专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建整式运算综合应用体系，通过五类题型系统培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|实际应用抓等量关系，规律题用含n整式表示，新定义转化常规运算|从概念应用到规律探究再到创新迁移，层层递进| |五类题型|5典例+15变式|每题型设特征分析与解题模版，覆盖实际、规律（单项式/数字/图形）、新定义|题型与方法一一对应，典例精选期中/期末/模考题| |压轴挑战|14题|综合应用通法解决复杂规律与新定义问题|提升思维上限，衔接中考压轴考法|

专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·广西桂林·期末）按要求完成： (1)已知长方形的长为，宽为，请你用字母表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出的长度，再判定阴影部分外的面积为半径为的圆的面积，最后根据即可求解； （2）将，代入（1）中即可求解． 【详解】（1）如图： ， ∵阴影部分外的面积为半径为的圆的面积， ∴， （2）∵，， ∴． 答：阴影部分的面积为． 变式1-2（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 变式1-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)购买件奖品所需的总费用为元 (3)我县关工委共花费元 【分析】（1）根据题意计算出二、三等奖奖品的件数，并补全表格即可； （2）将每种奖品的单价和数量相乘，再求和即可； （3）将代入（2）中的代数式，求出总费用即可． 【详解】（1）解：∵二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件， 又∵共购买件奖品， ∴二等奖奖品购买件，三等奖奖品购买件， 填表如下： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件 （2）解：根据题意，购买件奖品所需总费用为： 元； 答：购买件奖品所需的总费用为元； （3）解：当时，（元）． 答：我县关工委共花费元． 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式是，其系数为，次数为 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是3，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）解：由上可得第个单项式是，其系数为，次数为． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 变式2-2（2026·西藏林芝·二模）有一组按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第个代数式是________． 【答案】 【分析】分别找出代数式的符号，系数绝对值，的次数对应的规律，整理即可得到第个代数式． 【详解】解：； ； ； …… 第个代数式为． 变式2-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 则当时，； （2）解：由（1）可知； （3）解：当时，． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解； （2）根据题干前三个的等式即可求解； （3）根据规律将原式变形为，再由规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 变式3-3（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)50；343 (5)350 【分析】（1）根据幻方特征列出代数式即可； （2）根据幻方特征列出代数式即可； （3）根据幻方特征列出代数式即可； （4）根据幻方特征求出幻和，然后求出数字的个数，计算成本即可； （5）根据幻和求出值，确定该连续的16个自然数，然后求出数字的个数，计算成本即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知，该三阶幻方的中心数为， ∴幻和； （3）解：； （4）解：， 方案一中个位数有9个，两位数有（个）， ∴成本为（元）； （5）解：当时，解得， ∴16个连续自然数为8－23， ∴个位数有2个，两位数有（个）， ∴成本为（元）． 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 变式4-2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是关于6的平衡数， 理由： ， ∴与是关于6的平衡数． 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平衡数的定义进行列式计算，得出7与是关于6的平衡数，与是关于6的平衡数，即可作答． （2）先计算，化简整理后，结合平衡数的定义进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵，则称与是关于6的平衡数， ∴， 则7与是关于6的平衡数， ∴， ∴与是关于6的平衡数； （2）略 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是， 理由如下：多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，），则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数）， 则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）略 变式5-2（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 变式5-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项找出循环规律是解题的关键．根据差倒数的定义依次求出前几项，找出循环规律，再根据循环周期计算的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴该数列以，，依次循环． ∵， ∴． 故选：A． 2．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为偶数，则或 解得或 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故选：A． 3．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算解决图形问题，读懂题意，数形结合，准确表示阴影部分长方形的长与宽是解决问题的关键．设小长方形卡片长为、宽为，数形结合分别表示出图中左上角和右下角长方形周长，再由整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形卡片长为、宽为， 则由题意可得左上角阴影部分周长为； 右下角阴影部分周长为； 综上所述，图②中两块阴影都分的周长和是， 故选：D． 4．观察下面图形找规律． 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 … 按照上面的画法，如果要得到个直角三角形，需要画（   ）个正方形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探索，解题的关键是由图形的变化规律，把图形中的有关数量关系列式表达出来．根据题意可知，1个正方形由0个直角三角形，2个正方形由4个直角三角形，3个正方形由个直角三角形，4个正方形由个直角三角形，……，据此可知，个正方形有个直角三角形，据此即可解答． 【详解】根据题意可知，个正方形有个直角三角形， ， ， ， ， ， 如果要得到个直角三角形，需要画个正方形． 故选B． 二、填空题 5．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴． 故答案为：2 6．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意根据新的定义计算，掌握相应的运算法则和运算顺序． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．如图，将一个等边三角形纸片剪成四个完全相同的小等边三角形后，再将其中的一个小等边三角形按同样的方法剪成四个更小的等边三角形，……，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 等边三角形个数 4 7 10 13 … a 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查探究规律.根据表格中的数据，不难发现：多剪一次，多个三角形．进而可以得到与的关系式，再将代入关系式计算即可得出答案． 【详解】解：（）由题图可知，未开始时，有一个等边三角形，以后每剪一次就多出三个， 所以总的等边三角形的个数为， 令， 所以， 故答案为：． 8．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次及是第507个大括号内的第一个数是解题的关键．根据题意，先求出在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，为， 则，，，， 所以为， 依此类推，为， 为， …， 所以大括号内的数字，每三组循环一次． 因为， 所以是第507个大括号内的第一个数， 又因为， 所以， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 【答案】(1)； (2)阴影部分的周长为，长方形的周长为 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）根据题意列式求出阴影部分的周长与长方形的周长即可． 【详解】（1）解：；； （2）阴影部分的周长． 长方形的周长， 10．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 【答案】(1)，的次数为2，项数为3 (2) 【分析】此题考查了新定义下整式的加减−化简求值及整式的相关概念，熟练掌握运算法则及定义是解本题的关键． （1）根据新定义列式计算，再根据多项式的次数和项数回答即可； （2）根据题意列式，将式子的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ． 的次数为2，项数为3． （2）解：因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以， 所以（1）中原式 ． 11．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为： （3）解： ． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有__________颗黑色棋子； (2)用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； (3)求第230个图中黑色棋子的颗数． 【答案】(1)15 (2) (3)693颗 【分析】本题考查了图形规律问题，涉及了列代数式、代数式求值，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）将代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中有6颗黑色棋子， 图2中有9颗黑色棋子， 图3中有12颗黑色棋子， 图4中有15颗黑色棋子， 故答案为：15； （2）解：依题意，第1个图中黑色棋子的颗数是， 第2个图中黑色棋子的颗数是， 第3个图中黑色棋子的颗数是， ……， 所以第个图中黑色棋子的颗数是； （3）解：当时， ， 图230中黑色棋子的颗数是693颗． 13．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 14．将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，见解析，常数的值为6 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 15．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】任务一、按方案B购买较为划算，计算见解析； 任务二、方案A：元，方案B：元； 任务三、先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 任务一、根据方案A：足球和跳绳都按定价的折付款即可；方案B：买一个足球送一根跳绳先计算出买60个足球所需要的钱数再加上30根跳绳的钱数即可； 任务二、方案A足球和跳绳都打九折列代数式，方案B买60个足球赠60根跳绳，所以用买60个足球的钱数加上买剩余的跳绳的钱数列代数式即可； 任务三、先按方案B购买足球60个送根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，然后计算费用即可． 【详解】解：任务一 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴按方案B购买较为划算； 任务二 方案A：（元）， 方案B：（元）； 任务三 先按B方案购买足球60个送60根跳绳，再按A方案购买30根跳绳最省钱．需付款（元）， 答：先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元． 16．如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (2)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (3)代数式的值为定值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）甲同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （2）乙同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （3）设，则，，，，根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学：设， 则，，，， 则 ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （2）解：乙同学：设， 则，，，， ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （3）解：代数式的值为定值．理由如下： 设，则，，，， 则 ， 代数式的值为定值． 17．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 【答案】(1)需付车费26元 (2) (3)两人车费一样多，理由见解析 【分析】此题考查列代数式，代数式求值，解题关键是结合题意列出代数式，注意分情况讨论． （1）由题意可知行车里程为8公里，行车时间为20分钟，根据表内的计费规则即可求得车费； （2）分情况讨论，当时与当时两种情况，分别写出乙应付的车费； （3）设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟，分别列出小王和小张的车费，进行做差比较即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费26元； （2）解：当时，乙应付费（元）； 当时，乙应付费 （元）； （3）解：设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟， 则甲应付车费， 乙应付车费， 因此，两人车费一样多． 18．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)， (3)①，② 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得的值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·广西桂林·期末）按要求完成： (1)已知长方形的长为，宽为，请你用字母表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 变式1-2（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 变式1-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·陕西延安·期中）观察下列单项式：． (1)按此规律直接写出：第7个单项式是_______________；第8个单项式是_______________． (2)按此规律直接写出第（为正整数）个单项式，并写出它的系数和次数． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 变式2-2（2026·西藏林芝·二模）有一组按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第个代数式是________． 变式2-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 变式3-2（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 变式3-3（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 变式4-2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期末）【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 变式5-2（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 变式5-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 2．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 3．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 4．观察下面图形找规律． 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 … 按照上面的画法，如果要得到个直角三角形，需要画（   ）个正方形． A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 6．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 7．如图，将一个等边三角形纸片剪成四个完全相同的小等边三角形后，再将其中的一个小等边三角形按同样的方法剪成四个更小的等边三角形，……，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 等边三角形个数 4 7 10 13 … a 若，则 ． 8．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 三、解答题 9．如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 10．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 11．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有__________颗黑色棋子； (2)用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； (3)求第230个图中黑色棋子的颗数． 13．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 14．将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 15．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 16．如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 17．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 18．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $