5.1 导数的概念及其意义（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 课标要点 1.理解平均变化率与瞬时变化率的概念，会计算函数在某区间上的平均变化率。 2.理解导数的定义，能用定义求简单函数在某一点处的导数，会识别与变形差商极限式。 3.理解导数的几何意义，会求曲线上一点处的切线方程，并利用图象分析函数的局部变化。 学习重难点 重点： 1.平均变化率、瞬时变化率的概念及计算，导数的定义。 2.导数的几何意义，切线方程的求法。 难点： 1.差商极限式的识别与配凑（把极限式化归为导数定义）。 2.利用图象比较切线斜率与割线斜率的大小，体会以直代曲的思想。 知识点一 平均变化率 对于函数，设自变量从变化到（记），相应的函数值从变化到（记），则称为函数在区间上的平均变化率。 几何意义：平均变化率就是曲线上两点，的割线斜率。 （1）计算步骤 ①求函数值：算出与；②作差：；③作商：。运动问题中，平均速度就是位移函数的平均变化率：。 （2）线性函数的平均变化率 若，则在任意区间上的平均变化率都等于，即一次函数的变化是均匀的；平均变化率的绝对值越大，函数在这个区间上变化越快。 情境 平均变化率 实际意义 位移 这段时间内的平均速度 成本 产量增加时成本的平均变化 曲线 割线的斜率 这段区间上大致升降的快慢 特别提醒 平均变化率只与区间两个端点有关，反映的是整个区间上的大致快慢，不是某一点的变化快慢；是自变量的增量，可以为正也可以为负，但。 即学即练 1．（25-26高二下·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为． 知识点二 瞬时变化率与导数的定义 当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，这个确定的值就是函数在处的瞬时变化率，也就是导数，记作或，即 。 （1）用定义求导数的步骤 ①求增量：；②作商：并化简；③取极限：令，若极限存在，则极限值就是。 （2）由平均到瞬时 平均变化率当越小时，越能刻画附近的变化情况；取极限后得到的就是处的瞬时变化率。教材中抛物线在处的割线斜率随趋近于，即。 量 表达式 含义 函数值的增量 到之间的平均变化率 处的瞬时变化率（导数） 易错提醒 定义中的增量记号可以换成、等任何记号，本质不变；导数是极限值，是一个确定的数，不是“变化的过程”；只有极限存在，函数在该点才可导。 即学即练 2．（25-26高二下·四川广安·期末）一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该质点在时的瞬时速度， 所以该质点在时的瞬时速度为. 知识点三 导数定义的识别与差商变形 导数定义的一般形式：，其中是当时趋于且不等于的自变量增量。判断一个极限式是否为导数，关键看分母是不是“自变量的增量”本身。 （1）常见的等价形式与系数 ①； ②； ③； ④。 （2）配凑方法 先把分子改写成“”的形式，确定与自变量增量；再看分母是否恰为这个增量，若不是，通过恒等变形（加减项、同乘除系数）配凑成定义形式。含已知值时，常加减拆项。 极限式 与导数的关系 易错提醒 分母必须与分子中“自变量的增量”完全一致，否则要配凑；增量趋近于即可，与用什么记号无关。不是所有差商极限都能化为导数，分子分母必须含同一个点的函数增量。 即学即练 3．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由极限定义可知. 知识点四 导数的几何意义与切线方程 导数的几何意义：曲线在点处的切线的斜率，即。当点沿曲线无限趋近点时，割线无限趋近于确定位置的直线，这条直线就是曲线在处的切线。 （1）求切线方程的步骤 ①求导数值：；②定切点：切点为；③写点斜式：，化为一般式。 （2）“在一点处”与“过某一点”的切线 “在点处的切线”：一定是切点，只有一条；“过点的切线”：可以不在曲线上，也可以不是切点，可能有多条，需设切点，由“切线过”列方程解出。求出的切线条数要逐一检验。 （3）以直代曲 把点附近的曲线不断放大，曲线越来越接近直线，因此在一点附近可以用切线近似代替曲线，这就是“以直代曲”。切线斜率的大小刻画函数在该点附近变化（升降）的快慢。 类型 方法 注意 在点处 求，写点斜式 切点必须代入曲线检验 过曲线外一点 设切点，由斜率与过联立 可能有多条，逐一检验 平行于已知直线 令已知斜率 解出切点后再写方程 易错提醒 切线的斜率，切线方程点斜式不要漏掉切点坐标。“过一点的切线”中该点不一定是切点，可能有多条切线，必须逐一检验；切线与曲线的公共点不一定只有一个。 即学即练 4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】的导函数为，， 将代入导函数，得， 即曲线在处的切线斜率为2. 知识点五 导数的实际意义 导数是瞬时变化率，凡是“变化快慢”的问题都可以用导数刻画。运动学中，位移对时间的导数是瞬时速度；瞬时速度对时间的导数是瞬时加速度。 （1）常见的实际意义 ①在某点的导数表示关于在该点的瞬时变化率；②表示时刻水量、成本、浓度等量的瞬时变化快慢；③由图象估计瞬时变化率：作该点处的切线，用网格估计切线斜率。 （2）符号与大小 表示在附近函数增大，表示减小；越大，变化越快。比较两曲线在同一时刻变化快慢，比较对应点处切线斜率的绝对值即可。 函数 导数 实际意义 位移 瞬时速度（） 速度 瞬时加速度（） 浓度 时刻浓度的瞬时变化率 特别提醒 解释实际意义时要说清“在某时刻（附近），哪个量增大还是减小、变化快慢如何”；平均速度是位移的平均变化率，瞬时速度才是位移的导数。 即学即练 5．（25-26高二下·江苏扬州·期末）若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（     ） A．4秒时水池的排水量 B．4秒内水池的排水总量 C．4秒时水池排水量的瞬时变化率 D．4秒内水池排水量的平均变化率 【答案】C 【详解】由导数的实际意义可知，的实际意义是4秒时水池排水量的瞬时变化率. 题型01 平均变化率 典｜例｜精｜析 【例1】已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. 【变式1-2】若函数在上的平均变化率为11，则______． 【答案】10 【详解】， 则，解得． 题型02 图象与平均、瞬时变化率 典｜例｜精｜析 【例2】（多选）小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系如图所示，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A．对于，存在，使得 B．整个过程小明行走的速度一直在加快 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：由图根据导数的几何意义可得对于，存在，使得，故A正确； 对于B：由图结合导数的几何意义可知，小明行走的速度开始在段逐步加快，在段又逐步减慢，故B错误. 对于C：是处的切线斜率，是割线的斜率， 由图可知，处的切线比割线更陡，即切线斜率割线斜率，故，故C正确 对于D：设，由图延长线与的交点在点下方，可知， ，，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该质点在内的平均速度是. 【变式2-2】如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】因为单位时间内放水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 题型03 导数的定义与极限变形 典｜例｜精｜析 【例3】若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由导数的几何意义可知，函数在点处的切线斜率等于，因此. 根据导数的定义：, 令 ，当 时， ，，且 因此 . 即 . 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知函数满足，则______． 【答案】 【详解】由题意得 . 【变式3-2】已知，的值是______． 【答案】2 【详解】 题型04 用定义求导数 典｜例｜精｜析 【例4】已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据导数的定义，函数在处的导数为： . 当时，， ， 即， 化简整理得， 所以， 化简得. （2）由切线的点斜式方程：． 由（1）知，当时，，，代入得， 化简整理得切线方程为：. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】利用导数的定义可求得函数在处的导数为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 即函数在处的导数为． 【变式4-2】求函数（为常数）在处的导数. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，所以． 所以． 题型05 瞬时速度与加速度 典｜例｜精｜析 【例5】竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系. (1)求火箭在时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度.（请用导数的定义解答） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，； 当时，. 所以火箭在时间段内的平均速度为 ； （2）根据导数的定义知，火箭在时的瞬时速度为. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（多选）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【详解】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为 ，故B错误； 对于C，质点运动的速度为 ，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为 ，故D正确. 故选：AD. 【变式5-2】（多选）在某次足球比赛中，运动员甲带球突破，其运动路线可视为直线运动，且位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则（    ） A．在这段时间内，运动员甲的平均速度为 B．在这段时间内，运动员甲的平均速度为 C．运动员甲在时的瞬时速度为 D．运动员甲在时的瞬时速度为 【答案】BC 【详解】已知， 在这段时间内，运动员甲的平均速度如下， 为，故A错误； 在这段时间内，运动员甲的平均速度如下， 为，故B正确； 由，得， 运动员甲在时的瞬时速度为，故C正确； 运动员甲在时的瞬时速度为，故D错误． 题型06 切线方程（曲线上一点） 典｜例｜精｜析 【例6】已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即. 【变式6-2】函数的图象在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】函数在点处的切线的斜率为 ． 题型07 过一点的切线与倾斜角 典｜例｜精｜析 【例7】已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设切点的坐标为， 由，可得过点Q的切线方程为, 代入点坐标有:， 整理得：， 因式分解得：，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 故曲线经过点的切线方程为：或． （2）已知点处的切线的倾斜角的取值范围为， ，即， 解得或， 实数a的取值范围为． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 【变式7-2】（多选）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】AD 【详解】设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得； 当时，，得，所以或． 题型08 图象分析与以直代曲 典｜例｜精｜析 【例8】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设函数的图象上有两点， 经过点的切线分别为， 则直线的斜率依次为， ，， 由图可知直线的倾斜角， 因函数在上单调递增，故， 即. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图像可知，在上单调递增且增长得越来越慢，如图： 根据导数的几何意义可知，， 即． 【变式8-2】已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的部分图象可知处于函数单调减区间上，故； 处于函数单调增区间上，故， 又当函数递增时，随着x的增大，函数值的增加速度越来越大，即曲线切线的斜率越来越大， 结合，可得，故. 基础通关 一、单选题 1．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 2．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 3．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ） A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． 4．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数， 则. 5．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以， 所以. 二、填空题 6．已知曲线在其上一点处的切线与直线平行，则点的坐标为________，相应的切线方程为________． 【答案】 【详解】设切点的坐标为， 由题意得． 因为曲线在其上一点处的切线与直线平行， 所以该切线的斜率，解得，把代入，得，故， 切线方程为，即． 三、多选题 7．下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，可知当时，瞬时变化率为，故B错误 对于C： ，故C正确； 对于D： ，解得，故D正确； 四、解答题 8．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【详解】（1）已知曲线，先求导：, 验证点在曲线上：，点在曲线上． 求该点的切线斜率：, 由点斜式得：, 整理得切线方程：. （2）设切点为，即， 切点处的斜率：, 所以切线方程为， 切线过原点，即， 整理得，解得或． 当时，切点为，斜率，切线方程为： 当时，切点为，斜率， 切线方程为： 因此，过原点的切线方程为和． 9．已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： (1)判断函数的单调性 (2)割线的斜率 (3)点P处的切线方程 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)割线PQ的斜率是. (3)点P处的切线方程是. 【详解】（1）因为二次函数的对称轴是直线， 且函数的图像开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4， 所以点P的纵坐标是，点Q的纵坐标是，所以割线的斜率是. （3）因为函数，所以， 所以点P处的切线的斜率，从而点P处的切线方程是，即. 素养提升 1．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】 对于①和②，分别过点作函数的图象的切线， 由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，即②正确，①错误； 对于③，过点作直线，则直线的斜率为， 由图知，直线的倾斜角满足，故，即，故③正确； 对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接， 则，于是直线的斜率， 由图知直线的倾斜角满足，故，即，故④正确. 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 【答案】 【详解】因为抛物线和圆均关于轴对称， 所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，所以， 设，则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则，化简得， 因为， 所以 ． 当且仅当，即，即时，等号成立， 此时． 3．已知椭圆的上，下焦点分别为，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的直线交椭圆于两点，最小值为，则的值为___________，点是该抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则的值为___________ 【答案】 【详解】由题意得：当轴时，取最小值为，所以， 所以，所以，所以， 又抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，所以，即， 所以抛物线，即，所以，所以，， 所以切线方程为：，即，令， 解得，所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以， 故答案为：. 4．（多选）设函数，则下列说法正确的是（） A．当时， B．曲线关于点对称 C．若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D．若函数的导数为，的图象与轴交于，，三点，是函数图象上异于，，的一点，直线，，的斜率存在且分别为，，，则 【答案】BD 【详解】已知，求导得， 选项A： 设， 令，则， 于是，代入， 化简得：， 当时， ，所以；且，故， 两者相乘得，即，所以， 即时，不成立，选项A错误. 选项B：，， 因此，满足中心对称定义，曲线关于点对称B选项正确； 选项C：联立和，整理得： 恒为一个交点，要使总共有个不同交点，需二次方程有两个不等且不等于的实根： ； 排除为二次方程根：， 此时二次方程根为，仅2个交点， 而，说明包含了这个不符合的点，C选项错误； 选项D： 设三个零点为，由韦达定理得，对任意点， 斜率： 求和得： 又，故，D选项正确. 5．平面直角坐标系中，动点到直线的距离等于它到点的距离，记点的运动轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点，分别作，点处曲线的切线，，与交于点． (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【详解】（1）设，由题意则， 整理得，即：． （2）当时，，也即， 不妨设，，由，则，， 由，得，即， 根据题意直线的斜率存在，不妨设：， 联立，整理得， 由韦达定理和可得， 将代入中整理得， 解得或，即直线的方程为或． （3）设，由，则处的切线方程为， 因为在抛物线上，满足，代入上式得：， 再将代入得； 同理：，将代入得. 也即，均在直线上，也即直线：. 又因过点，则，也即点在定直线上． 当，也即曲线上点处的切线与直线平行， 得即为所求． 迁移创新 1．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 2．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，则函数图象关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去． 故， 则令，即，即函数的图象关于轴对称． 因为，， 所以， 令，则， 又，所以， 则， 即函数是周期为8的周期函数， 所以， 因为函数图象关于点中心对称和轴对称， 所以导数关于对称和点中心对称， 同理可得， 所以， 所以切线方程为，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 课标要点 1.理解平均变化率与瞬时变化率的概念，会计算函数在某区间上的平均变化率。 2.理解导数的定义，能用定义求简单函数在某一点处的导数，会识别与变形差商极限式。 3.理解导数的几何意义，会求曲线上一点处的切线方程，并利用图象分析函数的局部变化。 学习重难点 重点： 1.平均变化率、瞬时变化率的概念及计算，导数的定义。 2.导数的几何意义，切线方程的求法。 难点： 1.差商极限式的识别与配凑（把极限式化归为导数定义）。 2.利用图象比较切线斜率与割线斜率的大小，体会以直代曲的思想。 知识点一 平均变化率 对于函数，设自变量从变化到（记），相应的函数值从变化到（记），则称为函数在区间上的平均变化率。 几何意义：平均变化率就是曲线上两点，的割线斜率。 （1）计算步骤 ①求函数值：算出与；②作差：；③作商：。运动问题中，平均速度就是位移函数的平均变化率：。 （2）线性函数的平均变化率 若，则在任意区间上的平均变化率都等于，即一次函数的变化是均匀的；平均变化率的绝对值越大，函数在这个区间上变化越快。 情境 平均变化率 实际意义 位移 这段时间内的平均速度 成本 产量增加时成本的平均变化 曲线 割线的斜率 这段区间上大致升降的快慢 特别提醒 平均变化率只与区间两个端点有关，反映的是整个区间上的大致快慢，不是某一点的变化快慢；是自变量的增量，可以为正也可以为负，但。 即学即练 1．（25-26高二下·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 知识点二 瞬时变化率与导数的定义 当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，这个确定的值就是函数在处的瞬时变化率，也就是导数，记作或，即 。 （1）用定义求导数的步骤 ①求增量：；②作商：并化简；③取极限：令，若极限存在，则极限值就是。 （2）由平均到瞬时 平均变化率当越小时，越能刻画附近的变化情况；取极限后得到的就是处的瞬时变化率。教材中抛物线在处的割线斜率随趋近于，即。 量 表达式 含义 函数值的增量 到之间的平均变化率 处的瞬时变化率（导数） 易错提醒 定义中的增量记号可以换成、等任何记号，本质不变；导数是极限值，是一个确定的数，不是“变化的过程”；只有极限存在，函数在该点才可导。 即学即练 2．（25-26高二下·四川广安·期末）一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 知识点三 导数定义的识别与差商变形 导数定义的一般形式：，其中是当时趋于且不等于的自变量增量。判断一个极限式是否为导数，关键看分母是不是“自变量的增量”本身。 （1）常见的等价形式与系数 ①； ②； ③； ④。 （2）配凑方法 先把分子改写成“”的形式，确定与自变量增量；再看分母是否恰为这个增量，若不是，通过恒等变形（加减项、同乘除系数）配凑成定义形式。含已知值时，常加减拆项。 极限式 与导数的关系 易错提醒 分母必须与分子中“自变量的增量”完全一致，否则要配凑；增量趋近于即可，与用什么记号无关。不是所有差商极限都能化为导数，分子分母必须含同一个点的函数增量。 即学即练 3．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点四 导数的几何意义与切线方程 导数的几何意义：曲线在点处的切线的斜率，即。当点沿曲线无限趋近点时，割线无限趋近于确定位置的直线，这条直线就是曲线在处的切线。 （1）求切线方程的步骤 ①求导数值：；②定切点：切点为；③写点斜式：，化为一般式。 （2）“在一点处”与“过某一点”的切线 “在点处的切线”：一定是切点，只有一条；“过点的切线”：可以不在曲线上，也可以不是切点，可能有多条，需设切点，由“切线过”列方程解出。求出的切线条数要逐一检验。 （3）以直代曲 把点附近的曲线不断放大，曲线越来越接近直线，因此在一点附近可以用切线近似代替曲线，这就是“以直代曲”。切线斜率的大小刻画函数在该点附近变化（升降）的快慢。 类型 方法 注意 在点处 求，写点斜式 切点必须代入曲线检验 过曲线外一点 设切点，由斜率与过联立 可能有多条，逐一检验 平行于已知直线 令已知斜率 解出切点后再写方程 易错提醒 切线的斜率，切线方程点斜式不要漏掉切点坐标。“过一点的切线”中该点不一定是切点，可能有多条切线，必须逐一检验；切线与曲线的公共点不一定只有一个。 即学即练 4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点五 导数的实际意义 导数是瞬时变化率，凡是“变化快慢”的问题都可以用导数刻画。运动学中，位移对时间的导数是瞬时速度；瞬时速度对时间的导数是瞬时加速度。 （1）常见的实际意义 ①在某点的导数表示关于在该点的瞬时变化率；②表示时刻水量、成本、浓度等量的瞬时变化快慢；③由图象估计瞬时变化率：作该点处的切线，用网格估计切线斜率。 （2）符号与大小 表示在附近函数增大，表示减小；越大，变化越快。比较两曲线在同一时刻变化快慢，比较对应点处切线斜率的绝对值即可。 函数 导数 实际意义 位移 瞬时速度（） 速度 瞬时加速度（） 浓度 时刻浓度的瞬时变化率 特别提醒 解释实际意义时要说清“在某时刻（附近），哪个量增大还是减小、变化快慢如何”；平均速度是位移的平均变化率，瞬时速度才是位移的导数。 即学即练 5．（25-26高二下·江苏扬州·期末）若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（     ） A．4秒时水池的排水量 B．4秒内水池的排水总量 C．4秒时水池排水量的瞬时变化率 D．4秒内水池排水量的平均变化率 题型01 平均变化率 典｜例｜精｜析 【例1】已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】若函数在上的平均变化率为11，则______． 题型02 图象与平均、瞬时变化率 典｜例｜精｜析 【例2】（多选）小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系如图所示，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A．对于，存在，使得 B．整个过程小明行走的速度一直在加快 C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型03 导数的定义与极限变形 典｜例｜精｜析 【例3】若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知函数满足，则______． 【变式3-2】已知，的值是______． 题型04 用定义求导数 典｜例｜精｜析 【例4】已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】利用导数的定义可求得函数在处的导数为________． 【变式4-2】求函数（为常数）在处的导数. 题型05 瞬时速度与加速度 典｜例｜精｜析 【例5】竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系. (1)求火箭在时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度.（请用导数的定义解答） 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（多选）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【变式5-2】（多选）在某次足球比赛中，运动员甲带球突破，其运动路线可视为直线运动，且位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则（    ） A．在这段时间内，运动员甲的平均速度为 B．在这段时间内，运动员甲的平均速度为 C．运动员甲在时的瞬时速度为 D．运动员甲在时的瞬时速度为 题型06 切线方程（曲线上一点） 典｜例｜精｜析 【例6】已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数的图象在点处的切线的斜率为________． 题型07 过一点的切线与倾斜角 典｜例｜精｜析 【例7】已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式7-2】（多选）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 题型08 图象分析与以直代曲 典｜例｜精｜析 【例8】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 3．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ） A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 4．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 5．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 二、填空题 6．已知曲线在其上一点处的切线与直线平行，则点的坐标为________，相应的切线方程为________． 三、多选题 7．下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 四、解答题 8．已知曲线． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 9．已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： (1)判断函数的单调性 (2)割线的斜率 (3)点P处的切线方程 素养提升 1．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 2．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 3．已知椭圆的上，下焦点分别为，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的直线交椭圆于两点，最小值为，则的值为___________，点是该抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则的值为___________ 4．（多选）设函数，则下列说法正确的是（） A．当时， B．曲线关于点对称 C．若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 D．若函数的导数为，的图象与轴交于，，三点，是函数图象上异于，，的一点，直线，，的斜率存在且分别为，，，则 5．平面直角坐标系中，动点到直线的距离等于它到点的距离，记点的运动轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点，分别作，点处曲线的切线，，与交于点． (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)求的最小值． 迁移创新 1．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $