专题08平面直角坐标系专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题08平面直角坐标系专题通关讲义 一、基础核心概念 1.有序实数对 有顺序的两个数(a、b)组成数对记作(a,b)，“有序” 是关键： (2,3)和(3,2)代表平面内两个完全不同的点，不可颠倒顺序；有序实数对与平面内点一一对应。 2.平面直角坐标系定义 在同一平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 · 水平数轴：x轴（横轴），向右为正方向； · 竖直数轴：y轴（纵轴），向上为正方向； · 公共交点：原点O，坐标(0,0)。 3.建立平面直角坐标系的基本步骤 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点。 (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 x 轴和 y 轴。 (3) 定坐标系：确定 x 轴和 y 轴的正方向和单位长度，并分别标上 x、y。 4.点的坐标含义 (1).平面内任意一点对应唯一一对有序实数，记作 (x，y)。 (2).横坐标 x：点向 x 轴作垂线，垂足对应的数。 (3).纵坐标 y：点向 y 轴作垂线，垂足对应的数。 (4).书写规则：先横后纵，顺序不能颠倒。 知识点02:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点03:坐标轴上点的坐标特征 知识点04:特殊位置点的坐标特征（考试高频） 1.x 轴上的点：纵坐标一定为 0，坐标形式（x，0） 2.y 轴上的点：横坐标一定为 0，坐标形式（0，y） 3.原点：坐标（0，0），既在 x 轴也在 y 轴 4.一、三象限角平分线上的点：横坐标 = 纵坐标 5.二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 知识点06:点的平移规律（期末大题核心） 1、点的横纵坐标书写顺序颠倒 易错提醒：平面内点的标准坐标格式为(x,y)，横坐标在前，纵坐标在后；横坐标是该点向x轴作垂线对应的数值，纵坐标是该点向y轴作垂线对应的数值，书写坐标不可调换二者先后顺序。 2、各象限内点的符号记忆错误 易错提醒：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任意象限，解题时不可将坐标轴上的点归类至某个象限。 3、坐标轴上点的坐标特征辨识错误 易错提醒：x轴上点的纵坐标恒为0，坐标形式(x,0)；y轴上点的横坐标恒为0，坐标形式(0,y)；原点坐标为(0,0)，同时属于x轴与y轴，避免原点坐标书写错误。 4、求对称点坐标变换规则混淆 易错提醒：关于x轴对称，横坐标保持不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称，纵坐标保持不变，横坐标取相反数；关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数，严格依照变换规则进行运算。 5、点平移的坐标变化规律混淆 易错提醒：左右平移改变横坐标，遵循左减右加；上下平移改变纵坐标，遵循上加下减；左右平移只运算横坐标，上下平移只运算纵坐标，不可将加减运算错用到另一组坐标。 6、点到坐标轴距离忽略绝对值 易错提醒：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值；距离为非负数；已知距离反向求解坐标时，一般存在两组结果，切勿漏解。 7、平行坐标轴的两点距离计算错误 易错提醒：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，两点距离等于横坐标差值的绝对值；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，两点距离等于纵坐标差值的绝对值，距离计算必须添加绝对值。 8、自建坐标系时原点基准选取混乱 易错提醒：自行建立平面直角坐标系解题，原点位置、坐标轴方向一经确定不可中途变更；同一个点的坐标随坐标系选取发生改变，解题需严格遵从题干给出的坐标系原点设定。 9、坐标法求解图形面积处理不当 易错提醒：利用坐标求解几何图形面积优先选用割补法；计算线段边长必须取坐标差值的绝对值，边长不能取负值，不可直接代入带负号的坐标直接相减运算。 题型 考察方向 难度 题型一 用有序数对表示位置 ★ 题型二 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型三 判断点所在的象限 ★ 题型四 已知点所在的象限求参数 ★★ 题型五 坐标系中描点 ★ 题型六 实际问题中用坐标表示位置 ★ 题型七 根据方位描述确定物体的位置 ★★ 题型八 求点到坐标轴的距离 ★ 题型九 坐标系中的平移 ★★ 题型十 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十一 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型十五 坐标系中的对称 ★★ 题型十六 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型十七 坐标系中的旋转 ★★★ 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 ★★ 题型十九 已知两点关于原点对称求参数 ★★ 题型二十 判断两个点是否关于原点对称 ★★ 题型二十一 中点坐标 ★★ 题型二十二 坐标系中的动点问题 ★★★ 题型二十三 点坐标规律探索  ★★★ 题型二十四 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用有序数对表示位置 1．小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：小华位置为，前面一位同学列数不变，行数减1，即，对应数对为． 2．在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对（列号，行号）确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：________． 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以写出对应的字母，然后即可写出这个英语单词． 【详解】解：∵对应的字母为F，对应的字母为A，对应的字母为， 这个英文单词为：． 3．小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， 表示的对应的字母为“”，则“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， ∴ “咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能是：“盐”， 故选：C． 题型二 写出直角坐标系中点的坐标 4．如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知坐标建立坐标系，再进行判断即可． 【详解】解：∵“自”的坐标为，“贸”的坐标为， ∴可建立坐标系如下： ∴“港”的坐标为． 5．如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________． 【答案】 【分析】通过构造包含的直角三角形，利用面积割补法，将的面积转化为大直角三角形面积减去两个小三角形面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点， ，， 点的坐标为， ，， ， 点到的距离为，点到的距离为， ，， ∴． 6．如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由于两块是相同的含角的直角三角尺，可知和均为等腰直角三角形，过点作轴于点，易证也为等腰直角三角形．根据点的纵坐标为，结合勾股定理可以求得的长为，再在中运用勾股定理，求出斜边的长度为．由于两个三角尺相同，所以推出的长度也为，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 和是含角的等腰直角三角形， , , 为等腰直角三角形， 点纵坐标为，即 ． 由勾股定理，， ， 由勾股定理，． ， ， 点坐标为． 题型三 判断点所在的象限 7．若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点M在第二象限． 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由推导点横坐标的符号，结合纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴， ∵纵坐标， ∴点的坐标符号为，在第二象限． 9．在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限； B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限； C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限． 题型四 已知点所在的象限求参数 10．如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据轴上点的横坐标等于求出的值，再代入计算点的横、纵坐标，结合各象限内点的坐标符号判断点所在象限． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ，， 点的坐标为， 点在第二象限． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：点满足三个条件：在x轴上方，在y轴左方，在直线下方， 列不等式组， 解得． 12．若点在x轴上，点在y轴上，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，可得a+1=0，2b-1=0，即可求得a、b的值，据此即可求得． 【详解】解：点在x轴上，点在y轴上， a+1=0，2b-1=0， 解得a=-1，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特点，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标轴上点的坐标特点是解决本题的关键． 题型五 坐标系中描点 13．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 14．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 【答案】甲丙 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是在坐标系中正确的描点；在坐标系中描出A，B，C，D四个点，再观察四边形的形状即可得解． 【详解】解：甲同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 乙同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 丙同学：画坐标系并描点得，； 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 丁同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 综上所述，四个点的坐标都表示正确的同学有甲丙， 故答案为：甲丙． 15．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 16．青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，则点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点所在的象限确定坐标的符号，再结合点到两坐标轴的距离大小进行判断． 【详解】解：由图可知，点位于第二象限，点的横坐标小于，纵坐标大于，故排除选项B、D． 观察图形可知，点到轴的距离大于到轴的距离， 点横坐标的绝对值大于纵坐标的绝对值． 选项A中，，，，符合题意； 选项C中，，，，不符合题意． 故选A． 17．清明节假期，玉渊潭公园迎来大批游客赏花探春，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若表示樱报春的点的坐标为，表示中堤桥的点的坐标为，则表示远香园的点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据表示樱报春的点的坐标和表示中堤桥的点的坐标确定原点和坐标轴的位置，建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则表示远香园的点的坐标为． 18．在实际问题中，我们可以建立平面直角坐标系描述物体的位置，还可以用方向和距离描述物体的位置．七（1）班同学到公园春游，对着景区示意图，同学们描述各景点的位置，图中小正方形的边长为，且湖心亭的坐标是，音乐台的坐标是，下列描述正确的是（     ） ①西门的坐标是；②南门的坐标是；③游乐园在中心广场西南方向约处；④牡丹园在中心广场东北方向约处． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据湖心亭和音乐台的坐标建立平面直角坐标系，则可得到西门和南门的坐标，据此可判断①②；根据题意可得游乐园在中心广场东南方向，据此可判断③；等腰直角三角形可以是两个完全相同的等腰直角三角形拼成（），则，利用等面积法求出的长即可判断④． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系， ∴西门的坐标是，南门的坐标是，故①错误，②正确； 由题意得，游乐园在中心广场东南方向，故③错误； 如图所示，在等腰直角三角形中，， 而等腰直角三角形可以由两个完全相同的等腰直角三角形拼成（），则， ∴， ∴， ∴， ∴牡丹园在中心广场东北方向约处，故④正确； 综上所述，正确的有②④． 题型七 根据方位描述确定物体的位置 19．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【分析】平面内确定一个物体的位置需要两个独立的有序信息，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 20．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 21．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 题型八 求点到坐标轴的距离 22．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，那么点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作交于点，根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， 点的坐标是， ， 是的角平分线，，轴， ， 即点到的距离是． 23．如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点B在x轴正半轴上，且，为锐角，则四边形的面积为（     ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】过点C作轴，轴，说明，从而，根据点A坐标可求梯形与面积，即可求解． 【详解】解：过点C作轴，轴，垂足分别为，， 则， 点C的坐标是， ，， 在和中， ， 点A的坐标是， ， ， ， ． 题型九 坐标系中的平移 25．经过两点作直线，则直线（   ） A．经过原点 B．平行于x轴 C．平行于y轴 D．与y轴相交 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据平行于y轴的直线上两个不同的点的特征求解即可． 【详解】解：∵点A、B的横坐标相等，纵坐标不相等， ∴直线轴， 故选：C． 26．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 【答案】4 【分析】当正方形的顶点不是整点时，就能保证有更多的整点位于正方形内部． 【详解】解：正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有4个，如图所示． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 题型十 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 28．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向右平移个单位，横坐标加，再向下平移个单位，纵坐标减 ∴的横坐标为，的纵坐标为 ， ∴点的坐标为． 29．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，平移后点落在轴上，平移距离的最小值为点到轴的距离，计算点纵坐标的绝对值即可得到结果． 【详解】解：轴上点的纵坐标为， 点到轴的距离为， 平移后点落在轴上时，平移距离的最小值为． 30．在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 【答案】D 【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题． 【详解】解：由题意，点的坐标为（，）， 即：（，）， ∵点位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型． 题型十一 由平移方式确定点的坐标 31．将点向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：向左平移个单位，点的横坐标为； 向下平移个单位，纵坐标为， 则点的坐标为. 32．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 【答案】 【分析】根据轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为，平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上，进而可求坐标． 【详解】解：由轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为， ∵平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上， ∴得横坐标平移量为， 平移后点Q纵坐标为0， 得纵坐标平移量为， 因此点P平移后的纵坐标为， ∴点P平移后的对应点的坐标是． 33．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，将三角形沿x轴正方向平移至三角形，若，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，，由点的坐标及 结合图形确定平移距离，进而求出 和 的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， 将三角形 沿 轴正方向平移至三角形 ， 点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为， ，， 设平移距离为 ，则 ，，， 点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，，且由图可知点 在点 左侧， ， 解得 ， ，， 点 的坐标为 ， 四边形 的高为 ， ， 四边形 是梯形， ∴． 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 34．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【详解】解：∵点平移前坐标为，平移后坐标为， ∴横坐标不变，纵坐标减小1， ∴点的平移方向为向下． 35．平移线段到，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A和点的坐标得到平移方式，再根据平移方式即可得到点的坐标． 【详解】解：∵平移线段到，点平移后得到对应点， ∴平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度， ∵点B坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即． 36．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先确定平移方式，然后求解即可 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移时横坐标减3，纵坐标加4. ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为. 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 37．线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点A及其对应点的坐标得到平移方式，再计算点B对应点的坐标． 【详解】解：∵点平移后对应点的坐标为， ∴平移方式为线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即． 38．如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为． 39．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将平移，使点与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 40．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 41．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 42．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 题型十五 坐标系中的对称 43．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 44．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 45．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 题型十六 坐标与图形变化 —— 轴对称 46．点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据该规律求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标不变，且点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 47．已知点与点关于x轴对称，则a＋b的值为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 则． 48．如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 【答案】A点荷花向左平移1个单位长度 【分析】根据轴对称和平移的定义即可解答． 【详解】解：∵四个点中，点和关于y轴对称， ∴平移点A使得其与关于y轴对称， ∴平移A点荷花向左平移1个单位长度得到可实现目标．（答案不唯一） 题型十七 坐标系中的旋转 49．在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，点绕原点旋转后得到的点与点关于原点成中心对称，利用关于原点中心对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：根据关于原点成中心对称的点的坐标特征，横，纵坐标均互为相反数， 已知点的坐标为，可得点的坐标为． 50．如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明即可求解． 【详解】解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和，如图， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 51．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴． ∴， 由勾股定理得：． ∴点的坐标为． 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 52．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 53．已知点关于y轴对称的点的坐标为，那么n的值为__________，点A关于原点对称的点的坐标是_____________． 【答案】 【详解】解：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，点关于轴对称的点的坐标为， ， 点的坐标为， 关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数， 点关于原点对称的点的坐标是． 54．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 题型十九 已知两点关于原点对称求参数 55．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 56．若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 57．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征“横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为8． 题型二十 判断两个点是否关于原点对称 58．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴与点关于原点中心对称， 故选：A 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键． 59．在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意； D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点关于原点O的对称点是． 60．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 题型二十一 中点坐标 61．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 62．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据坐标轴上点的坐标特征，结合中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算的长度. 【详解】解：设点的坐标为， ，的中点在轴上，轴上点的横坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， ，的中点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， 点的坐标为， 由两点间距离公式得 . 63．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 题型二十二 坐标系中的动点问题 64．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 65．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 66．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ． 题型二十三 点坐标规律探索 67．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：根据题意得，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0， ∵， ∴点的纵坐标是0． 68．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． 69．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标变化规律，重难点在于通过观察前几个点的坐标，发现每个点为一个循环周期，并计算出每个周期内坐标和的增量，从而利用周期性规律求解问题． 【详解】解：由题意得，点，，，的坐标和为：， ，与，纵坐标相同，横坐标分别加，，与，纵坐标相同，横坐标分别加， ，，，的坐标和为：， 同理可得，，，的坐标和为：，… 题型二十四 用方向角和距离确定物体的位置 70．在如图所示的地图上，以地为参照点，地的位置可表示为（   ） A．北偏东，距离处 B．东偏北，距离处 C．北偏西，距离处 D．西偏北，距离处 【答案】C 【详解】解：以地为参照点，地的位置可表示为北偏西，距离处． 71．如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______．    【答案】（北偏东，17海里） 【分析】以为中心，来描述点的方向和距离，南与北相对，东与西相对，距离不变，角度不变，据此即可作答． 【详解】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里）， 故答案为：（北偏东，17海里）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 72．在仁怀市坛厂镇，有一块占地巨大的八卦田，以红高粱和油菜花为主体配合其他植物巧妙地勾勒出巨大的八卦图案．以木栈道按照八卦具体方位和角度向外修筑八条栈道，如图，是以八卦田中心为点O绘制的简易地图，若点A的位置用，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 【详解】解：如图，点A的位置用，即表示， 点B的位置用，即表示， ∴点的位置可以表示为，即． 解答题 1．按要求解答下列问题： (1)填表： (2)在平面直角坐标系中，画出以上表中每一列三个点为顶点的三角形，然后说明所得三角形与的位置关系． 【答案】(1)解：表格如下： (2)解：所有三角形如图所示： 所得三角形与的位置关系： 与关于轴对称； 与关于轴对称； 由向左平移个单位长度得到； 由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 是由以原点为中心，在第一象限内放大倍得到． 【分析】（1）根据表格要求依次填写即可； （2）先在坐标系中描点，再连接成三角形，结合图形分析位置关系即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． (1)若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （2）根据平移方式可得点的坐标，再描点，连线画图即可． 【详解】（1）解：∵无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）略 3．按要求完成各题 (1)如图①，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度，连接． ①m的值为__________； ②在x轴上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，把线段沿y轴向上平移得到线段，使线段恰好经过点C，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积首次为1时，求此时点N的坐标． 【答案】(1)①②或 (2)点的坐标为 【分析】（1）①根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； ②先确定出的面积，进而求出的面积，利用面积建立方程求解即可； （2）由首次重叠面积为1，列出方程可求解． 【详解】（1）解：①∵点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度，，， ∴， 解得； ②存在， ∵，， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 当点M在x轴上时， 设， ∴， ∴， ∴， ∴或； （2）解：由①得， ∵，， ∴点坐标为， 在长方形中，， ∴， ∵线段沿y轴向上平移2个单位得到线段，且， ∴，， 在长方形中，， ∴， 又根据题意得长方形和长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动， 设运动时间为秒，则点对应点为，，，， ∵两个长方形的高均为2，重叠部分是矩形， ∴重叠部分的高为2， 又第一次重叠的宽度为， ∵长方形和长方形重叠面积首次为1， ∴， 解得：， ∵， ∴点在线段上， ∴点的坐标为，即． 4．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，则称Q是点P的平移美点．如图，正方形，点，，，． (1)如图：直接写出点B、D的平移美点的坐标． (2)若点的平移美点在y轴上，求x的值． (3)已知点，若点M的平移美点为A，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据平移美点的定义求解即可； （2）根据题意得，据此求解即可； （3）由点的平移美点为，列二元一次方程组求解即可； 【详解】（1）将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q， 解：由题意得 点的平移美点为，即； 点的平移美点为，即； （2）解：点的平移美点的横坐标为， 由题意得， 解得； （3）解：∵点的平移美点为， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 5．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，求证：点是的中点． 【答案】(1)， (2)证明：， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)证明：如图3，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点． 【分析】（1）由非负数的性质可求得c、b的值，进而可得点B、C的坐标； （2）证明即可； （3）过点作于，过点作于，先证，得，再同理可证明，得，则有，进而再证明，则得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）略 （3）略 6．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平面直角坐标系专题通关讲义 一、基础核心概念 1.有序实数对 有顺序的两个数(a、b)组成数对记作(a,b)，“有序” 是关键： (2,3)和(3,2)代表平面内两个完全不同的点，不可颠倒顺序；有序实数对与平面内点一一对应。 2.平面直角坐标系定义 在同一平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 · 水平数轴：x轴（横轴），向右为正方向； · 竖直数轴：y轴（纵轴），向上为正方向； · 公共交点：原点O，坐标(0,0)。 3.建立平面直角坐标系的基本步骤 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点。 (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 x 轴和 y 轴。 (3) 定坐标系：确定 x 轴和 y 轴的正方向和单位长度，并分别标上 x、y。 4.点的坐标含义 (1).平面内任意一点对应唯一一对有序实数，记作 (x，y)。 (2).横坐标 x：点向 x 轴作垂线，垂足对应的数。 (3).纵坐标 y：点向 y 轴作垂线，垂足对应的数。 (4).书写规则：先横后纵，顺序不能颠倒。 知识点02:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点03:坐标轴上点的坐标特征 知识点04:特殊位置点的坐标特征（考试高频） 1.x 轴上的点：纵坐标一定为 0，坐标形式（x，0） 2.y 轴上的点：横坐标一定为 0，坐标形式（0，y） 3.原点：坐标（0，0），既在 x 轴也在 y 轴 4.一、三象限角平分线上的点：横坐标 = 纵坐标 5.二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 知识点06:点的平移规律（期末大题核心） 1、点的横纵坐标书写顺序颠倒 易错提醒：平面内点的标准坐标格式为(x,y)，横坐标在前，纵坐标在后；横坐标是该点向x轴作垂线对应的数值，纵坐标是该点向y轴作垂线对应的数值，书写坐标不可调换二者先后顺序。 2、各象限内点的符号记忆错误 易错提醒：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任意象限，解题时不可将坐标轴上的点归类至某个象限。 3、坐标轴上点的坐标特征辨识错误 易错提醒：x轴上点的纵坐标恒为0，坐标形式(x,0)；y轴上点的横坐标恒为0，坐标形式(0,y)；原点坐标为(0,0)，同时属于x轴与y轴，避免原点坐标书写错误。 4、求对称点坐标变换规则混淆 易错提醒：关于x轴对称，横坐标保持不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称，纵坐标保持不变，横坐标取相反数；关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数，严格依照变换规则进行运算。 5、点平移的坐标变化规律混淆 易错提醒：左右平移改变横坐标，遵循左减右加；上下平移改变纵坐标，遵循上加下减；左右平移只运算横坐标，上下平移只运算纵坐标，不可将加减运算错用到另一组坐标。 6、点到坐标轴距离忽略绝对值 易错提醒：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值；距离为非负数；已知距离反向求解坐标时，一般存在两组结果，切勿漏解。 7、平行坐标轴的两点距离计算错误 易错提醒：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，两点距离等于横坐标差值的绝对值；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，两点距离等于纵坐标差值的绝对值，距离计算必须添加绝对值。 8、自建坐标系时原点基准选取混乱 易错提醒：自行建立平面直角坐标系解题，原点位置、坐标轴方向一经确定不可中途变更；同一个点的坐标随坐标系选取发生改变，解题需严格遵从题干给出的坐标系原点设定。 9、坐标法求解图形面积处理不当 易错提醒：利用坐标求解几何图形面积优先选用割补法；计算线段边长必须取坐标差值的绝对值，边长不能取负值，不可直接代入带负号的坐标直接相减运算。 题型 考察方向 难度 题型一 用有序数对表示位置 ★ 题型二 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型三 判断点所在的象限 ★ 题型四 已知点所在的象限求参数 ★★ 题型五 坐标系中描点 ★ 题型六 实际问题中用坐标表示位置 ★ 题型七 根据方位描述确定物体的位置 ★★ 题型八 求点到坐标轴的距离 ★ 题型九 坐标系中的平移 ★★ 题型十 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十一 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型十五 坐标系中的对称 ★★ 题型十六 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型十七 坐标系中的旋转 ★★★ 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 ★★ 题型十九 已知两点关于原点对称求参数 ★★ 题型二十 判断两个点是否关于原点对称 ★★ 题型二十一 中点坐标 ★★ 题型二十二 坐标系中的动点问题 ★★★ 题型二十三 点坐标规律探索  ★★★ 题型二十四 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用有序数对表示位置 1．小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（     ） A． B． C． D． 2．在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对（列号，行号）确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：________． 3．小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 题型二 写出直角坐标系中点的坐标 4．如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________． 6．如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________． 题型三 判断点所在的象限 7．若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 已知点所在的象限求参数 10．如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是______． 12．若点在x轴上，点在y轴上，则（    ） A． B．0 C． D． 题型五 坐标系中描点 13．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 14．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 15．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 16．青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，则点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 17．清明节假期，玉渊潭公园迎来大批游客赏花探春，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若表示樱报春的点的坐标为，表示中堤桥的点的坐标为，则表示远香园的点的坐标为____________． 18．在实际问题中，我们可以建立平面直角坐标系描述物体的位置，还可以用方向和距离描述物体的位置．七（1）班同学到公园春游，对着景区示意图，同学们描述各景点的位置，图中小正方形的边长为，且湖心亭的坐标是，音乐台的坐标是，下列描述正确的是（     ） ①西门的坐标是；②南门的坐标是；③游乐园在中心广场西南方向约处；④牡丹园在中心广场东北方向约处． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型七 根据方位描述确定物体的位置 19．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 20．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 21．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 题型八 求点到坐标轴的距离 22．如图，在直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，那么点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，已知，则的面积是___________． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点B在x轴正半轴上，且，为锐角，则四边形的面积为（     ） A．12 B．16 C．18 D．20 题型九 坐标系中的平移 25．经过两点作直线，则直线（   ） A．经过原点 B．平行于x轴 C．平行于y轴 D．与y轴相交 26．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 题型十 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 28．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 29．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 30．在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 题型十一 由平移方式确定点的坐标 31．将点向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 32．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 33．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，将三角形沿x轴正方向平移至三角形，若，则四边形的面积为________． 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 34．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 35．平移线段到，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 36．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 37．线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 38．如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 40．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 41．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 题型十五 坐标系中的对称 43．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 44．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 45．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 题型十六 坐标与图形变化 —— 轴对称 46．点关于y轴对称的点的坐标是______． 47．已知点与点关于x轴对称，则a＋b的值为（     ） A． B． C．1 D．3 48．如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 题型十七 坐标系中的旋转 49．在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 50．如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 51．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 题型十八 求关于原点对称的点的坐标 52．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 53．已知点关于y轴对称的点的坐标为，那么n的值为__________，点A关于原点对称的点的坐标是_____________． 54．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 题型十九 已知两点关于原点对称求参数 55．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 56．若点和点关于原点对称，________． 57．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 题型二十 判断两个点是否关于原点对称 58．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 59．在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 60．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二十一 中点坐标 61．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 62．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 63．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 题型二十二 坐标系中的动点问题 64．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 65．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 66．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 题型二十三 点坐标规律探索 67．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 68．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 69．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 题型二十四 用方向角和距离确定物体的位置 70．在如图所示的地图上，以地为参照点，地的位置可表示为（   ） A．北偏东，距离处 B．东偏北，距离处 C．北偏西，距离处 D．西偏北，距离处 71．如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______．    72．在仁怀市坛厂镇，有一块占地巨大的八卦田，以红高粱和油菜花为主体配合其他植物巧妙地勾勒出巨大的八卦图案．以木栈道按照八卦具体方位和角度向外修筑八条栈道，如图，是以八卦田中心为点O绘制的简易地图，若点A的位置用，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．按要求解答下列问题： (1)填表： (2)在平面直角坐标系中，画出以上表中每一列三个点为顶点的三角形，然后说明所得三角形与的位置关系． 2．在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． (1)若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 3．按要求完成各题 (1)如图①，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度，连接． ①m的值为__________； ②在x轴上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，把线段沿y轴向上平移得到线段，使线段恰好经过点C，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，同时，动点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积首次为1时，求此时点N的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，则称Q是点P的平移美点．如图，正方形，点，，，． (1)如图：直接写出点B、D的平移美点的坐标． (2)若点的平移美点在y轴上，求x的值． (3)已知点，若点M的平移美点为A，求点M的坐标． 5．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，求证：点是的中点． 6．在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $