专题4.2 图形变换与坐标变化（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题4.3 图形变换与坐标变化 教学目标 1.理解坐标平面内点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，掌握点左右、上下平移后的坐标变化法则；能根据坐标变化画出轴对称、平移后的图形，会由图形变换写出对应点坐标。 2.经历画图、观察、归纳坐标变换规律的探究过程，体会数形结合思想，感受图形变换与坐标代数变化之间的联系，提升识图能力与几何直观，发展归纳概括能力。 3.感受坐标与图形变换的内在联系，体会数学的统一美；在作图计算中养成严谨细致的习惯，主动探究规律，为后续函数图像学习打下基础，提升学习数学的兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）掌握点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，准确记忆横、纵坐标的符号变化特点，熟练求对称点坐标。 （2）掌握点平移的坐标变化规律：左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标，能够根据平移方向距离写出点变换后的坐标。 （3）会利用坐标变换规律，求出多边形顶点变换后的坐标，进而画出轴对称、平移后的图形，落实图形变换的基本作图方法。 2.难点 （1）混淆轴对称与平移的坐标变化规律，容易搞错对称时横纵坐标符号，平移时加减方向弄反，不能准确区分两类变换的坐标特征。 （2）图形多次连续变换时，学生难以理清坐标连续变化过程；把图形变换转化为顶点坐标运算，综合解决图形变换相关题型，实现几何图形与代数坐标之间灵活转化有一定难度。 知识点01 关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征 点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 【即学即练】 知识点02 用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）①图形平移，关键点的坐标变化规律与点的平移坐标的变化一样。 ②图形平移，所有关键点执行同等变化，关键点坐标变化同步。 ③平移作图步骤： 方法一：a.找出图中关键点；b.根据平移规则，标出关键点平移后所对应的点；c.连接关键点成图。 方法二：a.找出图中关键点；b.根据平移规则，找出某一关键点平移后所对应的点；c.连接该关键点平移前后两点，组成线段；d.过其余关键点作平行于c中的线段的线段，线段末端就是对应关键点平移后的位置；e.连接关键点成图 【即学即练】 题型01 坐标系中的对称 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）点关于x轴对称的点的坐标是________． 【变式3】（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 题型02 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么的立方根为_________． 题型03 坐标系中的平移 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则对应的点可能是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （____,___），（___,___） 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向______________平移______________个单位长度，再向______________平移______________个单位长度． 题型04 由平移的方式确定点的坐标 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）若点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到对应点，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．64 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上，则的值为________． 题型05 已知图形的平移，求点的坐标 【典例1】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广西防城港·期末）随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，长方形各顶点的坐标分别为，，，．将长方形沿x轴方向向右平移5个单位长度，得到长方形．请写出长方形各顶点的坐标，并指出对应顶点坐标的变化规律． 题型06 中点坐标 【典例1】（2026八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）点和点的中点坐标为________． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 题型07 点坐标的规律探究 【典例1】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）写出点的坐标（是正整数）________； （2）指出蚂蚁从点到点的移动方向________． 【变式3】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 题型08 作图 【典例1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)求的面积． 【变式2】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中描出点A、B、C，并画出； (2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 一、单选题 1．（26-27八年级上·新疆·期中）点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知点和关于轴对称，则值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，则点关于轴的对称点在第（     ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （______，______），（______，______） 8．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 10．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出关于y轴对称的． 12．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)在坐标系中画出三角形； (2)将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位，画出平移后的三角形，并写出、、的坐标． 13．（25-26八年级下·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围． (2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 14．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若把向左平移个单位长度再向上平移个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（________，______），的坐标：（_______，_______），的坐标：（______，______）； (2)在图中画出平移后的； (3)将线段平移到线段，点平移到，若平移后点，恰好都在坐标轴上，请直接写出点的坐标． 15．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 一、单选题 1．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 3．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．已知点，则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27八年级上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是___． 7．（2022·四川自贡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 8．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是_____ ． 9．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 10．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 三、解答题 11．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标，即（______，______）． (2)求出的面积． 12．（26-27八年级上·陕西·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系（如图）后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点，，的坐标． (2)在轴上存在点，使，请直接写出P点的坐标． 13．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 14．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 图形变换与坐标变化 教学目标 1.理解坐标平面内点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，掌握点左右、上下平移后的坐标变化法则；能根据坐标变化画出轴对称、平移后的图形，会由图形变换写出对应点坐标。 2.经历画图、观察、归纳坐标变换规律的探究过程，体会数形结合思想，感受图形变换与坐标代数变化之间的联系，提升识图能力与几何直观，发展归纳概括能力。 3.感受坐标与图形变换的内在联系，体会数学的统一美；在作图计算中养成严谨细致的习惯，主动探究规律，为后续函数图像学习打下基础，提升学习数学的兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）掌握点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，准确记忆横、纵坐标的符号变化特点，熟练求对称点坐标。 （2）掌握点平移的坐标变化规律：左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标，能够根据平移方向距离写出点变换后的坐标。 （3）会利用坐标变换规律，求出多边形顶点变换后的坐标，进而画出轴对称、平移后的图形，落实图形变换的基本作图方法。 2.难点 （1）混淆轴对称与平移的坐标变化规律，容易搞错对称时横纵坐标符号，平移时加减方向弄反，不能准确区分两类变换的坐标特征。 （2）图形多次连续变换时，学生难以理清坐标连续变化过程；把图形变换转化为顶点坐标运算，综合解决图形变换相关题型，实现几何图形与代数坐标之间灵活转化有一定难度。 知识点01 关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征 点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数； 点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数； 点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ； 【即学即练】 知识点02 用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）①图形平移，关键点的坐标变化规律与点的平移坐标的变化一样。 ②图形平移，所有关键点执行同等变化，关键点坐标变化同步。 ③平移作图步骤： 方法一：a.找出图中关键点；b.根据平移规则，标出关键点平移后所对应的点；c.连接关键点成图。 方法二：a.找出图中关键点；b.根据平移规则，找出某一关键点平移后所对应的点；c.连接该关键点平移前后两点，组成线段；d.过其余关键点作平行于c中的线段的线段，线段末端就是对应关键点平移后的位置；e.连接关键点成图 【即学即练】 题型01 坐标系中的对称 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确点关于x轴对称的坐标变化规则，再将已知点的横坐标直接保留，纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·湖南张家界·期中）点，关于轴对称，则___． 【答案】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， ． 题型02 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减计算即可． 【详解】解：∵将点向左平移1个单位，平移不改变纵坐标，横坐标需要减1， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后得到的点的坐标为． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果． 【详解】解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为， 再向下平移2个单位长度，纵坐标变为， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律解答即可． 【详解】解：已知点的坐标为，将点沿轴正方向平移个单位长度， 则平移后纵坐标不变，横坐标增加， 故点的坐标为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，恰好落在原点处，那么的立方根为_________． 【答案】 【分析】先根据点在平面直角坐标系中的平移规律，结合平移后点落在原点的条件，列出关于a，b的方程，求出a，b的值后计算，再求出它的立方根． 【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，即， ∴该点落在原点， ∴， 解得， ∴， ∴8的立方根为2， ∴的立方根为2． 题型03 坐标系中的平移 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则对应的点可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标特征，判断点所在的象限，坐标的平移规律：左减右加，上加下减．根据以上规律以及点所在的位置，判断点的位置，即可得到答案． 【详解】解：点位于第一象限，点的坐标为， 均为正数， 为负数，即位于第二象限， 将再向下平移个单位长度，得到点，即点位于点的下方， 对应的点可能是点． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用坐标与图形性质得到，，利用平移性质得到，结合已知列方程即可求出m的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，，， ∴，， ∵三角形沿轴向右平移得到三角形． ∴， ∵， ∴，解得． 【变式2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （____,___），（___,___） 【答案】 【分析】直接根据图形解答即可． 【详解】解：由图可得：；． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向______________平移______________个单位长度，再向______________平移______________个单位长度． 【答案】 右 下 【详解】解：如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是：先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；或先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度． 题型04 由平移的方式确定点的坐标 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）若点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到对应点，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．64 【答案】C 【分析】先根据点的平移规律求出a，b的值，再代入计算乘方． 【详解】解：∵点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到对应点， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点平移后的对应点为，确定这是一个向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度的平移变换，根据平移求解即可． 【详解】解：由点平移后的对应点为，得这是一个向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度的平移变换， 故点平移后的对应点的坐标是，即． 【变式2】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标规律，向右平移横坐标增加对应单位长度，纵坐标不变，据此计算即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标不变 ∵点向右平移个单位长度得到点 ∴． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中的点的平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”以及轴上的点的坐标特征为纵坐标为0，列出关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上， ∴，解得． 题型05 已知图形的平移，求点的坐标 【典例1】（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点A的对应点是， 由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，向下平移个1单位长度得到线段， 点B的对应点D的坐标是，即． 【变式1】（25-26七年级下·广西防城港·期末）随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移后点落到点处，可以确定平移路径，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，再根据平移路径确定的坐标． 【详解】解：点的坐标为，平移到点处，点的坐标为，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， 点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，点的对应点为，的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点A及其对应点的坐标得到平移方式，再计算点B对应点的坐标． 【详解】解：∵点平移后对应点的坐标为， ∴平移方式为线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，长方形各顶点的坐标分别为，，，．将长方形沿x轴方向向右平移5个单位长度，得到长方形．请写出长方形各顶点的坐标，并指出对应顶点坐标的变化规律． 【答案】 解：由图可知长方形各顶点坐标为，，，； 对应顶点坐标变化规律：平移后对应顶点的横坐标比原顶点横坐标增加，纵坐标保持不变. 【分析】根据图象写出点的坐标，进而得到变化规律即可. 【详解】略 题型06 中点坐标 【典例1】（2026八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据轴对称的性质求出的中点横坐标为，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵点关于直线的对称点的坐标为， ∴的中点横坐标为， ∴ 解得． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴点为、的中点， 设的坐标为， 则，解得， 则点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 题型07 点坐标的规律探究 【典例1】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正的顶点的坐标分别为，，点在第一象限．规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的初始坐标，根据变换规则写出前几次变换后的坐标，归纳出横、纵坐标的变化规律，代入 求解即可． 【详解】解：，， ，中点横坐标为， 为正三角形，点在第一象限， ∴点横坐标为，纵坐标为， 即， ∴再向右平移个单位长度， ∴第次变换后，点坐标为，即， 同理，第次变换后，点坐标为，即， 第次变换后，点坐标为，即， ， ∴第次变换后，点的横坐标为 ；当为偶数时，纵坐标为，当为奇数时，纵坐标为， 为偶数， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察，，，…，可得（为偶数），由此规律即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，…， ∵，，，…， ∴观察可得，（为偶数）， ∴点的坐标为，即． 【变式2】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）写出点的坐标（是正整数）________； （2）指出蚂蚁从点到点的移动方向________． 【答案】 向上 【分析】（1）观察图形可知，蚂蚁每移动次为一个循环周期，每个周期结束时横坐标增加，纵坐标为； （2）根据是的倍数，确定处于周期的结束位置，进而判断下一步的移动方向 【详解】解：（1）由图可知： 的坐标为，的坐标为，的坐标为 ， 下标是的几倍，横坐标就是的几倍，纵坐标为 点的坐标为； （2） 点是第个循环周期的最后一个点，其位置特征与相同 移动规则是按“向上、向右、向下、向右”依次循环 下一个点是新周期的第一个点，移动方向与到的方向相同 蚂蚁从点到点的移动方向是向上． 【变式3】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，设， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得，点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 此时点与点重合，即每6个点一个循环． ∵， ∴与点重合， 故． 题型08 作图 【典例1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． (2)解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【变式1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标变相反数、纵坐标不变的坐标规律，描点画出，读出坐标； （2）利用关于x轴对称的点纵坐标变相反数、横坐标不变的规律，画出； （3）用矩形面积减去周围三个直角三角形面积计算． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 【变式2】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中描出点A、B、C，并画出； (2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)如图所示：点A、B、C，即为所求； (2)如图所示：即为所求； ，， (3)6 【分析】（1）根据坐标描点，再顺次连接即可； （2）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得，根据图形分别写出各点坐标即可； （3）结合网格特点，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：图略 由图可得，，，； （3）解：的面积． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 【答案】(1) (2)；点的坐标为 (3)向上平移4个单位 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 一、单选题 1．（26-27八年级上·新疆·期中）点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知点和关于轴对称，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，便可求解． 【详解】解：点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位， ∴所对应的点的横坐标是，纵坐标是， ∴所对应的点的坐标是． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，则点关于轴的对称点在第（     ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】利用非负数的和为0的性质求出x，y的值，再求关于y轴的对称点坐标，判断所在象限． 【详解】解：∵，，且， ∴，，解得，， ∴点的坐标为，其关于轴的对称点坐标为，在第一象限． 5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 二、填空题 6．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （______，______），（______，______） 【答案】 5 5 11 5 【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可求解． 【详解】解：将三角形向右平移个方格，得到图形，用数对表示和的位置． 由图可得：；． 8．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：因为点与点关于y轴对称， 所以点与点横坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以， 则． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点的平移得到平移后的点的坐标为，结合第四象限点的符号特点列式计算即可． 【详解】解：由题意得，平移后的点的坐标为， ∵平移后的点在第四象限， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 10．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出关于y轴对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 12．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)在坐标系中画出三角形； (2)将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位，画出平移后的三角形，并写出、、的坐标． 【答案】(1) (2) 、、 【分析】（1）将坐标在平面直角坐标系上表示，连成三角形即可； （2）根据平移的性质分别得到点、、，即可求得坐标． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围． (2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． （2）根据平移规则写出点坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，回代算出点坐标． 【详解】（1）解：点在第二象限， ， 解得， 解得， ； （2）解：点向下平移个单位得到点，点的坐标为， ，即， ，关于轴对称，点的坐标为， ， 解得， 把代入得 ，， ∴点的坐标为． 14．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若把向左平移个单位长度再向上平移个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（________，______），的坐标：（_______，_______），的坐标：（______，______）； (2)在图中画出平移后的； (3)将线段平移到线段，点平移到，若平移后点，恰好都在坐标轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，，，， (2)如下图所示： (3)或 【分析】（1）根据平移方式写出各对应点坐标即可； （2）根据（1）中坐标，画出即可； （3）分点在轴上，点在轴上和点在轴上，点在轴上两种情况，判断出平移方式，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，把向左平移个单位长度再向上平移个单位长度， ∴点的坐标：，的坐标：，的坐标：． （2）解：略 （3）解：当点在轴上，点在轴上时，则点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵，， ∴点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 当点在轴上，点在轴上时，则点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵，， ∴点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或． 15．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)4 【分析】（1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程及的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：或或且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图所示： ∴，即的值为； 当，时， 同理，得， 即的值为． 一、单选题 1．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴对称点横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， 解得，， ． 3．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．已知点，则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【答案】C 【分析】根据平方根的性质、坐标与象限的关系、点到坐标轴的距离以及平行于坐标轴的直线的特点来判断结论的正确性． 【详解】解：选项A：点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，故A错误； 选项B：平方根等于本身的数只有，的平方根为，故B错误； 选项C：点在坐标轴上，则或，∴，故C正确； 选项D：点与纵坐标相同，∴直线轴，故D错误． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2026次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，，，，，，， 每4个一循环， ∴． 5．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此建立方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为， ∴， 解得， ∴． 二、填空题 6．（26-27八年级上·广东清远·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得点的坐标是． 7．（2022·四川自贡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得，， 解得， 8．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是_____ ． 【答案】 【分析】设，由得到，在中利用勾股定理列出方程，求出，结合点在轴负半轴，得出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∵点在轴的负半轴上， ∴． 9．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 10．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 三、解答题 11．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的坐标，即（______，______）． (2)求出的面积． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）根据向左平移个单位横坐标减、向下平移个单位纵坐标减的规则算出各点平移后的坐标，描点连线画出，得到． （2）用边长为和的矩形面积减去周围个直角三角形面积即可得解． 【详解】（1）略 （2）解： ． 12．（26-27八年级上·陕西·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系（如图）后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点，，的坐标． (2)在轴上存在点，使，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求， ，， (2)点或 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再写出三个点的坐标即可； （2）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：图略， 根据图形，可得，，； （2）解：设中边上的高为， ， ， 解得， ，， 点或． 13．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 14．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点移动6秒时，移动的路程为， ∴即， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $