精品解析：上海市崇明中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年崇明中学高二学期期中考试 高二年级 数学试卷 一、填空题（共12小题；共54分） 1. 在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于,在可求得. 【详解】 画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 正方体 面, 与面所成的角为 不妨设正方体棱长为,故 在中由勾股定理可得: 故答案为:. 【点睛】本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题. 2. 在棱长为的正方体中，点为等边三角形中线上一点，记到平面、平面以及平面的距离的平方和为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作图找到到平面、平面以及平面的距离对应线段，结合，得到关于x的关系式，由二次函数性质求最小值. 【详解】由正方体的性质知：在平面、平面以及平面上的射影分别为， 又在上，故在平面、平面以及平面上的射影分别在线段上， 所以， 令，，且， 所以，，故， 当时，的最小值为. 故答案为： 3. 若一圆柱的侧面积为，则经过圆柱的轴的截面积为______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式得关系式，再根据圆柱的轴的截面积求结果. 【详解】设圆柱的底面面积半径为，高为，则，即， 因此圆柱的轴的截面积为 故答案为：6 【点睛】本题考查圆柱的侧面积与轴截面积，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1异面，且与AD1所成角为60°的面对角线共有__条． 【答案】4 【解析】 【详解】由正方体的性质可得， 与AD1所成角为60°的面对角线为A1C1，A1B, DC1 ,BD共4条． 故答案为4． 5. 若正四棱锥的体积为4cm3，底面边长为cm，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为___________（结果用反三角函数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出四棱锥的高，再构造三角形，根据线面角的定义求解. 【详解】如图， 正四棱锥P-ABCD中，过点P作平面ABCD于O，连接AO， 则AO是AP在底面ABCD上的射影，即为所求角； ，，，， ，； 故答案为： . 6. 如图，直三棱柱的侧棱，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式，即可得出结果. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，，， ， ∴，， 设平面A1BC的法向量为 则，即令z=1得，y=0， 所以点B1到平面A1BC的距离. 故答案为： 【点睛】本题考查了利用空间向量求点到面的距离问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案. 【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件， 综上可知截面的图形可能是①⑤. 故答案为：①⑤ 8. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角公式即得. 【详解】 由题意得∠CAB=45°，AB=， ∵， ∴ 又||===，||=1， ∴cos<>===. 故答案为：. 9. 如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】由线面平行的性质推证得////，即可说明四边形的形状. 【详解】因为，，则由确定的平面面， 又//，面，则//； 又，，则由确定的平面面， 又//，面,则//； 故//； 同理可得：//，故四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 10. 已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 【答案】10 【解析】 【详解】圆柱的侧面展开图是矩形 ， 如图所示， 则爬行的最短路程是 ． 所以 ，， 所以 ， 即爬行的最短路程是. 11. 设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为_. 【答案】 【解析】 【分析】在长方体中有，证明，证明，，根据琴声不等式证明 ，证明，据此即可求解. 【详解】设长方体的一个顶点出发的长、宽和高分别为，相应对角线长为， 则，， 注意到 ， 因为，均为锐角，所以，从而， 即，同理，， 又在上为凸函数， 由琴生不等式有 ， 则cos ≥，即sin ≤， 另一方面， ， 由均为锐角，则，从而， 又时，有→， 综上，≤. 故答案为：. 12. 已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】 【详解】如图 分别作于A,于C,于B,于D, 连CQ,BD则,, 又 当且仅当, 即点A与点P重合时取最小值. 故答案选C. 【点睛】 二、单选题（共4小题；共18分） 13. 在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与直线所成的角为 D. 直线与直线所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出可判断选项A；连接找出点在平面的投影O，设直线与平面所成的角为θ，由可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解． 【详解】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选项A正确； 连接，∵，∴四面体是正四面体， ∴点在平面上的投影为的中心，设为点O，连接，，则， 设直线与平面所成的角为θ， 则，故选项B错误； 连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C正确； ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D正确． 故选：B． 14. 如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，，，的方向 分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，， ∴，. ∴平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. ∵是平面的一个法向量， ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15. 已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 由是棱长均为的正三棱柱，是侧棱的中点， 故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 故点到平面的距离. 16. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 三、解答题（共5小题；共78分.） 17. 如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点.求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）直线与圆柱底面所成角的大小； （3）三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角； （2）进一步求出底面的法向量，再利用线面的夹角的应用求出结果． （3）利用锥体的体积公式的应用求出结果． 【详解】解：（1）以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为 于是 从而 因此，异面直线所成角的大小为 （2）由于是圆柱底面的一个法向量，又， 设直线与圆柱底面所成角的大小为则 于是，直线与圆柱底面所成角的大小为 （3）由于三棱锥的顶点到面的距离为 而 故 18. 在长方体中，，，点E是棱AB上的点，当. （1）求异面直线与EC所成角的大小； （2）求此时点C到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）平移直线找到异面直线所成的角，然后计算角的大小即可； （2）利用等体积法转化顶点即可求得点面距离. 【小问1详解】 在线段上取靠近点的三等分点， 连接，，如图，由平面几何的知识易知, 故或其补角即为异面直线与所成角， 由于,故为等边三角形， ，即异面直线与所成角为. 【小问2详解】 如上图所示，利用等体积法， ，设点到平面的距离为， 则， 即， 解得，即点到平面的距离为. 19. 已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面. 直线到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）根据线面角的知识求得直线与平面所成的角. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点到面的距离的定义求得直线到平面的距离. 【小问1详解】 连接， 由于平面，所以是直线与平面所成的角， 由于平面，所以， 因为，所以， 又为的中点，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，而是的中点，所以平面， 直线到平面的距离，等于到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 20. 已知圆锥SO的底面半径，高． （1）求圆锥SO的母线长； （2）圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）13 （2）；最大值为30 【解析】 【小问1详解】 ∵圆锥SO的底面半径，高， ∴圆锥SO的母线长； 【小问2详解】 作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中，，． 设圆柱底面半径为r，则，即． 设圆柱的轴截面面积为． ∴当时，有最大值为30． 21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、 为直径的球面交于点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点 到平面的距离． 【答案】（1）证明：由平面，平面，得，又， 平面，则平面，而平面， 于是，由在以为直径的球面上，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由球面的性质可得，再利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由在四棱锥中，底面是矩形，平面，得直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，而， 则， 所以直线与平面所成的角大小为． 【小问3详解】 由（2）知，，平面的法向量， 所以点 到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年崇明中学高二学期期中考试 高二年级 数学试卷 一、填空题（共12小题；共54分） 1. 在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则______． 2. 在棱长为的正方体中，点为等边三角形中线上一点，记到平面、平面以及平面的距离的平方和为，则的最小值为______． 3. 若一圆柱的侧面积为，则经过圆柱的轴的截面积为______ 4. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1异面，且与AD1所成角为60°的面对角线共有__条． 5. 若正四棱锥的体积为4cm3，底面边长为cm，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为___________（结果用反三角函数表示）． 6. 如图，直三棱柱的侧棱，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为_____. 7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）． 8. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____. 9. 如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______． 10. 已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 11. 设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin 的取值范围为_. 12. 已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ． 二、单选题（共4小题；共18分） 13. 在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与直线所成的角为 D. 直线与直线所成的角为 14. 如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 三、解答题（共5小题；共78分.） 17. 如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点.求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）直线与圆柱底面所成角的大小； （3）三棱锥的体积. 18. 在长方体中，，，点E是棱AB上的点，当. （1）求异面直线与EC所成角的大小； （2）求此时点C到平面的距离． 19. 已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 20. 已知圆锥SO的底面半径，高． （1）求圆锥SO的母线长； （2）圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、 为直径的球面交于点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点 到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $