第五章 导数的概念与运算讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第5章 导数及其应用 （一）导数的概念与运算 知识点1：平均变化率 1.函数平均变化率的概念 函数从到的平均变化率为________________ 2.平均变化率的几何意义 如图，，平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率。 3.瞬时变化率 （1）瞬时变化率的概念：函数在处的瞬时变化率为 注：瞬时变化率的物理意义是某时刻的瞬时速度。 （2）平均变化率与瞬时变化率的关系 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率，即平均变化率的极限值就是瞬时变化率。 瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。 知识点2：导数的有关概念 1、函数在一点处的导数 函数在处的瞬时变化率称为在处的__________，记作或，即=。 · 是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零. 导数定义可以写成多种形式： ① ② ③ ④ 2.导函数 对于函数，当时，是一个确定的数。当变化时，便是的一个函数，称它为的导函数（简称导数）。 的导数也记作，即= 知识点3：导数的运算 1、基本初等函数的导数公式（熟记） 基本初等函数 导函数 （为常数） f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) 特别地： 特别地： 2.导数的四则运算 导数运算法则： 1． 加法：_______________________________ 2、减法：_______________________________ 3、 乘法：_______________________________ 4、除法：_______________________________ 注意：①，这里为常数； ②． ③ 3.复合函数的导数－由外到内，逐层求导 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设则． 知识点4：导数的几何意义 1、导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义就是曲线在处的切线的斜率，即。 曲线在（或点）处的切线方程为：_______________________ 2.导数与切线的关系 函数在处的导数是曲线在处的切线的斜率，即。曲线的升降、切线与导数的关系如下表： 曲线在附近 切线斜率 切线的倾斜角 上升 为锐角 下降 为钝角 =0 平坦 =0 为零（切线与x轴平行） 3. 求切线方程可分为两类： （1）求曲线在某点(切点)处的切线 步骤：1)求； 2)点斜式求方程 （2）求过某点(非切点) 的切线 步骤：1)设切点，则 2)切线斜率为 3)点斜式求方程 4)将点代入（3），解 题型一：函数的变化率 例1.函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（ C ） A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋2 变式1.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为__6___ 题型二：利用定义法求导数（导函数） 例2-1.设在处可导，则（ C ）． A． B． C． D． 变式2-1.设函数的导函数为，若，则等于（ D ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 变式2-2.设函数在处可导，若，则_________ 【答案】12 【详解】，， . 例2-2.利用导数的定义求函数的导数： (1)f(x)＝在x＝4处的导数； (2)f(x)＝. 题型三：利用导数公式或运算法则求函数的导数 例3.求下列函数的导数： （1） （2）y＝； （3） （4） （5） （6） 题型四：切线方程 例4.已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数过点处的切线方程. 解析（1）由已知，则，故切线方程为，即 （2）设切点为，则切线方程为， 代入点可得，解得或又， 故切线方程为或即切线方程为或 变式4-1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 解：∵的导数为，∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．故选：C． 变式4-2.若曲线（）在处的切线与直线平行，则（ ） A． B． C． D．2 【详解】由可得，又曲线在处的切线与直线平行，且直线的斜率为2，则，解得.故选：A. 变式4-3.已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为过P点的切线与直线平行，解得当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即.所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C 变式4-4.已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【详解】设切点为，则，切线斜率为 所以切线方程为，因为过点 则 解得或，所以切线方程为或故选：C 1.函数的导数为（ ） A． B． C． D． .故选：D. 2.已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由求导得：，而函数的图像在点处的切线方程为，，因点在直线上，即，于是得，因此有：，解得， 所以.故选：D 3.如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ） A．1 B．0 C．2 D．4 【详解】将点代入直线的方程得，得，所以，由于点在函数的图象上，则，对函数求导得，∴，故选A． 4.（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即. 故选：AB 5.（多选题）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．瞬时速度为切线斜率，故B错误．在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，故C正确．同理D正确．故选：CD 6.（多选题）以下函数求导正确的是( ) A．若，则 B．若则 C．若，则 D．设的导函数为，且，则 【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确．故选：ACD. 7.（多选题）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（ ） A． B． C． D． 【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB 8.若，则＝_______2___ 9.已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为__________. 【详解】由题设，，x∈(0,＋∞).又y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝=0，可得k＝1.故答案为：1 10.已知函数，则__-2______. 11.求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）. （5）y＝； （6）y＝x·； （7）y＝lg(2x2＋3x＋1)； （8）y＝. （1）解：方法一：，所以，.方法二：由导数的乘法法则得 . （2）解：根据题意把函数的解析式整理变形可得， 所以，. （3）解：根据求导法则可得 . （4）解：根据题意，利用求导的除法法则可得 . （5）设u＝1－3x，则y＝，∴y′x＝y′u·u′x＝··(1－3x)′＝··(－3)＝； （6）y′＝x′·＋x·()′.设t＝，u＝2x－1，则t＝，t′x＝t′u·u′x＝··(2x－1)′＝××2＝.∴y′＝＋＝. （7）设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u， ∴y′x＝y′u·u′x＝×(2x2＋3x＋1)′＝； （8）设u＝，v＝2x＋，则y＝u2，u＝， ∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·′＝2·cos·2＝4cos＝. 12.已知函数. （1）求导函数； （2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值. 1）由，得； （2）因为切点既在曲线上，又在切线上， 于是将代入切线方程，得，又，则，解得， 而切线的斜率为，即，又，则，解得， 所以，. 13．已知函数． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图像在点处的切线方程． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 高二 选修第5章导数及其应用 (一)导数的概念与运算 知识梳理 一一—— 知识点1：平均变化率 y◆ f B-y=f) 1.函数平均变化率的概念 fuFf() f() 函数y=f(x)从x到x,的平均变化率为 2.平均变化率的几何意义 如图，Ay=f)-fG)-BC =tan∠BAC,平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的 △x x2-x AC 斜率。 3.瞬时变化率 (1)瞬时变化率的概念：函数y=f(x)在x=x。处的瞬时变化率为lim Ay=lim f(x+△x)-f(x) △r→0△x△x→0 △x 注：瞬时变化率的物理意义是某时刻的瞬时速度。 (2)平均变化率与瞬时变化率的关系 当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x,点的瞬时变化率，即平均变化率的极限值就是瞬时变化率。 瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。 知识点2：导数的有关概念 1、函数在一点处的导数 函数y=f)在x=x,处的瞬时变化率imAy=1imf+△)-f称为y=f(x)在x=x,处 r-0△x △x 的 △y 记作f'(x)或ylx=,即f'(xo)=lim lim f(x+△x)-f(x) △r→0Ax x0 △x √△x是增量，我们也称为“改变量”，因为△x可正，可负，但不为零 导数定义可以写成多种形式： 第1页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ①f)=m+-f) h ②f'x)=1imfx,-)-fx) -h (x)=lim I+A)-f(xo) ④f'(xo)=lim f(x)-f(xo) A △x x→0X-X0 2.导函数 对于函数y=f(x),当x=x。时，f'(x)是一个确定的数。当x变化时，f'(x)便是x的一个函数， 称它为y=f(x)的导函数（简称导数）。 y=f(x)的导数也记作y,即f'(x)=y'=lim f(x+△x)-f(x) △x-→0 △x 知识点3：导数的运算 1、基本初等函数的导数公式（熟记） 基本初等函数 导函数 f(x)=c(C为常数) fx)=xa(a∈Q,且a40) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=a(a>0,a≠1) 特别地：f(x)=e f(x)=log。x(a>0,a≠1) 特别地：f(x)=lnx 2.导数的四则运算 导数运算法则： 1.加法： 2、减法： 3、乘法： 4、除法： 注意：①[C·f(x)]'=Cf(x),这里C为常数； ②[1Jr=-8 g(x)≠0) g(x)g'(x) ③[f(x)f(x)…fn(x]'=f(x)f2(x)…fn(x)+f(x)f2(x)…fn(x)+…+f(x)f(x)…fn(x) 3.复合函数的导数一由外到内，逐层求导 第2页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 复合函数对自变量的导数等于己知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积.即 设y=f(u),u=g(x),则y'=f'(u)g'(x). 知识点4：导数的几何意义 1、导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x。处的导数∫'(x。)的几何意义就是曲线f(x)在x=x。处的切线的斜率，即 k=f'(x)。 曲线y=f(x)在x=x。(或点(xo,f(xo》)处的切线方程为： 2.导数与切线的关系 函数y=f(x)在x=x。处的导数f'(x。)是曲线f(x)在x=x,处的切线的斜率，即k=f'(x,)。曲线 的升降、切线与导数的关系如下表： f'(x) 曲线f(x)在x=x。附近 切线斜率k 切线的倾斜角 >0 上升 >0 为锐角 <0 下降 <0 为钝角 =0 平坦 =0 为零（切线与x轴平行） 3.求切线方程可分为两类： (1)求曲线∫(x)在某点（切点）(x,)处的切线 步骤：1)求k=f'(x): 2)点斜式求方程y-y,=f'(x)x-x) (2)求过某点（非切点）(x,y)的切线 步骤：1)设切点(x,y)，则y=f(xo) 2)切线斜率为k='(x) 第3页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3)点斜式求方程y-y=f'(x)x-x) 4)将点(x,y)代入(3)，解x 题型分析 题型一：函数的变化率 例1.函数fx)=2x在x=1附近（即从1到1+△x之间）的平均变化率是(） A.2+△x B.2-△x C.2 D.(△x)2+2 变式1.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为0=2+2什3，则该物体在=2时的 瞬时速度为 题型二：导数（导函数） 例2-1设fx)在x=6处可导，则m。+-x-=（). 2h A.2f'(xo) B.f(x)C.f'(xo) D.4f'(xo】 变式2-1.设函数e的导函数为f,若f(x)=-2,则四 k A.-2 B.-1 C.2 D.1 变式2-2.设函数y=∫(x在x=x处可导，若im fx,+△-fx=6,则f"(x)= Ax-0 2△x 例2-2.利用导数的定义求函数的导数： (1)fx)=1rx)在x=4处的导数； (2)fx)=1x+2. 第4页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 题型三：利用导数公式或运算法则求函数的导数 例3.求下列函数的导数： (1)y=(2x3+1)3x2+x) y-0-2+2 (3)y=x·sinx (4)y=(2x2-5x+1)e (5)y=4 X (6)y=(1+sin2x)2 题型四：切线方程 4.已知函数f(x)=x3 (1)求函数在点A1,1)处的切线方程； (2)求函数过点B(1,0)处的切线方程. 第5页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式4-1.已知函数f(x=x21nx-2x+1,则曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程为() A.2x+y-1=0B.x-y-2=0 C.x+y=0 D.x-2y-4=0 变式4-2.若曲线y= =血x-m2(aeR)在r=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，则a=（） B.1 C. D.2 4 变式4-3.已知曲线y=x3+3x在点P处的切线与直线y=15x+3平行，则点P的坐标为() A.(2,14) B.(-2,-14) C.(2,14)或(-2，-14)D.以上都不对 变式4-4.己知f(x)=x2,则过点P(-1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为() A.y=0 B.4x+y+4=0 C.y=0或4x+y+4=0 D.y=0或4x-y+4=0 第6页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.函数y=xn(2x+5)的导数为() A.y'=2xIn(2x+5) B.y=-x 2x+5 C.y=ln(2x+5)+,x 2x+5 D.y'=n(2x+5到+，2x 2x+5 2已知函数f八倒=X6(a.6eR,且6：1)的图像在点(-L-)处的切线方程为x+2y+5=0,则 a+b=() A.19 5 B._19 D.13 5 C.13 5 5 3.如图，y=f(x)是可导函数，直线1：y=+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=f(x),g(x) y 是g(x)的导函数，则g'(3)-3f'3=() y=f(x) y=k+22 A.1 B.0 C.2 D.4 4.(多选题)已知函数f(x)的图象如图所示，∫'（x)是∫(x的导函数，则下列数值的排序正确的是() A.f'3<f'2 B.f'(3)<f(3)-f(2 C.'(2)<f(3)-f(2) D.f(3-f(2)<0 01234x 5.(多选题)如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是() A.在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 甲 第7页共10页 So to t1 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ B.在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 6.（多选题)以下函数求导正确的是() A.若fx)=,则f= 4x x2+11 (x2+1 B.若f(x)=e2r则f'(x=e2 .若=2可，则=2 D.设的导函数为f川，且=42，则2=号 7.(多选题)已知曲线f()=】,则过点(-1,3)，且与曲线y=f(x相切的直线方程可能为() A.y=-x+2 B.y=-9x-6C.y=-8x-5 D.y=-7x-4 8.若f(x)=x2,则lim f(x)-f(1) x→1x-1 9已知函数=+xk为常数，e=271828.是自然对数的底数，曲线y=)在点1,1)处的切线 与x轴平行，则k的值为 10.己知函数f(x)=x2+2f'(1)x-3,则f'(1)= 11.求下列函数的导数 (1)y=2x2-1(3x+1); (2)y= x2-x+1 x+x+1i (3)y=3e-2+e; 第8页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (4)y=Inx (5)y=1-3x (6)y=x√2x-1; x2+1 (7)y=lg(2x2+3x+1): (8)y=sin2(2x+) 3 12.已知函数f)=aenx+be (1)求导函数f(x): (2)若曲线y=f(x)在点(L,f)处的切线方程为y=(x+I),求a,b的值. 第9页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 13.已知函数y=xlnx. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图像在点x=e处的切线方程. 第10页共10页