专题5.1 导数的概念及其意义（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.1 导数的概念及其意义（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 瞬时速度、平均速度】 2 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 2 【题型3 利用导数的定义解题】 3 【题型4 函数图象与导函数的关系】 4 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 5 知识点1 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【变式2-3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 知识点2 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（24-25高二下·吉林辽源·期末）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．10 B．3 C．6 D．8 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例6】（2025高二下·全国·专题练习）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 导数的概念及其意义（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 瞬时速度、平均速度】 2 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 3 【题型3 利用导数的定义解题】 5 【题型4 函数图象与导函数的关系】 7 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 9 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 10 知识点1 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【解答过程】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（    ） A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率的定义求解. 【解答过程】，则， 即列车运行10秒的平均速度为米/秒. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【解题思路】由瞬时变化率的定义求解即可. 【解答过程】， 所以． 故选：D． 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由平均变化率计算公式求解． 【解答过程】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解答过程】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】由函数的平均变化率定义进行求解． 【解答过程】由题意， ， ， 故． 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义可得结果. 【解答过程】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的定义可求. 【解答过程】由导数的定义得: ． 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【解题思路】借助导数定义计算即可得. 【解答过程】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 知识点2 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【解答过程】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B. 【变式4-1】（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解答过程】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义判断． 【解答过程】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【解答过程】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数的定义求得正确答案. 【解答过程】设， 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解. 【解答过程】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】因为， ， 所以斜率， ． 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二下·吉林辽源·期末）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．10 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【解题思路】根据导数的概念，先得到，再由导数的几何意义，即可得出结果. 【解答过程】因为，所以， 即， 因此曲线在点处的切线的斜率为. 故选：A. 【题型6 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例6】（2025高二下·全国·专题练习）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案 【解答过程】设， 所以 . 因为， 所以曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【解答过程】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1). (2)或. 【解题思路】（1）设出切点坐标，利用导数的定义求出切线的斜率，再求切线方程，将点的坐标代入，即可进一步求得切线方程； （2）根据导数公式求切点坐标，再求切线方程. 【解答过程】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【解题思路】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【解答过程】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $