精品解析：上海市静安区新中高级中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

2026学年新中高级中学高二期中考试数学试卷 一、填空题（54分） 1. 一个棱台至少有______个面． 【答案】5 【解析】 【分析】根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解. 【详解】由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有个面． 故答案为：. 2. 在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分． 故答案为：8． 3. 在正四棱锥中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱锥的高等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先作出线面角，然后把该四棱锥的高放在一个直角三角形中求解. 【详解】如图所示，连接交于，并连接，根据正四棱锥的性质可知，平面，又与底面所成角的大小为，根据线面角的定义可知，为与底面所成角，即，解得，即正四棱锥的高为. 故答案为： 4. 在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 【答案】平行 【解析】 【分析】根据题意可得平面，由线面平行的性质即可得到结果. 【详解】因为，平面，在平面外，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 故答案为:平行 5. 已知P，Q分别是正方体的棱、上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是______． ①； ②平面平面； ③四面体的体积为定值； ④平面． 【答案】③ 【解析】 【分析】①利用线面垂直的判定定理证明平面即可；②根据平面平面判断；③根据A到平面的距离，到的距离为定值，的长不是定值判断；④根据平面平面判断． 【详解】如图正方体， 由于平面，平面，故，故①正确； 因为平面平面，而平面平面即平面， 故平面平面，故②正确； 四面体的体积即三棱锥的体积，其高为AB，为定值， 其底面积为,而 ,由于BC是定值，但PB长不定， 故底面积值不定，因此四面体的体积不是定值，故③错误； 因为平面平面，平面,故平面，④正确， 故答案为：③ 6. 我们知道在平面几何中，已知，，，是垂足，则．类比可得，已知三棱锥，平面，平面，为垂足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及线面垂直的判定定理及性质定理得，利用余弦得到，进而得到，可得出结论. 【详解】 如图，由已知得 平面，平面，， 平面，平面，， ，平面， 平面，， ， ， ， ， ， 故答案为： 7. 已知正四棱柱的底面边长是2，体积是16，则过，B，的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，利用切割法即可求解. 【详解】根据题意，如图，可知，面， 所以，即，故，故， 所以， ∴， ∴多面体的体积为． 故答案为：． 8. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围． 【详解】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是， 不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=， sin∠C1OA1= ， ∴的取值范围是. 【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题． 9. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， ， 四棱锥O−EFGH的高3cm， ∴． 又长方体的体积为， 所以该模型体积为， 其质量为． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 10. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果. 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 11. 在三棱锥中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图,取A为原点、AB和AS所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系. 则点, 故,. 于是,所求夹角的余弦值为. 故答案为 12. 过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有______条． 【答案】2 【解析】 【分析】由题可转化为过点A与，都成的直线有几条，即可判断. 【详解】在正方体中，与平面垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与、都成的直线有几条． 考虑到，夹角为，所以同一平面的角平分线与，的夹角大小为， 因为，从而存在两条直线满足条件．而，的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条件． 综上，满足条件的直线共2条． 故答案为：2. 二、单选题 13. 设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件， 由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行， 所以内两条相交直线都与平行是的必要条件． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误． 14. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为，故选B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 15. 用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则 ④若，，则 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】由平行的传递性可知，则①正确； 若，，则可能平行，则②错误； 若，，则可能相交，则③错误； 由线面垂直的性质可知，若，，则，则④正确； 故选：C 16. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于， 因此 从而 因为，所以即，选D. 【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 三、解答题（78分） 17. 在棱长为1的正方体中，E、G分别为棱和的中点． （1）求异面直线AE与DG所成的角； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答. （2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答. 【小问1详解】 在正方体中，棱长为1，连接，如图， 因为，分别为棱和的中点， 则， 因此四边形是平行四边形， 则，即是异面直线与所成的角或其补角， 在中，， 而正方体的体对角线， 由余弦定理得：， 又因为异面直线与所成的角为锐角， 所以异面直线与所成的角为. 【小问2详解】 在正方体中，平面， 即为三棱锥的高， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 18. 如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角． 【答案】（1） 由且， 可得，所以， 又由为的中点，所以， 因为为的中点，同理可得， 又因为且平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，证得，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可得到平面． （2）由，转化为与平面所成角，作，证得平面，得到即为与平面所成角，在等腰直角中，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，直线与平面所成角即为与平面所成角， 如图所示，在平面内，作，交的延长于， 因为和所在平面互相垂直，即平面平面， 又因为平面平面，平面且， 所以平面， 连接，可得即为与平面所成角， 因为，且，所以， 所以，即为等腰直角三角形， 所以，即直线与面所成角为． 19. 在平行六面体中，，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）在平行六面体中，， 因为平面，平面， 所以平面． （2）在平行六面体中，四边形为平行四边形，且， 所以四边形为菱形，则， 又因为，，则， 且，平面，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论； （2）先根据条件得菱形，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 【详解】解： (1) 因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)方法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH. 因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形， 所以AE＝GE＝AC＝GC＝. 取AG的中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， 所以∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM＝1，所以EM＝CM＝. 在△BEC中，由于∠EBC＝120°， 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二： 以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz. 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)， 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)． 设＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量， 由可得 取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量＝(3，－，2)． 设＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量． 由可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)． 所以cos〈〉＝＝. 故所求的角为60°. 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真. 21. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面． （1）证明：； （2）若，，，求三棱柱的高； （3）在（2）的条件下，求三棱柱的表面积． 【答案】（1） 连接，则为与的交点， ∵侧面为菱形，∴． ∵平面，∴． ∵，平面 , 平面 ∴平面． ∵平面，∴． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)要证,即证平面,由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质即可得证. (2) 要求三棱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点到平面的距离，即：作，垂足为，连接，作，垂足为,则由线面垂直的判定定理可得平面,再根据三角形面积相等：,可求出的长度，最后由三棱柱的高为此距离的两倍即可确定出高. (3) 利用反三角函数分别求出，，使用面积公式求出每一面的面积，得到表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为，连接，作，垂足为，如图． ∵，，，平面,平面, ∴平面，∴． ∵，，平面,平面, ∴平面． ∵，∴为等边三角形． ∵，∴， ∵，∴， 由，且 ，可得， ∵O为的中点，∴到平面的距离为， ∴三棱柱的高为. 【小问3详解】 解：易知，， ，， ， ∴，，，． ∴表面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年新中高级中学高二期中考试数学试卷 一、填空题（54分） 1. 一个棱台至少有______个面． 2. 在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 3. 在正四棱锥中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱锥的高等于______． 4. 在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 5. 已知P，Q分别是正方体的棱、上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是______． ①； ②平面平面； ③四面体的体积为定值； ④平面． 6. 我们知道在平面几何中，已知，，，是垂足，则．类比可得，已知三棱锥，平面，平面，为垂足，则______． 7. 已知正四棱柱的底面边长是2，体积是16，则过，B，的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积为______． 8. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________. 9. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 10. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 11. 在三棱锥中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 12. 过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有______条． 二、单选题 13. 设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一平面 14. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 15. 用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则 ④若，，则 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 16. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 三、解答题（78分） 17. 在棱长为1的正方体中，E、G分别为棱和的中点． （1）求异面直线AE与DG所成的角； （2）求三棱锥的体积． 18. 如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角． 19. 在平行六面体中，，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 20. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小. 21. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面． （1）证明：； （2）若，，，求三棱柱的高； （3）在（2）的条件下，求三棱柱的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $