精品解析：上海市静安区新中高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用线面平行的定义直接判断即可. 【详解】由，得直线与平面无公共点，而， 因此直线没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面 2. 已知向量平行于向量 ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 3. 在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 4. 已知向量 则与的夹角为_________ 【答案】120° 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 5. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 6. 已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为， 又，由可得， 所以圆锥的高. 故答案为：. 7. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积. 【详解】 设底面正方形两条对角线相交于O点， 由题可得,PO⊥底面ABCD. 在Rt△AOP中, ∵AO= AC= ,AP=2, ∴PO=. 故= 故答案为 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可； （3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用. （4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 8. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和， 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 9. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 【答案】6 【解析】 【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解. 【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC的面积为S，则S梯形S， 水的体积V水S×AA1＝6S， 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h， 则有V水＝Sh＝6S，得h＝6， 即当底面ABC水平放置时，液面高为6． 故答案为：6． 10. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值. 【详解】 如图所示，设， 取中点，连接，，则， 又， ， 四边形为矩形， ， 又为正三角形，为的中点， ， ，且，平面， 平面， 易知，则， 四边形为等腰梯形，高为， 在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， ， 即异面直线与的夹角余弦值为， 故答案为：. 二、单选题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求，结合投影向量的坐标运算求解. 【详解】因为，， 则，， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 12. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为，根据球、圆柱的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以球的体积，圆柱的体积， 所以. 故选：B 13. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点到平面的距离关于的表达式，分类讨论的取值范围求得三棱锥的体积，从而判断C；利用勾股定理求得为定值，从而判断Q的轨迹，进而求其长度判断D. 【详解】选项A，分别取中点，连接， 由与，平行且相等得平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面， 所以平面平面， 当时，平面， 所以平面，即点轨迹是线段，故A正确； 选项B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 若平面，则， 所以存在，使得，则，解得， 因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，故B正确； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时， 三棱锥的体积最大，又， 则到平面的距离为， 当时，，则当时，有最大值； 当时，，则当时，有最大值， 综上，当时，取得最大值1， 即与重合时，取得最大值，三棱锥的体积最大，故C正确； 选项D，平面平面，所以， 所以， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是， 则其轨迹长度为，故D错误. 故选：D. 三、解答题（共4题，共48分） 14. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 15. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． （1）求与所成角的余弦值； （2）求点E到平面C的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算求异面直线的夹角； （2）根据三垂线定理说明线面垂直得到面的法向量，由空间向量的坐标运算求点面距离. 【小问1详解】 以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 根据题意， 所以， ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由三垂线定理有，且两直线都在面内，则⊥平面， 平面C法向量为，又=， 点E到平面C的距离d===. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 取中点，连接点为中点， . 底面是边长为2的正方形，为中点， . 四边形是平行四边形. ,平面平面 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，可证，进而平面； （2）根据已知可证平面，取中点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面夹角的向量公式可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面. 又底面是边长为2的正方形， 平面，平面，平面. 平面.又平面. . 底面是边长为2的正方形，， 为中点，. 又平面，平面， 平面. 取中点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面法向量为， 则 设平面法向量为， 则， ， 所以向量的夹角为，结合图形可知二面角为锐角， 所以二面角的大小为. 17. 如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明，，可证明相关结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，后由空间向量知识可得答案； （3）由题目信息可表示出平面的法向量，后由可解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； 【小问3详解】 假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 2. 已知向量平行于向量 ，则_______ 3. 在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 4. 已知向量 则与的夹角为_________ 5. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 6. 已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________. 7. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 8. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____. 9. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 10. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 二、单选题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 三、解答题（共4题，共48分） 14. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 15. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． （1）求与所成角的余弦值； （2）求点E到平面C的距离． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 17. 如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $