4.2 图形变换与坐标变化 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形变换与坐标变化”核心知识点，系统梳理坐标与图形性质、位置确定、对称（x轴、y轴、原点、直线）及旋转等内容，通过解题知识、典例与变式题构建从理论到应用的学习支架，明晰坐标与图形变换的内在逻辑。 该资料特色在于结合五子棋、象棋等生活实例培养几何直观与空间观念，通过对称点坐标规律推导提升推理能力，典例变式设计助力课中理解，过关验收题帮助课后查漏补缺，体现用数学语言表达图形变换的模型意识。

4.2 图形变换与坐标变化 内 容 导 航 题型1 坐标与图形性质 题型2 坐标确定位置 题型3 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型4 坐标与图形变化-对称 题型5 关于原点对称的点的坐标 题型6 坐标与图形变化-旋转 考 点 演 练 题型1 坐标与图形性质 解｜题｜知｜识 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【典例1】若点M的坐标为（2，﹣3），MN＝4，MN∥y轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣7） C．（﹣2，﹣3） D．（6，﹣3） 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为点M的坐标为（2，﹣3），MN∥y轴， 所以点N的横坐标为2． 因为MN＝4，且点N在第四象限， 则﹣3﹣4＝﹣7， 所以点N的坐标为（2，﹣7）． 故选：B． 【变式1】已知A点的坐标为（4，2），AB∥y轴，且AB＝3，则B点的坐标为（　　） A．（4，5） B．（4，﹣3） C．（4，5）或（4，﹣1） D．（﹣1，2）或（7，2） 【答案】C 【解答】解：∵A（4，2），AB∥y轴， 得到xB＝xA＝4， ∵AB＝3， ∴|yA﹣yB|＝3， ∴|2﹣yB|＝3， ∴2﹣yB＝3或2﹣yB＝﹣3， 解得yB＝﹣1或yB＝5， 故A点的坐标为（4，2），AB∥y轴，且AB＝3，则B点的坐标为（4，5）或（4，﹣1）， 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（8，12），点C的坐标是（8，2），AB＝AC＝13，则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 【答案】D 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，且AM⊥BC， ∴BM＝CM． 又∵点B的坐标是（8，12），点C的坐标是（8，2）， ∴BC＝12﹣2＝10， ∴BM＝CM＝5， ∴点M的纵坐标为12﹣5＝7， 则点A的纵坐标为7． 在Rt△ABM中， AM12， 则8﹣12＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，7）． 故选：D． 【变式3】下列结论正确的是（　　） A．点P（﹣2024，2025）在第四象限 B．点M在第二象限，它到x轴，y轴的距离分别为4，3，则点M的坐标为（﹣4，3） C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0 D．已知点P（﹣4，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴 【答案】C 【解答】解：A．点P（﹣2024，2025）在第二象限，故本选项不合题意； B．点M在第二象限，它到x轴，y轴的距离分别为4，3，则点M的坐标为（﹣3，4），故本选项不合题意； C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0，正确，故本选项符合题意； D．已知点P（﹣4，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥x轴，故本选项不合题意； 故选：C． 题型2 坐标确定位置 解｜题｜知｜识 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【典例1】五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在（2，4），或（7，﹣1）位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到（0，3）位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【答案】C 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在（2，4）或（7，﹣1）位置就胜利了．白棋放在（1，3）位置就胜利了． 故选：C． 【变式1】如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣3，1），“象”所在位置的坐标为（2，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为 　 　 ． 【答案】（﹣1，﹣2）． 【解答】解：“炮”所在位置的坐标为（﹣3，1），“象”所在位置的坐标为（2，﹣2），由题意得， 则“士”所在位置的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【变式2】“苏超”联赛刚刚落下帷幕，赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．（1，2）表示看台上第1列第2排的球迷座位位置，那么看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为　 　 ． 【答案】（5，4）． 【解答】解：由题意可得：看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【变式3】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为（﹣2，﹣2），黑棋②的坐标为（0，0）． （1）请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出黑棋③和白棋④的坐标； （3）现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】（1）相应的平面直角坐标系见解答； （2）黑棋③的坐标为（0，2），白棋④的坐标（3，2）； （3）（﹣1，3）或（4，﹣2）． 【解答】解：（1）相应的平面直角坐标系如下所示， ； （2）黑棋③的坐标为（0，2），白棋④的坐标（3，2）； （3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为（﹣1，3）或（4，﹣2）． 题型3 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】点P（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】D 【解答】解：由题意可得 所以P的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 【答案】B 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（1，8）， 故选：B． 【变式2】P的坐标是（4，﹣8），则P点关于y轴的对称点P1的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣8） B．（4，8） C．（﹣4，8） D．（4，﹣8） 【答案】A 【解答】解：P的坐标是（4，﹣8），则P点关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣4，﹣8）， 故选：A． 【变式3】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝3+2＝5． 故选：A． 题型4 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于　 轴对称（填“x”或“y”）． 【答案】x． 【解答】解：点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称． 故答案为：x． 【变式1】如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝　 　 ． 【答案】﹣7． 【解答】解：∵点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称， 又∵直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴， ∴a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1）， ∴b＝﹣4， ∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 　 ． 【答案】（0，）． 【解答】解：∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝5， 由题意得：AC＝AB＝5， ∴OC＝AC﹣OA＝1， 故点C（﹣1，0）， 设点D的坐标为：（0，m）， ∵CD＝BD， ∴3﹣m， 解得：m， 故点D（0，）， 故答案为（0，）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标：　 　 ； （3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为　 　 ． 【答案】（1） （2）（5，﹣1）； （3） ． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）∵直线l过点（2，0）且平行于y轴， ∴直线l即为直线x＝2， ∵C（﹣1，﹣1）， ∴点C关于直线l的对称点C2的横坐标为2+2﹣（﹣1）＝5，纵坐标为﹣1， ∴直线l过点（2，0）且平行于y轴，点C关于直线l的对称点C2的坐标为（5，﹣1）； （3）∵|PB﹣PC|≤BC， ∴当P、C、B三点共线时，|PB﹣PC|有最大值，最大值为BC的长， ∵B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）， ∴， ∴|PB﹣PC|的最大值为． 题型5 关于原点对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【典例1】在平面直角坐标系内，点（5，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，6） B．（5，6） C．（﹣6，5） D．（﹣5，﹣6） 【答案】A 【解答】解：点（5，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，6）． 故选：A． 【变式1】下列各点中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【答案】D 【解答】解：∵点A（1，﹣2）与点（﹣1，2）关于原点对称， ∴点A（1，﹣2）关于原点对称的点是（﹣1，2）． 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（1，3） D．（3，﹣1） 【答案】A 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，3）． 故选：A． 【变式3】平面直角坐标系内与点P（﹣1，5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，﹣1） B．（1，5） C．（1，﹣5） D．（﹣5，﹣1） 【答案】C 【解答】解：P（﹣1，5）点关于原点的对称点的坐标是（1，﹣5）． 故答案为：C． 题型6 坐标与图形变化-旋转 解｜题｜知｜识 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为　 　 ． 【答案】（﹣3，4）． 【解答】解：将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（﹣3，4）， 故答案为：（﹣3，4）． 【变式1】已知点M（2a+1，4）关于y轴的对称点和点N（3，2b）关于x轴的对称点相同，则点A（a，b）的坐标为　 　 ． 【答案】（﹣2，﹣2）． 【解答】解：∵点M（2a+1，4）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2a﹣1，4）；点N（3，2b）关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣2b）， ∴， 解得， ∴点A的坐标是（﹣2，﹣2）． 故答案为（﹣2，﹣2）． 【变式2】如图，等腰△AOB中OA＝AB，顶点A的坐标，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为 　 ． 【答案】 【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作O′D⊥x轴于点D，如图， ∵OA＝AB，顶点A的坐标， ∴OC＝2，AC，O′B＝OB＝4， ∴OA3， ∴sin∠AOC，cos∠AOC， ∵∠AOC＝∠DBO′， ∴，， 即，， 解得O′D，BD， ∴OD＝OB+BD＝4， ∴点O′的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 【变式3】如图，点A（m，0），B（0，5），D（5，0），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BC，连接CD与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 【答案】． 【解答】解：过点C作CG⊥y轴，垂足为点G， 由旋转的性质得：∠ABC＝90°，BC＝AB， ∴∠ABO+∠CBG＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBG＝∠BAO， ∵∠AOB＝∠BGC＝90°， ∴△BCG≌△ABO（AAS）， ∴CG＝OB，BG＝OA， ∵A（m，0），B（0，5），D（5，0）， ∴CG＝OB＝5，BG＝OA＝﹣m， ∴OG＝BG+OB＝5﹣m， ∴点C的坐标为（﹣5，5﹣m）， 设直线CD的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴直线CD的解析式为， 令x＝0，则， ∴直线CD与y轴交点坐标为， 即． 过 关 验 收 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【解答】解：根据题意，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝PB三种情况进行讨论如下： 当AB＝AP时，在x轴上有1个P满足题意，在y轴上有2个P满足题意； 当AB＝BP时，在x轴上有2个P满足题意，其中一个P与AB＝AP时的重合，在y轴上有1个P满足题意； 当AP＝PB，在x轴和y轴各有1个P满足题意，其中在x轴上的与AB＝AP时的重合， 故满足条件的点P共有3+2+1＝6个； 故选：A． 2．已知线段AB∥y轴，且AB＝5，点A的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标为　 　 ． 【答案】（﹣2，﹣5）或（﹣2，5）． 【解答】解：由条件可知点B的横坐标为﹣2， ∵线段AB的长为5， ∴点B的纵坐标为0﹣5＝﹣5或0+5＝5， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣5）或（﹣2，5）， 故答案为：（﹣2，﹣5）或（﹣2，5）． 3．如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）． （1）在图中画出这个平面直角坐标系； （2）直接写出点B，C，D的坐标； （3）求出D点到y轴再到E点的最短路径． 【答案】（1）如图即可． （2）B（﹣5，﹣2），C（0，0），D（2，2）． （3）． 【解答】解：（1）根据每个小正方形的边长都为1，点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）， 可建立平面直角坐标系如下：点C与原点O重合， （2）由建立的平面直角坐标系可知， 点B的坐标为（﹣5，﹣2），点C的坐标为（0，0），点D的坐标为（2，2）． （3）如图，作点D关于y轴的对称点F，连接DF和EF，且EF与y轴交于点P， 由轴对称的性质可知，PD＝PF， ∴F（﹣2，2）， ∴D点到y轴，再到E点的路径PD+PE＝PF+PE 由两点之间线段最短可知， 当点E，P，F共线时，PF+PE的值最小，最小值为， 即D点到y轴，再到E点的最短路径为． 故答案为：． 4．如图，是古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为（2，1），“千”所处位置为（3，3），那么“升”所处位置为（　　） A．（4，2） B．（5，2） C．（2，5） D．（2，4） 【答案】B 【解答】解：根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系， ∴“升”可以表示为（5，2）． 故选：B． 5．如图，如果“马”在点（﹣1，0），“仕”在点（1，﹣3），则“帅”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（2，﹣3） 【答案】D 【解答】解：如图所示，“帅”所在点的坐标是（2，﹣3）， 故选：D． 6．如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为（2，2），表示吴起镇会师的点的坐标为（3，3），则表示瑞金的点的坐标为（　　） A．（6，3） B．（3，5） C．（6，﹣3） D．（5，﹣3） 【答案】C 【解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系， 表示瑞金的点的坐标为（6，﹣3）． 故选：C． 7．如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 【答案】C 【解答】解：如图所示：“兵”所在位置的坐标为：（﹣2，3）． 故选：C． 8．在直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：点P（2，1）关于y轴的对称点为（﹣2，1）， ∵（﹣2，1）在第二象限， ∴点P（2，1）关于y轴的对称点在第二象限． 故选：B． 9．已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：由条件可知a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， 则（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：A． 10．在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2） 【答案】A 【解答】解：∵点（2，5）， ∴与点（2，5）关于y轴对称的点（﹣2，5）． 故选：A． 11．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　） A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40） 【答案】B 【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称， ∴飞机D的坐标为（﹣40，a）， 故选：B． 12．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（　　） A．（7，4） B．（6，4） C．（5，4） D．（4，4） 【答案】A 【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）对称， ∴对称轴直线为：， ∵C（1，4）与点D关于x＝4对称， ∴D（7，4）， 故选：A． 13．如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（　　） A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6 【答案】D 【解答】解：如图所示， 当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点， ∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝30°，OB＝2， ∴OA＝4， ∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点， ∴OP＝4， ∴当m＝4； 作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″， 当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点， ∵四边形OBB″O′是平行四边形， ∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0）， 由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求， ∴m的取值范围是4≤m≤6， 故选：D． 14．在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于原点对称的点Q的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，1） 【答案】B 【解答】解：∵点P（3，1）， ∴点P（3，1）关于原点对称的点Q的坐标为（﹣3，﹣1）， 故选：B． 15．已知点P（a+3，2a﹣5）关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：点P在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 16．已知点A（m，﹣2025）与点B（1，n）关于原点对称，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2025 D．﹣2025 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，﹣m＝1，﹣（﹣2025）＝n， 即m＝﹣1，n＝2025， ∴mn＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：B． 17．已知点A（2，y）与点B（x，﹣4）关于原点对称，则xy的立方根是　 　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意得，2＝﹣x，y＝﹣（﹣4）， 解得x＝﹣2，y＝4， ∴xy＝（﹣2）×4＝﹣8， ∴xy的立方根为． 故答案为：﹣2． 18．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（2，﹣1）、C（0，﹣2），将△ABC绕C逆时针旋转90°后，A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣2，2） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1） 【答案】D 【解答】解：根据旋转的性质画图如下： 由图可知：点A′的坐标为（﹣3，﹣1）； 故选：D． 19．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A'，则点A'的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0） 【答案】A 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（2，0）绕原点顺时针旋转90°得到点A'， ∴A′的横坐标为A的纵坐标0，纵坐标为A的横坐标的相反数﹣2， ∴A′（0，﹣2）， 故选：A． 20．在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 D．点A在第二象限 【答案】D 【解答】解：A、点A的坐标为（﹣3，4），则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意； B、点A的坐标为（﹣3，4）关于x轴的对称点为（﹣3，﹣4），故本选项不符合题意； C、点A的坐标为（﹣3，4）关于y轴的对称点为（3，4），故本选项不符合题意； D、点A的坐标为（﹣3，4），则点A在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 21．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB′，若，则点A的对应点A'的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B． C．（﹣2，4） D． 【答案】B 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，A′E⊥x轴于E， 在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°， ∴∠BOD＝30°，∠BAD＝60°， ∴BD2，sin60 ∴OA＝AB4， ∵将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB′， ∴∠A′OA＝120°，OA′＝OA＝4， ∴∠AOE＝60°， ∴OE2，AEOA′＝2 ∴A′（﹣2，2）， 故选：B． 22．平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 　 　 ． 【答案】（3，﹣1） 【解答】解：如图，作BH⊥x轴于H． ∵C（0，4），K（2，0）， ∴OC＝4，OK＝2， ∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°， ∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°， ∴∠ACO＝∠BAH， ∴△ACO≌△BAH（AAS）， ∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4， ∴B（m+4，m）， 令x＝m+4，y＝m， ∴y＝x﹣4， ∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F， 作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+2， 由，解得， ∴M（3，﹣1）， 根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1） 23．如图，A，B两点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，4），线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后，点A的对应点是点A′（2，3），则点B的对应点的坐标是 　　 　　 ． 【答案】（4，1）． 【解答】解：连接OA，OA′，OB，如图， 由图可知，∠AOA′＝90°，则∠BOB′＝90°， 则点B′的坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 图形变换与坐标变化 内 容 导 航 题型1 坐标与图形性质 题型2 坐标确定位置 题型3 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型4 坐标与图形变化-对称 题型5 关于原点对称的点的坐标 题型6 坐标与图形变化-旋转 考 点 演 练 题型1 坐标与图形性质 解｜题｜知｜识 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【典例1】若点M的坐标为（2，﹣3），MN＝4，MN∥y轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣7） C．（﹣2，﹣3） D．（6，﹣3） 【变式1】已知A点的坐标为（4，2），AB∥y轴，且AB＝3，则B点的坐标为（　　） A．（4，5） B．（4，﹣3） C．（4，5）或（4，﹣1） D．（﹣1，2）或（7，2） 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（8，12），点C的坐标是（8，2），AB＝AC＝13，则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 【变式3】下列结论正确的是（　　） A．点P（﹣2024，2025）在第四象限 B．点M在第二象限，它到x轴，y轴的距离分别为4，3，则点M的坐标为（﹣4，3） C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0 D．已知点P（﹣4，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴 题型2 坐标确定位置 解｜题｜知｜识 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【典例1】五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在（2，4），或（7，﹣1）位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到（0，3）位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【变式1】如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣3，1），“象”所在位置的坐标为（2，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为 　 　 ． 【变式2】“苏超”联赛刚刚落下帷幕，赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．（1，2）表示看台上第1列第2排的球迷座位位置，那么看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为　 　 ． 【变式3】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为（﹣2，﹣2），黑棋②的坐标为（0，0）． （1）请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出黑棋③和白棋④的坐标； （3）现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 题型3 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】点P（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 【变式2】P的坐标是（4，﹣8），则P点关于y轴的对称点P1的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣8） B．（4，8） C．（﹣4，8） D．（4，﹣8） 【变式3】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 题型4 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于　 轴对称（填“x”或“y”）． 【变式1】如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝　 　 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 　 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标：　 　 ； （3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为　 　 ． 题型5 关于原点对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【典例1】在平面直角坐标系内，点（5，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，6） B．（5，6） C．（﹣6，5） D．（﹣5，﹣6） 【变式1】下列各点中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【变式2】在平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（1，3） D．（3，﹣1） 【变式3】平面直角坐标系内与点P（﹣1，5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（5，﹣1） B．（1，5） C．（1，﹣5） D．（﹣5，﹣1） 题型6 坐标与图形变化-旋转 解｜题｜知｜识 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为　 　 ． 【变式1】已知点M（2a+1，4）关于y轴的对称点和点N（3，2b）关于x轴的对称点相同，则点A（a，b）的坐标为　 　 ． 【变式2】如图，等腰△AOB中OA＝AB，顶点A的坐标，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为 　 ． 【变式3】如图，点A（m，0），B（0，5），D（5，0），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BC，连接CD与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 过 关 验 收 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．已知线段AB∥y轴，且AB＝5，点A的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标为　 　 ． 3．如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为（﹣4，1），点E的坐标为（3，﹣1）． （1）在图中画出这个平面直角坐标系； （2）直接写出点B，C，D的坐标； （3）求出D点到y轴再到E点的最短路径． 4．如图，是古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为（2，1），“千”所处位置为（3，3），那么“升”所处位置为（　　） A．（4，2） B．（5，2） C．（2，5） D．（2，4） 5．如图，如果“马”在点（﹣1，0），“仕”在点（1，﹣3），则“帅”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（2，﹣3） 6．如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为（2，2），表示吴起镇会师的点的坐标为（3，3），则表示瑞金的点的坐标为（　　） A．（6，3） B．（3，5） C．（6，﹣3） D．（5，﹣3） 7．如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 8．在直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2） 11．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　） A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40） 12．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（　　） A．（7，4） B．（6，4） C．（5，4） D．（4，4） 13．如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（　　） A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6 14．在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于原点对称的点Q的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，1） 15．已知点P（a+3，2a﹣5）关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C． D． 16．已知点A（m，﹣2025）与点B（1，n）关于原点对称，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2025 D．﹣2025 17．已知点A（2，y）与点B（x，﹣4）关于原点对称，则xy的立方根是　 　 ． 18．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（2，﹣1）、C（0，﹣2），将△ABC绕C逆时针旋转90°后，A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣2，2） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1） 19．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A'，则点A'的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0） 20．在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A到x轴的距离为3 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 D．点A在第二象限 21．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB′，若，则点A的对应点A'的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B． C．（﹣2，4） D． 22．平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 　 　 ． 23．如图，A，B两点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，4），线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后，点A的对应点是点A′（2，3），则点B的对应点的坐标是 　　 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $