2PB,AB=12,PB=号AB=号×12=4，AP=3AB=2×12=8.:Q 3 3 3 为PB的中点，∴PQ=QB=号PB=}×4=2AQ=AP+PQ=8+2=10: ②如图2，当点P在线段AB的延长线上时， :AP=2PB,AB=12,AB=PB=12.Q为PB的中点， “BQ=号PB=号×12=6.AQ=AB+BQ=12+6=18.综上所述，AQ的长为10或 2 18. 6.解：(1).D为BC的中点，.BC=2CD=2BD,.AC:CD=4:1, .AC=4CD,∴AB=AC+BC=4CD+2CD=12,解得 CD=2,∴.AC=4CD=4×2=8. 2①如图1，当点E在线段AB上时， C D B 图1 DE=AB-AE-DB=12-3-2=7;②如图2，当点E在线段BA的延长线上， E C D B 图2 DE=AB+AE-BD=12+3-2=13综上所述，DE的长为7或13. 7.解：(1)∠A0C45,∠B0C75 (②)分两种情况讨论：①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图1 21/24 所示，：∠AOB=a,∠BOC=B,∴.∠AOC=∠BOC-∠AOB=B=a.:OM 平分 ∠AOC,∠AOM=号∠AOC=B-g∠BOM=∠AOB+∠AOM=&+B-a=a+E 2 22 ②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图2所示.'∠AOB=a, ∠BOC=B,.∠AOC=∠BOC+∠AOB=a+BOM平分∠AOC, &∠A0M=号<A0c-2,∴∠0M=/AOM-∠A0n-ea-Bg纷 2 2 上所述，∠BOM的度数为a+E或B-a 2 图 图2 8.解：(I):M,N,P分别为AC,CD,DB的中点， AM=号AC,CN=CD,DP=DB, AM+CN+DP-IAC+CD+DB)=AB.AB=0,AM+CN+DP- 2M,p分别为AC,DB的中点， AM-AC,PB-7 DB...AM+PB-(AC+DB)(AC+CD+DB-CD)=AB-CD.AB- (3)根据图形可知，PM=AB-AM+PB, 22/24 AB-a,AM+P.PMa- 、11h=a-2a+,b=)a+b 1 a- 2 2 9.解：设 ∠AOM=a,∠CON=B..'∠AOB=4∠AOM,∠COD=4∠CON,∴.∠AOB=4a,∠COD 又 .∠BOD=40°，∴.∠BON=∠COD-∠BOD-∠CON=4B-40°-B=3B-40°.∴.∠MON=∠MOB 又 .∠AOC=100°，.∴.∠MOC=110°-a.∴.∠MON=∠MOC+∠CON=100°-a+B.∴.3a-3β+40°= .∴.∠MON=45°+40°=85°. 10.解：(1) ①.∵∠C0D=90°，∠C0E=35°，∴.∠D0E=∠C0D-∠COE=90°-35°=55°..OE 平分 ∠BOD,∴.∠BOD=2∠D0E=2×55°=110°.∴.∠AOD=180°-∠BOD=180°-110°=70° ②2a (②)成立.理由如下：当点C与，点D,E在直线AB的两侧时， ∠AOD=180°-∠BOD=180°-2∠D0E=180°-290°-∠COE=180°-180°+2∠C0E=2a 23/24 24/24