专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型归纳 题型一与面积有关的点的位置不定产生的多解 题型二利用面积公式求图形的面积 题型三利用补形或分割求图形的面积 题型四与图形面积相关的点的存在性问题 题型专练 题型一：与面积有关的点的位置不定产生的多解 1,(25-26七年级下福建福州期中)己知点A(-1,0),B(3,0),点C在y轴上，且△ABC的面积是8，点 C的坐标为() A.(4,0)或(-4,0) B.(0,4)或(0-4) C.(0,3)或(0，-5) D.(3,0)或(-5,0) 2.(2425八年级上甘肃张掖期中)已知0为坐标原点，△4B0关于x轴对称，点A(1,-2)、点B(1,2), 若在x轴上有一个点P,满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为() A.(8,0)或(-8,0) B.(2,0)或(-2,0) C.(6,0)或(-6,0) D.(4,0)或(-4,0) 3.(2425七年级下·湖北黄石阶段检测)在平面直角坐标系中，已知点A(m-4,m+2）,B(m-4,m), C(m,O),D(2,O),己知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍，则m的值为， 4.(25-26七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，有点A(4,6),点B(0,3),若在坐标轴上有一 点C(不与点B重合)，使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 5.(26-27八年级上河南郑州阶段检测)在如图所示的直角坐标系中，A,B,C,D都是网格中的格点. 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4 B -3 AV Γ5.-4-3.-2-19l 1.2.3.4.5x -2 -3引 (1)写出点B与点C的坐标； (2)求四边形ABCD的面积. (3)已知点P在y轴上，若Sm=Sm.则点P的坐标为· 题型二：利用面积公式求图形的面积 6.22-23八年级上重庆周测)如图，己知坐标系中四点A(0,1),B(-1,0),C(3,0),D(2,2),则四边形 ABCD的面积是() D(2,2) B 1O A.4 B.5.5 c.4.5 D.5 7.(25-26七年级下湖北武汉·期中)已知点00,0)，B(,2),点A在x轴上，且三角形0AB的面积是3， 则点A的坐标是 8.(2425八年级上广东佛山期中)如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是 A(0,0).B(3,6).C14,8).D(16,0). C(14,8) B(3,6) 1A(0,0) D(16,0) 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个四边形的面积， (2)在x轴上有一点P使得△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等，求点P坐标， 9.(25-26七年级下云南曲靖期末)在平面直角坐标系中，点A(0,2),B(4,2),C(4,-),D(0,-)构成一个 四边形. 5 3 3 5-4-3-2-10 1.2345x 3 -4 下--------- -5 (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状： (2)求四边形ABCD的面积： (3)若点P在x轴上，且SaP8C=S四边形BCD,求点P的坐标. 10.(25-26七年级下北京期中)如图，A(-1,0),C(1,4),点B在x轴上，且4B=4. A 5-4-3-210 12345x -3 =4 -5 (1)直接写出B的坐标 (2)求△ABC的面积； (3)在y轴上存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为8，求出点P的坐标. 题型三：利用补形或分割求图形的面积 11.(25-26七年级下广西贺州期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A(-4,0),B(6,0),C(2,4), 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(-3,2),在y轴上找一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为 B 12.(26-27八年级上：陕西西安阶段检测)如图，在边长为单位1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都 在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： A B (I)画出△ABC关于x轴对称的△4B,C,并写出点A、B、C的坐标； (2)算出△ABC的面积， 13.(26-27八年级上·安徽合肥阶段检测)如图，网格中一格为一个单位长度，把△ABC平移至△4BG, 点A(4,3)对应点4(-2,5) (①)画出△4BG,并写出B,G的坐标： (2)求△ABC的面积. 14.(26-27八年级上·湖南长沙阶段检测)如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(3,), 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(-2,-2) 3 2 5-4-3-2-2345 2 -4 5 (I)请在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的图形△DEF(A,B,C的对应点分别是D,E,F),并直接写 出点D,E,F的坐标； (2)求四边形ACFB的面积. 15.(26-27八年级上四川成都阶段检测)如图，己知△ABC的顶点分别为A(-2,2)、B(-4,5)、C(-5,) (I)作出△ABC关于x轴对称的图形△ABC: (2)写出点4，B,C的坐标： (3)求△ABC的面积. 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 16.(26-27八年级上·陕西西安阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，己知A(1,0、(0,m)、C(-2,0) 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三点，且线段AB=V5 (1)求△ABC的面积： (2)在坐标轴上是否存在点P(点P与点C不重合)，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等.若存在，求 出点P的坐标；若不存在，说明理由 17.(广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷)如图，在平面直角坐标系中，三角 形ABC的顶点坐标为A(-3,),B(-山，-2)，C(-5,-5),将这个三角形先向右平移6个单位长度，再向上 平移3个单位长度得到三角形ABC 5 3 1 1 2345 60 4 - 3 (1)画出三角形AB,C,并写出它的三个顶点的坐标： (2)在y轴上是否存在点D,使得三角形AB,D的面积等于三角形ABC面积的2倍，若存在，请求出点D的 坐标：若不存在，请说明理由。 18.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)已知：如图，平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 A(0,4)、B(0,-2)」 珠 m D B B 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若C点坐标为(5,0)，求三角形ABC的面积； (2②)直线m经过点D(0,2),且平行于x轴，问直线m上是否存在一点P,使三角形PAB的面积为6，若存在。 求出点P的坐标：若不存在，说明理由， 19.(26-27八年级上·河南郑州阶段检测)在平面直角坐标系中.△ABC三个顶点的位置如图所示. 3 12345x (I)直接写出点A、B、C的坐标。 (2)求△ABC的面积. 是否存在点p,使得Sp。SMBc,若存在请直接写出点p的坐标：若不有 20.(26-27八年级上全国单元复习)已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建 立平面直角坐标系（如图）后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，-)， (1)请以y轴为对称轴，画出与△ABC对称的△4BC,并直接写出点A,B,C的坐标. (②)点P(a+l,b-)与点C关于x轴对称，则a= ，b= (3)求出△ABC的面积， ④在y轴上是否存在一点p,使S.s=S.c,若存在，求出点p坐标；若不存在，说明理由。 717 专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型一 与面积有关的点的位置不定产生的多解 题型二 利用面积公式求图形的面积 题型三 利用补形或分割求图形的面积 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 题型一：与面积有关的点的位置不定产生的多解 1．B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 4．或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 5．(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据图象直接读出点的坐标即可； （2）结合图象将四边形分成三个三角形和一个矩形求解即可； （3）根据图象得出，设点，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）如图所示： 四边形的面积为：； （3）解：根据图象得：， ∴， ∵点P在y轴上， ∴设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点或． 题型二：利用面积公式求图形的面积 6．C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 7．或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 8．(1)94 (2)或 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴，过点C作轴， ∴这个四边形的面积 ； ． （2）解：设 ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴解得或， ∴或． 9．(1)如下图，四边形即为所求，该四边形为长方形 (2)12 (3)或 【分析】（1）根据四点坐标在坐标系中画出该四边形，然后判断其形状即可； （2）根据矩形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，设与轴交于点，则点坐标为，易得，然后根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴四边形的面积； （3）设点P的坐标为，如下图，设与轴交于点，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或． 10．(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：当点在点的左边时，， 当点在点的右边时，， 所以，点的坐标为或． （2）解：的面积． （3）解：设点到轴的距离为，则以、、三点为顶点的三角形的面积为， ∴， 解得， 当点在轴正半轴时，点的坐标为， 当点在轴负半轴时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 题型三：利用补形或分割求图形的面积 11．或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 12．(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）分别作出点关于x轴对称的点，再顺次连接即可，然后根据坐标系的特征即可写出点的坐标； （2）根据割补法求解面积． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 13．(1)， (2) 【分析】（1）根据点A和点的坐标可得平移方式，再由平移方式得到点，的坐标，据此作图即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵把平移至，点对应点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴，即， 画图见答案； （2）解：由题意得，． 14．(1)，，， (2) 【分析】（1）首先确定、、关于y轴的对称点、、的位置，再顺次连接即可，然后写出、、的坐标； （2）由图可以发现四边形的面积为与的面积和，即计算即可． 【详解】（1）解：画图略； ，，． （2）解：四边形的面积为：． 15．(1)如图，即为所求； (2)，， (3)5.5 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）中点，，的位置写出坐标即可； （3）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积． 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 16．(1) (2)存在，点 的坐标为 或 或 ． 【分析】（1）由 、 得 、，在 中用勾股定理结合 求出 ，再以 为底、 为高计算 的面积； （2）分点 在 轴与 轴两类，借助“同高则底相等”或面积公式计算，解得后舍去与点 重合的情形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，． 在 中，由勾股定理得 ，即 ，，． ∵点 在 轴正半轴上， ∴，．又 ． ∴． （2）解：存在满足条件的点 ． ①当点 在 轴上时，设 （）． 与 同高（高均为点 到 轴的距离 ），面积相等则底相等，故 ． ∵， ∴， 或 ． 时，点 与点 重合，舍去， ∴． ②当点 在 轴上时，设 ． 以 为底（在 轴上），高为点 到 轴的距离 ； 由面积公式 ，得 ， 即 ， 或 ， ∴ 或 ． 综上，满足条件的点 的坐标为 、 或 ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算与分类讨论思想．第（1）问利用勾股定理求出参数 ，再以“底×高”求面积；第（2）问按点 所在坐标轴分两类，借助“同高则底相等”或面积公式列方程求解，需检验并舍去与点 重合的情形，防止漏解． 17．(1)如图，三角形即为所求． ，，． (2)或 【分析】（1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形；根据图形即可得到三个顶点的坐标； （2）先利用割补法求出三角形的面积，设点D的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）作图略； 由图可得，，，． （2）解：由题意得三角形的面积， 设点D的坐标为， ∵三角形的面积等于三角形面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 18．(1)15 (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点坐标为， ∴三角形的面积； （2）解：根据题意设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 19．(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据图像直接写出坐标即可； （2）先过点、分别作轴于点，轴于点，再根据即可求解； （3）先根据点在轴上，设，过点分别作轴于点，再求出，结合三角形面积公式以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知：，，． （2）解：如图，过点、分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵，，， ∴． （3）解：由点在轴上，设， ∵， ∴， 如图，过点分别作轴于点， ∵点、点在轴上，且轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为，． 20．(1)如图所示，即为所求， ，， (2)3，2 (3) (4)存在，点或 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再写出三个点的坐标即可； （2）根据关于轴对称的点的特征即可解答； （3）根据三角形面积公式即可解答； （4）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：图略， 根据图形，可得，，； （2）解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； （3）解：的面积是； （4）解：设中边上的高为， ， ， 解得， ，， 点或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型一 与面积有关的点的位置不定产生的多解 题型二 利用面积公式求图形的面积 题型三 利用补形或分割求图形的面积 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 题型一：与面积有关的点的位置不定产生的多解 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 4．（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 5．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在如图所示的直角坐标系中，A，B，C，D都是网格中的格点． (1)写出点B与点C的坐标； (2)求四边形的面积． (3)已知点P在y轴上，若．则点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据图象直接读出点的坐标即可； （2）结合图象将四边形分成三个三角形和一个矩形求解即可； （3）根据图象得出，设点，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）如图所示： 四边形的面积为：； （3）解：根据图象得：， ∴， ∵点P在y轴上， ∴设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点或． 题型二：利用面积公式求图形的面积 6．（22-23八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 7．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，， (1)求这个四边形的面积． (2)在x轴上有一点P使得的面积与四边形的面积相等，求点P坐标． 【答案】(1)94 (2)或 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴，过点C作轴， ∴这个四边形的面积 ； ． （2）解：设 ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴解得或， ∴或． 9．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)如下图，四边形即为所求，该四边形为长方形 (2)12 (3)或 【分析】（1）根据四点坐标在坐标系中画出该四边形，然后判断其形状即可； （2）根据矩形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，设与轴交于点，则点坐标为，易得，然后根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴四边形的面积； （3）设点P的坐标为，如下图，设与轴交于点，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，，，点B在x轴上，且． (1)直接写出的坐标 (2)求的面积； (3)在轴上存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：当点在点的左边时，， 当点在点的右边时，， 所以，点的坐标为或． （2）解：的面积． （3）解：设点到轴的距离为，则以、、三点为顶点的三角形的面积为， ∴， 解得， 当点在轴正半轴时，点的坐标为， 当点在轴负半轴时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 题型三：利用补形或分割求图形的面积 11．（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 12．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在边长为单位1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (2)算出的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）分别作出点关于x轴对称的点，再顺次连接即可，然后根据坐标系的特征即可写出点的坐标； （2）根据割补法求解面积． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 13．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，网格中一格为一个单位长度，把平移至，点对应点． (1)画出，并写出，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点A和点的坐标可得平移方式，再由平移方式得到点，的坐标，据此作图即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵把平移至，点对应点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴，即， 画图见答案； （2）解：由题意得，． 14．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)请在坐标系中画出关于y轴对称的图形（A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出点D，E，F的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）首先确定、、关于y轴的对称点、、的位置，再顺次连接即可，然后写出、、的坐标； （2）由图可以发现四边形的面积为与的面积和，即计算即可． 【详解】（1）解：画图略； ，，． （2）解：四边形的面积为：． 15．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知的顶点分别为、、． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)5.5 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）中点，，的位置写出坐标即可； （3）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积． 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 16．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点，且线段． (1)求的面积； (2)在坐标轴上是否存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点 的坐标为 或 或 ． 【分析】（1）由 、 得 、，在 中用勾股定理结合 求出 ，再以 为底、 为高计算 的面积； （2）分点 在 轴与 轴两类，借助“同高则底相等”或面积公式计算，解得后舍去与点 重合的情形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，． 在 中，由勾股定理得 ，即 ，，． ∵点 在 轴正半轴上， ∴，．又 ． ∴． （2）解：存在满足条件的点 ． ①当点 在 轴上时，设 （）． 与 同高（高均为点 到 轴的距离 ），面积相等则底相等，故 ． ∵， ∴， 或 ． 时，点 与点 重合，舍去， ∴． ②当点 在 轴上时，设 ． 以 为底（在 轴上），高为点 到 轴的距离 ； 由面积公式 ，得 ， 即 ， 或 ， ∴ 或 ． 综上，满足条件的点 的坐标为 、 或 ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算与分类讨论思想．第（1）问利用勾股定理求出参数 ，再以“底×高”求面积；第（2）问按点 所在坐标轴分两类，借助“同高则底相等”或面积公式列方程求解，需检验并舍去与点 重合的情形，防止漏解． 17．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标为，，，将这个三角形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出它的三个顶点的坐标； (2)在y轴上是否存在点D，使得三角形的面积等于三角形面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)如图，三角形即为所求． ，，． (2)或 【分析】（1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形；根据图形即可得到三个顶点的坐标； （2）先利用割补法求出三角形的面积，设点D的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）作图略； 由图可得，，，． （2）解：由题意得三角形的面积， 设点D的坐标为， ∵三角形的面积等于三角形面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 18．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、． (1)若点坐标为，求三角形的面积； (2)直线经过点，且平行于轴，问直线上是否存在一点，使三角形的面积为6，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)15 (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点坐标为， ∴三角形的面积； （2）解：根据题意设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 19．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． (1)直接写出点、、的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据图像直接写出坐标即可； （2）先过点、分别作轴于点，轴于点，再根据即可求解； （3）先根据点在轴上，设，过点分别作轴于点，再求出，结合三角形面积公式以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知：，，． （2）解：如图，过点、分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵，，， ∴． （3）解：由点在轴上，设， ∵， ∴， 如图，过点分别作轴于点， ∵点、点在轴上，且轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为，． 20．（26-27八年级上·全国·单元复习）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系（如图）后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点，，的坐标． (2)点与点关于轴对称，则________，________． (3)求出的面积． (4)在轴上是否存在一点，使，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)如图所示，即为所求， ，， (2)3，2 (3) (4)存在，点或 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再写出三个点的坐标即可； （2）根据关于轴对称的点的特征即可解答； （3）根据三角形面积公式即可解答； （4）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：图略， 根据图形，可得，，； （2）解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； （3）解：的面积是； （4）解：设中边上的高为， ， ， 解得， ，， 点或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $