专题04 数轴上的动点问题（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题04 数轴上的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2 数轴上动点之定值问题 题型3 数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4 数轴上动点之新定义型问题 题型5 数轴上动点之折线数轴问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数轴上动点之相遇、相距问题 1．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： (1)当时，线段的长度为________； (2)当为何值时，点与点相遇？ (3)当为何值时，线段的长度为个单位长度？ 3．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． ◆题型2 数轴上动点之定值问题 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最小的正整数，且a，c满足． (1)___________，___________，___________； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．问：为何值时，． (3)若为一个常数使得的值不随的变化而变化，求的值． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，线段上有一点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，求运动时间的值； (2)在相遇前，分别取和的中点，的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 6．（25-26七年级上·全国·期末）阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为、1、6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒， (1)填空： ；点E表示的数为 ；点F表示的数为 ； (2)在点D、E、F的运动过程中，的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由； (3)在（2）条件下，是否存在的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． ◆题型3 数轴上动点之三点中点问题 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 8．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 9．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． ◆题型4 数轴上动点之新定义型问题 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 11．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 12．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． ◆题型5 数轴上动点之折线数轴问题 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 15．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 3．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 二、解答题 4．如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？ 5．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 6．数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．P，Q，M是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度． (1)点P，Q分别从点A，B同时出发，都向正方向运动． ①运动t秒后，点P表示的数为__________，点Q表示的数为__________（用含t的代数式表示）； ②当P，Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值． (2)点P，Q，M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动．点M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，……，当点P，M，Q重合时，运动停止．在运动过程中，这三个点的速度保持不变，点P，Q的运动方向保持不变． ①当运动停止时，直接写出点P表示的数； ②在整个过程中，点M运动的路程为__________个单位长度． 7．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 8．阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 9．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     10．已知数轴上两点对应的数分别为． (1)两点间的距离为 ； (2)如图，如果点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒． Ⅰ．运动秒时对应的数为 ，对应的数为 ；（用含的代数式表示） Ⅱ．当两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； Ⅲ．求相距个单位长度时的值； (3)如图，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当两点相遇时，请直接写出点的运动速度． 11．定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 12．先阅读材料：如图（1），在数轴上点示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． (1)________，________： (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①则点表示的数是________，________（用含的式子表示） ②请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数轴上的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2 数轴上动点之定值问题 题型3 数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4 数轴上动点之新定义型问题 题型5 数轴上动点之折线数轴问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数轴上动点之相遇、相距问题 1． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 2． 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 3． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题,数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识． （1）根据非负数的性质得到，，根据两点间的距离公式即可求出的值； （2）①根据计算即可； ②分两种情况列方程求解即可； ③分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． ◆题型2 数轴上动点之定值问题 4． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 5． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 6． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． ◆题型3 数轴上动点之三点中点问题 7． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 8． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 9． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． ◆题型4 数轴上动点之新定义型问题 10． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 11． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 12． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． ◆题型5 数轴上动点之折线数轴问题 13． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 14． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 15． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．或 2．或 3．5 或 二、解答题 4． 【答案】(1) (2)①秒；②或秒 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可； （2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是， 故答案为：； （2）①解：设的运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点P与点Q相遇， ∴， 解得，， ∴点P运动秒时，点P与点Q相遇； ②解：由题意知，， ∴或， 解得，或； ∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度． 5． 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. 【详解】（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 6． 【答案】(1)①，；②11或17 (2)①，② 【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①结合题意利用代数式表示即可； ②根据P，Q两点相距3个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题； （2）①根据题意表示出点P与点Q表示的数，结合当点P，M，Q重合时，运动停止，建立方程求解，即可解题； ②根据路程时间速度求解，即可解题． 【详解】（1）解：①因为数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8． 所以运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，． ②因为P，Q两点相距3个单位长度， 所以或， 解得或； （2）解：①因为当点P，M，Q重合时，运动停止． 且点P表示的数为，点Q表示的数为， 所以， 解得； ②因为点M的速度是每秒5个单位长度， 所以在整个过程中，点M运动的路程为个单位长度． 故答案为：． 7． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 8． 【答案】(1) (2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与行程问题的数量关系的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法，数轴上动点表示有理数的计算即可求解； （2）①分别用含的式子标出点到原点的距离，再根据距离公式及数量关系列式求解即可；②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，根据题意分类讨论：如图所示，点在店左边；点在店右边；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12， ∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 如图所示，点在店右边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 9． 【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 10． 【答案】(1)； (2)Ⅰ．，；Ⅱ．；Ⅲ．或； (3)单位长度秒或单位长度秒． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式直接计算即可求解； （）Ⅰ．根据数轴上两点间距离公式计算即可求解； Ⅱ．根据题意列出方程，解方程即可求解； Ⅲ．分点在点左边和右边两种情况，列出方程，解方程即可求解； （）分两种情况列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对应的数分别为， ∴两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：Ⅰ．由题意可得，运动秒时对应的数为，对应的数为， 故答案为：，； Ⅱ．当两点相遇时，， 解得， ∴点在数轴上对应的数是， 故答案为：； Ⅲ．当点在点左边时，， 解得； 当点在点右边时，， 解得； ∴相距个单位长度时，的值为或； （3）解：当两点在点相遇时，运动时间为秒， 此时点的运动速度为单位长度秒； 当两点在点相遇时，运动时间为秒， 此时点的运动速度为单位长度秒； ∴当两点相遇时，点的运动速度为单位长度秒或单位长度秒． 11． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义，构建方程求解； （2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解； 【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知， 解得， ∴的美好点表示的数为； ②令美好点表示的数为y，由题知，, 解得， ∴的美好点表示的数为； （2）解：根据题意，得 ∴ 解得 12． 【答案】(1)， (2)①，．②不变，值为 (3)在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）①根据题意表示出点、，所表示的数，即可得出结论； ②先求出，然后代入化简即可得出结论； （3）求出点A的路程为，点C的路程为，然后分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故，， ∴，， 故答案为：，． （2）解：①由题意可知：点表示的数是：，点表示的数是：，点表示的数是：， ∴． 故答案为，． ②由①可知，， ∴， ∴的值不随着时间的变化而改变，其定值为， （3）解：由题意可知，点A的路程为，点C的路程为，的距离为， ∴可分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度， 两种情况的方程分别为：， 解得和， ∴在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数轴上的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 数轴上动点之相遇、相距问题（重） 题型2 数轴上动点之定值问题 题型3 数轴上动点之三点中点问题（高频） 题型4 数轴上动点之新定义型问题 题型5 数轴上动点之折线数轴问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数轴上动点之相遇、相距问题 1．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： (1)当时，线段的长度为________； (2)当为何值时，点与点相遇？ (3)当为何值时，线段的长度为个单位长度？ 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 3．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题,数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识． （1）根据非负数的性质得到，，根据两点间的距离公式即可求出的值； （2）①根据计算即可； ②分两种情况列方程求解即可； ③分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． ◆题型2 数轴上动点之定值问题 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最小的正整数，且a，c满足． (1)___________，___________，___________； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．问：为何值时，． (3)若为一个常数使得的值不随的变化而变化，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】（1）因为是最小的正整数，且a，c满足，所以，且，据此求出即可； （2）由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为，则，，因为，则，解方程即可； （3），若的值不随的变化而变化，则，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵是最小的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，秒后A的位置表示为，B的位置表示为，C的位置表示为， 则，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解： ， 若的值不随的变化而变化， 则， 解得：； 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，线段上有一点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，求运动时间的值； (2)在相遇前，分别取和的中点，的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用． （）根据点的运动速度和方向，得出，并结合算出，确定运动总时长为秒，然后分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程，即可解答； （）先结合已知的和，推出；再根据分别为中点，得出，进而由算出；接着代入得到，最后将其与代入比值公式化简，约去含的项，得出． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴， ∵同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴， ∵， ∴， ∴运动总时长：秒，即， ∵向左运动，向右运动，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴当还未相遇时：， ∵， 则可列出方程， ∴， 当相遇后：， 则可列出方程， 解得， ∵， ∴； （2）解：是定值， ∵， ∴ ， ∵分别为中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即的值是定值． 6．（25-26七年级上·全国·期末）阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为、1、6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒， (1)填空： ；点E表示的数为 ；点F表示的数为 ； (2)在点D、E、F的运动过程中，的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由； (3)在（2）条件下，是否存在的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． ◆题型3 数轴上动点之三点中点问题 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 8．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 9．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． ◆题型4 数轴上动点之新定义型问题 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 11．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 12．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． ◆题型5 数轴上动点之折线数轴问题 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 15．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，根据题意分情况建立含有t的一元一次方程是解决本题的关键．已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可． 【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为15个单位长度，分析N点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得： 当N向左运动，则有，解得， 当N向右运动，则有，解得， 故答案为或． 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 【答案】或 【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ， ， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化． 故答案为：或． 3．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 【答案】 5 或 【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程的实际应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键． （1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出求出即可； （2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出或，进而求出即可． 【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：， 解方程，得． 故答案为：5． （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． 或， 或 或， 故答案为：或． 二、解答题 4．如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？ 【答案】(1) (2)①秒；②或秒 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可； （2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是， 故答案为：； （2）①解：设的运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点P与点Q相遇， ∴， 解得，， ∴点P运动秒时，点P与点Q相遇； ②解：由题意知，， ∴或， 解得，或； ∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度． 5．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. 【详解】（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 6．数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8．P，Q，M是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度． (1)点P，Q分别从点A，B同时出发，都向正方向运动． ①运动t秒后，点P表示的数为__________，点Q表示的数为__________（用含t的代数式表示）； ②当P，Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值． (2)点P，Q，M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动．点M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，……，当点P，M，Q重合时，运动停止．在运动过程中，这三个点的速度保持不变，点P，Q的运动方向保持不变． ①当运动停止时，直接写出点P表示的数； ②在整个过程中，点M运动的路程为__________个单位长度． 【答案】(1)①，；②11或17 (2)①，② 【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①结合题意利用代数式表示即可； ②根据P，Q两点相距3个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题； （2）①根据题意表示出点P与点Q表示的数，结合当点P，M，Q重合时，运动停止，建立方程求解，即可解题； ②根据路程时间速度求解，即可解题． 【详解】（1）解：①因为数轴上有两个点A，B，它们表示的数分别是，8． 所以运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，． ②因为P，Q两点相距3个单位长度， 所以或， 解得或； （2）解：①因为当点P，M，Q重合时，运动停止． 且点P表示的数为，点Q表示的数为， 所以， 解得； ②因为点M的速度是每秒5个单位长度， 所以在整个过程中，点M运动的路程为个单位长度． 故答案为：． 7．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 8．阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与行程问题的数量关系的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法，数轴上动点表示有理数的计算即可求解； （2）①分别用含的式子标出点到原点的距离，再根据距离公式及数量关系列式求解即可；②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，根据题意分类讨论：如图所示，点在店左边；点在店右边；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12， ∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 如图所示，点在店右边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 9．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 10．已知数轴上两点对应的数分别为． (1)两点间的距离为 ； (2)如图，如果点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒． Ⅰ．运动秒时对应的数为 ，对应的数为 ；（用含的代数式表示） Ⅱ．当两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； Ⅲ．求相距个单位长度时的值； (3)如图，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当两点相遇时，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)； (2)Ⅰ．，；Ⅱ．；Ⅲ．或； (3)单位长度秒或单位长度秒． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式直接计算即可求解； （）Ⅰ．根据数轴上两点间距离公式计算即可求解； Ⅱ．根据题意列出方程，解方程即可求解； Ⅲ．分点在点左边和右边两种情况，列出方程，解方程即可求解； （）分两种情况列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对应的数分别为， ∴两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：Ⅰ．由题意可得，运动秒时对应的数为，对应的数为， 故答案为：，； Ⅱ．当两点相遇时，， 解得， ∴点在数轴上对应的数是， 故答案为：； Ⅲ．当点在点左边时，， 解得； 当点在点右边时，， 解得； ∴相距个单位长度时，的值为或； （3）解：当两点在点相遇时，运动时间为秒， 此时点的运动速度为单位长度秒； 当两点在点相遇时，运动时间为秒， 此时点的运动速度为单位长度秒； ∴当两点相遇时，点的运动速度为单位长度秒或单位长度秒． 11．定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义，构建方程求解； （2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解； 【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知， 解得， ∴的美好点表示的数为； ②令美好点表示的数为y，由题知，, 解得， ∴的美好点表示的数为； （2）解：根据题意，得 ∴ 解得 12．先阅读材料：如图（1），在数轴上点示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． (1)________，________： (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①则点表示的数是________，________（用含的式子表示） ②请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①，．②不变，值为 (3)在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）①根据题意表示出点、，所表示的数，即可得出结论； ②先求出，然后代入化简即可得出结论； （3）求出点A的路程为，点C的路程为，然后分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故，， ∴，， 故答案为：，． （2）解：①由题意可知：点表示的数是：，点表示的数是：，点表示的数是：， ∴． 故答案为，． ②由①可知，， ∴， ∴的值不随着时间的变化而改变，其定值为， （3）解：由题意可知，点A的路程为，点C的路程为，的距离为， ∴可分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度， 两种情况的方程分别为：， 解得和， ∴在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $