专题09 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题09 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 题型二、利用一元一次方程的解求参数 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 题型四、利用一元一次方程同解求参数 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含参方程题看字母位置：在系数、常数项或指数上。常见五类：定义求参、代入求值、同解、整数解、新定义。 - 解题方法： 通法先化为 ax=b：a≠0 唯一解；a=0 时 b=0 无数解，b≠0 无解。定义题须“次数为1且系数≠0”；整数解题解出含参式再枚举。 - 易错提醒：定义题漏检系数≠0；忘讨论 a=0；整数解漏负约数；同解代入后未回代检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 典例1（25-26七年级上·河南驻马店·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 由，得或， 解得或， 又∵，即， ∴， 故答案为：． 题型模版 1.特征：整式方程，只含一个未知数，未知数次数为1，系数不为0。 2.方法：依据定义列方程，令未知数次数等于1且系数不等于0，求解参数。 变式1-1（25-26九年级上·重庆渝北·期末）若是关于的一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-2（25-26六年级上·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1且系数不为0． 【详解】解：由题意，方程是关于x的一元一次方程， 因此且，   解得或， 当时，，不符合条件，舍去， 故m的值为， 故答案为：． 变式1-3（25-26七年级上·四川达州·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、绝对值方程的解法，熟练掌握一元一次方程未知数次数为1且系数不为0的双重条件是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，列出关于的绝对值方程和系数不为零的不等式，求解后检验系数是否符合条件，确定的值． 【详解】解：由题意，得且． ， 或． 当时，， ． 当时，， ． ， ． ． 故答案为：． 题型二、利用一元一次方程的解求参数 典例2（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，先根据方程的解满足方程求得，再代值求解即可． 【详解】解：把代入关于x的一元一次方程中，得， 所以． 故答案为：2026 题型模版 1.特征：解代入原方程左右两边相等，含参方程由此建立关于参数的等式。 2.方法：将已知解代入含参方程，化简得参数方程，解出参数并验证。 变式2-1（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知方程的解和方程的解相同，则________． 【答案】29 【分析】本题考查的是两个同解方程，关键是由已知方程的解求出另一个未知数的值．由这两个方程的解相同，可以先解出方程的解，再把代入方程，求出． 【详解】解：由得：， 解得， 把代入方程得：， 解得． 故答案为：． 变式2-2（25-26七年级上·福建龙岩·期末）若是关于的方程的解，则的值是______． 【答案】2026 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，将代入方程得到关于a和b的等式，然后变形代入所求表达式计算． 【详解】解：是关于的方程的解， 将代入方程，得，即． ． 则． 故答案为：2026． 变式2-3（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知是关于的方程的解，则式子的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的定义以及代数式的整体代入求值，关键是利用方程的解得到含、的关系式，再通过变形将其整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，化简整理得：， ∴； 故答案为：． 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 典例3（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的方程的解是正整数，则整数的值为_______________． 【答案】1或2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程把x系数化为1，表示出解，根据解为正整数，确定出m的整数值即可． 【详解】解：解方程，得：， 由x为正整数，m为整数，得到或， 故答案为：1或2． 题型模版 1.特征：含参方程解为整数，参数受整除性约束，需分类讨论取值。 2.方法：先解出用参数表示的解，再由整除性列式求参数整数值。 变式3-1（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解等知识点，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 先通过解一元一次方程用a表示出方程的解，然后根据方程的解为整数确定a的可能取值，最后求和即可． 【详解】解： ， ∵该方程的解为整数，是质数， ∴或， ∴a的值为， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为． 变式3-2（24-25七年级上·江西·阶段检测）若关于的一元一次方程的解为正整数，则整数的值为______． 【答案】3或4或6 【分析】本题考查了解一元一次方程．先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定a的值． 【详解】解：， 系数化为1，得：， ∵关于的一元一次方程的解为正整数， ∴或或， 解得或或， 故整数的值为3或4或6． 故答案为：3或4或6． 变式3-3（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数a的和为______． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，将方程化为 的形式，解出， 由于为负整数，且分子为正，因此分母 必须为负整数，且是 3 的负约数，3 的负约数有 和，分别对应 和，求和得 0． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 当 时，， 要求为负整数，故且为整数， 由于，因此，即， 又因为为整数，故是3的约数， 3 的约数为，，但， 所以 或， 当时，，此时； 当时，，此时． 故符合条件的整数为1和，其和为0． 故答案为：0． 题型四、利用一元一次方程同解求参数 典例4（25-26七年级上·全国·期末）已知方程和关于x的方程的解相同，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）——去括号，已知方程的解，求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先解第一个方程求出的值，再将代入第二个方程求解． 【详解】解：方程， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 将代入方程， 得， 即， 解得：， 故答案为：3． 题型模版 1.特征：两方程解相同，解集相等，可互相代入验证。 2.方法：先解已知方程，将解代入含参方程求参数。 变式4-1（24-25七年级上·广东东莞·期末）关于的方程的解与方程的解相同，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．先解方程可得，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：解方程得：， 将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 变式4-2（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，了解同解方程即为解相同的方程是解答本题的关键． 分别解出两个方程的解，再利用两个方程的解相同，可列出关于m的等式，即可求出m的值． 【详解】解：方程的解为：； 方程的解为：． 根据题意两个方程的解相同可知． 解得：． 故答案为：． 变式4-3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么____________． 【答案】10 【分析】本题考查的是同解方程，一元一次方程的解法，掌握“两个方程同解的含义”是解本题的关键， 先解第一个方程得到 x 的值，再根据同解方程的含义代入第二个方程求解 k． 【详解】解：解方程 ，得 ， 因为关于的方程和方程的解相同， 所以 是方程的解， 将 代入方程 ， 得 ，即 ， 所以 ，解得 ． 故答案为 ：10． 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系． (1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可； (2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 题型模版 1.特征：题干给出新定义规则，方程含字母参数，需按新规则化为一元一次方程求解。 2.方法：先读懂新定义并转化方程，再用一元一次方程定义列参数条件求解。 变式5-1（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，列方程即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：． （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或． （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解，满足， ∴． 变式5-2（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数学课上，老师给出如下定义：如果两个一元一次方程的解存在2倍关系，我们就称这两个方程是“关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为4是2的2倍，所以这两个方程是关联方程． (1)已知方程①与方程②是关联方程，求a的值． (2)已知关于x的方程与是关联方程，求m的值． (3)若关于x的两个方程和是关联方程，求k的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）先求出两个方程的解，然后根据新定义分类讨论求参数即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据新定义分类讨论求参数即可； （3）先求出两个方程的解，然后根据新定义分类讨论求参数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 根据题意得或， ∴或； （2）解：∵， ∴； ∵ ∴； 根据题意得或， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴； 根据题意得或， 解得或 ∴或． 变式5-3（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【答案】(1) 解：解方程，得， 解方程，得， ∵3与是相反数， ∴方程与是“相反方程”． (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解及对“相反方程”定义的理解． （1）分别求解两个方程，再判断它们的解是否互为相反数； （2）先求出第一个方程的解，根据“相反方程”的定义得到第二个方程的解，再将其代入第二个方程求出m的值； （3）先求出第一个方程的解，进而得到其“相反方程”的解，再将该解代入第二个方程求出n的值． 【详解】（1）略 （2）解：解方程，得． ∵关于x的方程和是“相反方程”， ∴是方程的解， 将代入，得， 解得． （3）解：解方程：，得， ∴的“相反方程”的解是， 将代入方程，得， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：将代入，得 2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则（  ） A．1或 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】一元一次方程需同时满足三个核心条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③一次项系数不为0．根据这三个条件列出关于的等式和不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且． 由，得或； 由，得； ∴． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）已知与方程的解相同，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】两个方程的解相同，先求解第一个一元一次方程得到x的值，再将x代入第二个方程即可求出m的值． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程， 得， 解得． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则的值等于___________． 【答案】 【分析】代入，求出关于a，b的关系式，再将该式整体代入所求式中求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理，得， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，运用整体思想找到所求式与方程对应的等式的关系是解题关键． 6．（25-26七年级上·江西·期末）如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数指数必须为1且系数不为零是解题关键． 根据一元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当 时，，符合条件． 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程与的解相同，则a的值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．首先，我们分别求解两个方程，找到它们的解，并且利用解相同这一条件，建立起两个方程解之间的关系．这样我们就能找到关于未知数a的等式，进而求解a的值． 【详解】解：解方程，得到， 将代入方程，得到， 解方程，得到，从而． 故答案为： 8． 8．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知关于x的方程的解为正整数，则整数b所有可能取值的积为_____． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解，掌握知识点是解题的关键． 通过求解方程得到x的表达式，根据x为正整数确定b的取值，最后计算所有可能b值的乘积即可． 【详解】解：， 两边同乘8，得 ， 移项合并，得 ， 解得 ． 由于x为正整数，因此必须是5的正因数， 即或， 解得或， ∴整数b所有可能取值的积为． 故答案为：21． 三、解答题 9．（24-25七年级上·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．形如的方程，叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，得到，且，可求出k值． 【详解】解：根据题意，得，且，解得． 10．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，同解方程，熟练掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到且，求出的值即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ∴； （2）由（1）可知：方程为：， ∵， ∴， ∴， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴把代入，得：， 解得：． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）（1）当取何值时，代数式与的值互为相反数？ （2）取何值时，关于的方程和的解相同？ 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，同解方程，代数式求值知识点，掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）先根据相反数的性质列出关于的方程，再根据解一元一次方程的步骤依次计算可得； （2）先根据已知方程求出的值，再代入另一个方程中，解出即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 去括号得，即 移项得， 两边都除以得， 答：当时，代数式与的值互为相反数； （2）解：解方程得：， 关于的方程和的解相同， 把代入方程 解得：， 当时，关于的方程和的解相同． 答：当时，这两个方程的解相同． 12．（25-26七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的值，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 由题意，，解得； （2）解：解，得； 解，得， 由题意，，解得， ∴方程的解为，方程的解为． 14．（25-26七年级下·河南南阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·北京·期末）我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互为相反数，列等式即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； （3）解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 题型二、利用一元一次方程的解求参数 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 题型四、利用一元一次方程同解求参数 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 习解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：含参方程题看字母位置：在系数、常数项或指数上。常见五类：定义求参、代入求值、同解、 整数解、新定义。 解题方法： 通法先化为ax=b:a≠0唯一解；a=0时b=0无数解，b≠0无解。定义题须“次数为1且系数≠0”； 整数解题解出含参式再枚举。 -易错提醒：定义题漏检系数≠0：忘讨论=0；整数解漏负约数；同解代入后未回代检验。 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 典例1(25-26七年级上河南驻马店期末)已知m-2列x-2= 是关于x的一元一次方程，则m的值为 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：整式方程，只含一个未知数，未知数次数为1，系数不为0。 2方法：依据定义列方程，令未知数次数等于1且系数不等于0，求解参数。 变式1-1(25-26九年级上·重庆渝北期末)若x3-6=0是关于x的一元一次方程，则m= 变式12(25-26六年级上山东济宁期末)已知(m-)+2=0 关于x的一元一次方程，则的值为 变式1-3(25-26七年级上四川达州期末)已知 (m-3)x2m-1-3=5 是关于x的一元一次方程，则m的值为_ 题型二、利用一元一次方程的解求参数 典例2(25-26七年级上全国期末)已知x=1是关于x的一元一次方程xr+b=1的解，则a+b+2025的值 为 题型模版 1.特征：解代入原方程左右两边相等，含参方程由此建立关于参数的等式。 2方法：将已知解代入含参方程，化简得参数方程，解出参数并验证。 变式2-1(25-26七年级上湖南长沙期末)已知方程3x-1=0的解和方程心-2x=9的解相同，则a= 变式2-2(25-26七年级上福建龙岩期末)若x=2是关于x的方程ax2-bx=-3的解，则2023-4a+2b的 值是 变式2-3(25-26七年级上山东临沂·期末)已知x=2是关于x的方程3x-m=x+2n的解，则式子 2m+m-2026的值为 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 典例3(24-25七年级上辽宁盘锦·期末)若关于x的方程m=2的解是正整数，则整数m的值为 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：含参方程解为整数，参数受整除性约束，需分类讨论取值。 2方法：先解出用参数表示的解，再由整除性列式求参数整数值。 m+1-2=3 变式3-1(24-25七年级下重庆期中)若关于x的方程3 2的解为整数，则满足条件的所有整 数a的和为， 变式32(24.25七年级上江西阶段检测)若关于*的一元一次方程a-2列r=4 的解为正整数，则整数a 的值为 变式33(25-26七年级上江苏镇江·期末)已知关于x的方程am=2x+3有负整数解，则符合条件的整数a 的和为 题型四、利用一元一次方程同解求参数 (2x-3)=6-2x 典例4(25-26七年级上·全国·期末)已知方程 和关于x的方程8-k=2x+1的解相同，则飞 的值为 题型模版 1特征：两方程解相同，解集相等，可互相代入验证。 2方法：先解已知方程，将解代入含参方程求参数。 变式4-1(2425七年级上：广东东莞期末)关于x的方程2x+3a=1的解与方程x+3=0的解相同，则a的 值是 变式42(24-25七年级上辽宁锦州期末)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=2x+6的解相同，则 m的值为一 变式43(25-26七年级上黑龙江哈尔滨期末)如果关于x的方程2x+1=3和方程2 2(x-3)+k=6 的解相同， 那么k= 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 典例5(25-26七年级上河北衡水期末)规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方 程的解是另一个方程解的2倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程.如一元一次方程x+7=17的解是 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=10,2x=10的解是x=5.10是5的2倍，因此一元一次方程x+7=17是2x=10的倍解方程。 (1)写出一个方程：2m-l=m+5的倍解方程：-： ②尼知关于*的一元一次方程心-7=5是3(+)-4=-x 的倍解方程，求的值。 题型模版 1特征：题干给出新定义规则，方程含字母参数，需按新规则化为一元一次方程求解。 2方法：先读懂新定义并转化方程，再用一元一次方程定义列参数条件求解。 变式5-1(25-26七年级上江苏宿迁期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个 方程为“和一方程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“和一方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与4x-2=x+10是“和一方程”，求m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n,求的值； 1 ()若关于x的一元一次方程2025×-3=2x+k和2025x+1=0是“和一方程”，求关于y的一元一次方程 20250y+1)-3=2y+k+2的解. 变式5-2(25-26七年级上河北邯郸期末)在数学课上，老师给出如下定义：如果两个一元一次方程的解 存在2倍关系，我们就称这两个方程是“关联方程”，例如：方程2x=4的解是x=2,方程3x=12的解是 x=4,因为4是2的2倍，所以这两个方程是关联方程. (1)已知方程①4x-8=0与方程②x-a=0是关联方程，求a的值， (②)已知关于x的方程3x+m=0与2x-4=0是关联方程，求的值. (3)若关于x的两个方程2(x-k)=4和31=k是关联方程，求k的值。 变式53(25-26七年级上广东中山期末)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两 个方程为“相反方程”.例如：方程3x=6的解为x=2,2x+4=0的解为x=-2,其中2和-2互为相反 数，我们就称方程3x=6和2x+4=0为“相反方程”. (1)请说明方程x+11=5-x和7x-6=4x+3是“相反方程”： 5x-178x-1 ②若关于x的方程6=3和2=x+2m是“相反方程”，求心的值： )若关于y的方程y-1=7-+3 8y+1 3 5的“相反方程”的解，也是关于y的方程○5=y+45-2川的解， 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求n的值. ◆◆ 同压轴挑战一成克高难压轴，史威思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西汉中期末)关于x的方程c+b=-3的解是x=2,则2a+b=（) A.3 B.-3 C.0 D.1 2. (25-26七年级上广西崇左期未)已知关于‘的方程(a-)r-1=0 一元一次方程，则a=() A.1或-1 B.1 c.-1 D.0 1 3(25-26七年级上黑龙江大庆期末)已知2x-2s x+6与方程2x+3m=90的解相同，则m的值为 3 () A.3 B.-3 C.2 D.-2 4.(25-26七年级上陕西西安期末)小明解方程4=3 3-40-2,去分母时，方程右边的-2忘记乘12， 因而求出的解为x=1,则原方程正确的解为() A.x=17 B.x=-17 17 5 5 C.x=- 5 D.x= 17 二、填空题 5.(25-26七年级上河南驻马店期末)若x=2是关于x的一元一次方程” -a-2=0(b+0)的解，则 2a-4b的值等于 a-1)xa-2+4=0」 6.(25-26七年级上江西期末)如果 是关于x的一元一次方程，那么a的值是 a-2x 7.（24-25七年级上四川成都期末)若关于x的方程x-1=2与22=1的解相同，则a的值是 8.(25-26七年级上·重庆綦江期末)已知关于x的方程8=4 如3-X+1的解为正整数，则整数b所有可能取 值的积为 三、解答题 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2425七年级上全国期末)若-小r-(-)x+8=0 关于x的一元一次方程，求k的值. 10。（24-25六年级下黑龙江大庆期中)已知关于的方程k-2列r+2m-2=0 一元一次方程， (1)求k的值 ②芳关于*的方程-2列+2m-2=0与方程2x=6-×的解相同，求m的值 11.(25-26七年级下·吉林长春期末)(1)当x取何值时，代数式4x-5与3x-9的值互为相反数？ （2)取何值时，关于*的方程22x-3)=1-2x和8-k-2x+)。 和 的解相同？ 3x-1 12.(25-26七年级上北京石景山期末)关于x的一元一次方程2+m=5,其中m是正整数. (1)当m=3时，求方程的解： (2)若方程有正整数解，求m的值. 13.(25-26七年级上浙江杭州期末)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个 方程为“致真方程”.如方程2x=4和3x+6=0为“致真方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-3=3x+1是“致真方程”，求的值： (2)若关于x的方程3x+m-2=0和x-5m+4=0是“致真方程”，求这两个方程的解 14.(25-26七年级下·河南南阳期末)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程 为“集团方程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“集团方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-1=x+8是“集团方程”，则m的值为. (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n,求n的值； 1 (3)若关于x的一元一次方程2025x+3=2x+k和2025x+1=0是“集团方程”，直接写出关于y的一元一 次方程2025y+1)+3=2y+2+k的解. 15.(25-26七年级上北京期末)我们规定一种新运算：p△9=p-9-p×g+5,例如： 1△2=1-2-1×2+5=2. 请根据上述规定回答下列问题. 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)则3A4= 7△x-2=4 (2)若 ,求x的值： 2x+a)A3=5△(x-2) (3)已知关于x的方程 的解和关于y的方程2y+a=3y+1 的解互为相反数，直接写出a 的值. 7/7