专题01 直线与圆的位置关系（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题01 直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 题型1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（重） 题型2 切线的证明：有切点，连半径，证垂直（高频） 题型3 切线的证明：无切点，作垂直，证半径（高频） 题型4 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 题型5 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． ◆题型2 切线的证明：有切点，连半径，证垂直 4．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积和周长． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． ◆题型3 切线的证明：无切点，作垂直，证半径 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 9．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． ◆题型4 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 11．（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，已知的三边，，． 是的内切圆，与边，，分别切于点，，．设半径为． (1)求半径的值； (2)求阴影部分的面积． 12．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． ◆题型5 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 14．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 15．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 4．如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 5．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 二、填空题 6．如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 7．如图，⊙是的内切圆，，则 ． 8．如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 9．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 10．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 三、解答题 11．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 12．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 13．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 14．如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)求的长． 17．如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 18．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 题型1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值（重） 题型2 切线的证明：有切点，连半径，证垂直（高频） 题型3 切线的证明：无切点，作垂直，证半径（高频） 题型4 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 题型5 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 【答案】相离 【分析】先求出斜边的长度，再利用三角形面积公式求出圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小，即可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：过点作于点． ∵，，， ∴由勾股定理得 . ∵， ∴， ∴， 即圆心到直线的距离． ∵， ∴直线与相离． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． 【答案】 相切 相交 【分析】过点M作于点N，根据直线与圆的位置关系，逐个进行分析求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点M作于点N， ∵ 在中，， ∴射线与的位置关系是相切． （2）∵与射线没有交点， ， ∴r的取值范围是． （3）∵， ∴， ∴射线与的位置关系是相交． ◆题型2 切线的证明：有切点，连半径，证垂直 4．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积和周长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵为直径， ， ∵， ， 又， ∴为的中位线， ； ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； (2)面积为；周长为 【分析】（1）连接，可证明，则可证明，可推出为的中位线，进而证明，据此可证明是的切线； （2）由直角三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；过点O作于点G，则，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 如图所示，过点O作于点G，则， ∴， ∴阴影部分面积， 阴影部分的周长． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 6．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． ◆题型3 切线的证明：无切点，作垂直，证半径 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 【答案】(1)证明：如答图，作于点E，连接，． ，O为的中点， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， 即为半径， 是半圆O的切线． (2)半圆O的半径是3 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得出，则此题可证； （2）先说明是等边三角形，再求出，并根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等边三角形， ． 为的中点， ，平分． 平分， ． 在中， ， ， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， ， ． 故半圆O的半径是3． 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F． ∵四边形是菱形， ∴平分． ∵与相切于点E， ． 又， ， ∴是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证； （2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点． ， ． 由（1）知， ． 又， ， ． 在中，， 由勾股定理，得， 即的半径为． 9．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． ◆题型4 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 11．（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，已知的三边，，． 是的内切圆，与边，，分别切于点，，．设半径为． (1)求半径的值； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，求不规则图形的面积． （1）连接，根据切线的性质得到，进而根据等面积法求解即可； （2）由（1）知，可证四边形是矩形，根据证明四边形是正方形，进而可求阴影面积． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵与边分别相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ． 12．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． ◆题型5 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 14．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 【答案】(1) (2)的半径为 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得，设，则有，进而求解即可； （2）连接，过点A作于点H，由题意易得，设，则，然后根据勾股定理可得，进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：，，的半径为，然后可得，则有，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴， 设，且， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，过点A作于点H，如图所示： 由题意得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：，，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴与围成的劣弧的弧长为． 15．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 2．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 3．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 4．如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的直径所对圆周角是直角，切线的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 是的直径，是的切线，为切点，，连接，，得，，可知，，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 根据题意得，， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 二、填空题 6．如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 7．如图，⊙是的内切圆，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 9．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 【答案】 【分析】设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、，由正方形的性质和切线的性质，可得四边形是矩形，由矩形的性质和同圆半径相等，可得与之间的关系，由垂径定理可得，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、， 四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 10．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 三、解答题 11．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， 在中，； （2）解：是的内切圆， ，，， 设，，， 又，，， ， 解得， ． 12．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明； （2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的半径， ∴是半圆O的切线． （2）解：∵，， ∴，， ∵在中，，. ∴， ， 即， 解得． 13．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 14．如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案． （2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出， 再利用垂径定理求值即可． 【详解】（1）解：连接，． 与相切， ． 在中，， ． ． （2）解：过点作于点，连接． 设的半径为，则． ， ． 在中， ， ． ． 解得：． 为的弦， ． ， 四边形为矩形． ． 在中， ， ． ． 15．如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义，即可求解； （2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得，由同弧所对的圆周角相等得，结合平行线的性质得，即可得证； （3）由正弦函数得，， ，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：的半径为5， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由可得，即可求证； （）连接，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明，可得，，即得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：连接，设，则， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键； （1）可证，则由定理可证明结论； （2）连接，根据垂径定理可得，根据全等三角形的性质可得，从而证明是等边三角形，由直角三角形的性质即可求解； （3）根据是等边三角形，可得，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：是的直径， ． ， ； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 18．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01直线与圆的位置关系 内容概览 目常考题型精准突破 题型1已知直线和圆的位置关系求半径的取值（重） 题型2切线的证明：有切点，连半径，证垂直（高频） 题型3切线的证明：无切点，作垂直，证半径（高频） 题型4直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 题型5一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1.相离 2.-V2≤a≤V2 3.相切 0<r<3 相交 ◆题型2切线的证明：有切点，连半径，证垂直 4. 【答案】(1)证明：连接OD,如图： E C AB为直径， .∠ADB=90° .AB=AC, 1129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD=CD, 又OA=OB, ∴.OD为△ABC的中位线， .OD∥AC; :DE⊥AC, ∴∠DEC=90°， .∠ODE=∠DEC=90°， .DF⊥OD .OD是⊙0的半径， .DF是⊙O的切线； 2 22 (②面积为了-V5:周长为 【分析】(1)连接OD,可证明∠ADB=90°，则可证明BD=CD,可推出OD为△ABC的中位线，进而证 明∠ODE=∠DEC=90°，据此可证明DF是O0的切线： (2)由直角三角形的性质得到AD=OA=AF=OD=2,则可证明△AOD是等边三角形，得到∠AOD=60°， 过点O作OG⊥AD于点G,则AG=DG=1,OG=V3,再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：∠ODF=90°，OA=AF, .AD=OA=AF=OD=2. ∴△AOD是等边三角形， ∴.∠AOD=60° 如图所示，过点0作OG1AD于点G,则4G=DG)4D=1, ○ .0G=V0D2-GD2=V5, ·阴影部分面积=S形O0-SAOD 60m×22_1 2x5-2-5, 36021 3 2129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 阴影部分的周长 60mx2+2=2红+2. 180 3 5. 【答案】(1)证明：连接OC, B E 是 的直径， 是 的切线， D C :AB⊙O BD⊙O .AB⊥BD. .∠ABD=90°， :∠BOC=2∠BAC,∠BDE=2∠BAC, ∴.∠BOC=∠BDE, .·∠BDE+∠BDC=180° ∴∠BOC+∠BDC=180°， :四边形BOCD中，∠BOC+∠OCD+∠BDC+∠ABD=360°， .∠OCD=90° .OC⊥EC, :OC是⊙0的半径， .CE是OO的切线： ②227 3 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得∠ABD=90°，根据四边形的内角和是360°及∠BOC=2∠BAC, ∠BDE=2∠BAC,可得∠OCD=90°，进而即可证明结论； (2)根据HL证明RtAOBD≌RtAOCD,得BD=CD,根据勾股定理求出BE=V21,进而根据勾股定理建 立方程即可求得⊙0的半径， 【详解】(1)略 (2)解：∠ABD=∠OCD=90°， 在RtAOBD和RtAOCD中， OD=OD OB=OC' 3129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.RtAOBDS≌RtAOCD(HL), ∴BD=CD, .∠ABD=90°」 .∠DBE=180°-∠ABD=90°， .CD=2. .BD=2, DE=5, :Rt△BDE中，BE=VDE2-BD2=V5-22=√21， 在R1aOCE中，OC2+CE2=OE2, 即0C+(2+5)=(oB+V21, 解得0B=0C-2V27 3 2v21 即00的半径为3 6. 【答案】()解：EF与OO相切，理由如下： D 如图所示，连接OE, EF⊥CD, .∠EFA=90° 'AE平分∠CAB交⊙O于点E, ∴.∠CAE=∠EAB, .OA=OE. .∠OEA=∠OAE, .∠CAE=∠OEA, .OE∥CD, 4129 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0EF=90°， OE为半径， :.EF与⊙O相切； (2)12 【分析】(I)连接OE,由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到OE∥CD,再由平行线的性质得到 ∠OEF为90°，从而得到EF与O0相切； (2)过点O作OH⊥CD于点H,结合上一问可得四边形EFHO为矩形，设AF=x,OH=EF=2x,由 勾股定理列方程可求出AH的长，再由垂径定理即可求出AD的长 【详解】(1)略 (2)解：过点O作OH⊥CD于点H, B H D ∴.∠OHF=∠HFE=∠FEO=90° ∴.四边形EFHO为矩形， ∴.EF=OH,OE=FH, .0E=10. .FH=10 AF=x,OH=EF=2x,AH=10-x, .AH2+OH2=OA2, ∴.(（10-x)2+(2x)2=102, 解得x=4,x2=0(舍去)， AH=6, OH⊥AD .AD=2AH=12 ◆题型3切线的证明：无切点，作垂直，证半径 7. 【答案】(I)证明：如答图，作OE⊥AB于点E,连接OD,OA. 5129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AC,O为BC的中点， ∴.∠CAO=∠BAO ~AC与半圆O相切于点D, .OD⊥AC OE⊥AB, ..OD=OE 即OE为半径， ∴AB是半圆O的切线， (2)半圆0的半径是3 【分析】(1)先根据等腰三角形的性质得∠CA0=∠BA0,再根据切线的性质得OD⊥AC,然后根据角 平分线的性质定理得出OD=OE,则此题可证： (2)先说明△ABC是等边三角形，再求出∠PCO=30°，并根据直角三角形的性质求出PC=2OP=4,然 后根据勾股定理求出OC，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答。 【详解】(1)略 (2)解：AB=AC,∠BAC=60°」 ∴△ABC是等边三角形， ∴.∠BCA=60° :O为BC的中点， .AO⊥BC,AO平分∠BAC: :CP平分∠BCA, ∠PC0=30° 在Rt△COP中， OP=2, .PC=2OP=4. .0C=VPC2-0p2=2W5. 6129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC与半圆O相切于点D, .∠ODC=90° :∠0CD=60° .∠COD=30°. :CD=oC=5】 2 ∴0D=VOC2-CD2=3. 故半圆O的半径是3. 8. 【答案】(I)证明：如图，连接OE,过点O作OF⊥AD于点F ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC平分∠BAD :⊙0与AB相切于点E, .OE⊥AB 又：OF⊥AD, :.OE=OF, .OF是⊙0的半径， AD是⊙O的切线. D (2)v19 【分析】(I)连接OE,过点O作OF⊥AD于点F,根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质， 推出OF=OE,即可得证： (2)连接BD交AC于点G,证明△ADG≌△AOF,得到AG=AF=9,在R1a△AOF中，利用勾股定理求出 OF的长即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD交AC于点G,如图，则DG L AC,且G是AC的中点. 7129 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E .OA=10,OC=8, AC=18, .AG=9 由(1)知∠AF0=90°， .∠AFO=∠AGD=90° 又AD=AO,∠DAG=∠OAF △ADG≌△AOF, .AG=AF=9 在R1△AOF中，AO=10,AF=9 由勾股定理，得0F=V102-92=√9， 即⊙0的半径为V19 9. 【答案】(I)过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA D ,△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， .AO⊥BC,且AO平分∠BAC. :AB与⊙O相切于D, ∴.OD⊥AB OH⊥AC, ..OH =OD .OD是⊙0的半径 .OH也等于⊙0的半径， 8129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC是⊙O的切线. (2)①△EGF是等腰直角三角形，证明如下： EF是OO的直径 .∠EDF=90° :DG平分∠EDF, ∴.∠EDG=∠FDG=45° ..EG=FG ∴.EG=FG :.△EGF是等腰直角三角形. ②S阴影= 25π25 42· 【分析】(1)过点O作AC的垂线，记垂足为点H,因为AB与⊙0相切，所以O到AB的距离等于半径， 结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明O到AC的距离等于半径即可. (2)①因为EF是⊙O的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定∠EGF为直角，再结合角平分线的条 件得到弧EG和弧FG相等，所以对应弦EG=FG,据此判断三角形形状.②先在Rt△EDF中用勾股定理 求EF长度，得到OO的半径，再结合角平分线定义求出∠FDG度数，根据圆周角定理求出∠FOG的度数， 最后用扇形OGF的面积减去△OGF的面积得到阴影部分面积. 【详解】(1)略. (2)①略 ②连接0G, D B G ,在RtAEDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, EF=VDE2+DF2=V6+82=10, .⊙0的半径r=0E=OF=0G=5. .DG平分∠EDF, 9129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A∠FDG=)∠BDF=45. 21 .∠GOF=2∠FDG=90° 扇形0GF的面积：See= 360p×ar2=×r×51-25r 4 4 ”AOGF的面积：Sc *5x5=25 2X0GxOF-1 : 25π25 .S阴影= 42 ◆题型4直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10. 【答案】3 【分析】设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接D,E,F,易证四边形IECF 为正方形，在R1△ABC中，由勾股定理求出AB=15,再根据切线长定理即可求出r, 【详解】解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接D,E,F,如图所示. D E易得四边形 是正方形， IECE ..CE=CF=IE=r. 在RIAABC中， ·∠C=90°，BC=9,AC=12, ...AB=AC2+BC2 =15 由切线长定理，得AD=AF=AC-r,BD=BE=BC-P」 .AB=AD+BD..AB=AC-r+BC-r,15=12-r+9-r, 解得r=3, ∴.⊙1的半径为3， 11. 【答案】(1)2 10/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4-元 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，求不规则图形的面积. (1)连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,根据切线的性质得到OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,进而根据等面积 法求解即可： (2)由(1)知∠OFC=∠C=∠OEC=90°，可证四边形OFCE是矩形，根据OF=OE证明四边形OFCE 是正方形，进而可求阴影面积 【详解】(1)解：如图，连接OA,OB,OC,OD,OE,OF, B D A :⊙0与边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F, .OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC. SARC=S4BO+S4c0+SC8o, CB-OD+COF-OE ∴2×8x6=2x10r+)x8r+x6r: 1 1 1 1 2 2 2 r=2: (2)解：由(1)知∠OFC=∠C=∠OEC=90°， ∴四边形OFCE是矩形， ..OF=OE. ∴.四边形OFCE是正方形， .S阴影=S正方形OrCE-S形EOF =2x2-90mx22 360 =4-π. 12. 11/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ab 【答案】(1)r= a+b+c (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的. ab _a+b-c 理由：要证明a+b+e2, 只需证(a+b+c)(a+b-c)=2ab, 即证(a+b)}2-c2=2ab」 故只需证a2+2ab+b2-c2=2ab, 故即证d2+b2-c2, 又，△ABC为直角三角形，由勾股定理显然有a2+b2=c2, ab a+b-c 原等式成立，即 atb+c 2 【分析】(1)按照题目要求求解即可. (2)利用勾股定理证明两式相等即可. 【详解】(1) H 如图，连接OF,OD,OE, :⊙O为△ABC的内切圆，且点D、E、F分别为切点， .OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB .w+So+Suow=BCDO+AC.OE+B.FO 2 2 2 即)ab11,1 cr, 22 1 1 2ah=2(a+h+c)小r, 2 解得= ab a+b+c' (2)略. 12/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 13 【答案】(1)2cm ②36 cm 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是 解题的关键， (1)由切线长定理可知：AF=AE,BF=BD,CD=CE,设AF=AE=x,则BF=BD=5-x, EC=DC=6-x,根据BD+DC=BC=7,列方程求解即可； (2)先计算三角形的半周长5，再利用Sc=8”,代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可 求解出OD的长. 【详解】(I)解：△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, ∴AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm 4F=2cm,BD=5-x=5-2=3(cm),EC=6-x=6-2=4(cm), 则AF的长为2cm; (2)解：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长s-48+C+C4_5+7+6-9cm, 2 2 又SAABC=6V6cm2 .66=r.9, r=26 3, 2√6 则oD的长为3cm 14. 13/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)BD=6cm (2)⊙0的半径为2W3cm 3)4v3 -cm 3 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内 切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键： (I)由切线长定理可得BD=BE,AD=AF,CE=CF,设BD=BE=x,AD=AF=y,CE=CF=z,则有 x+y=10 y+z=14,进而求解即可： x+z=16 (2)连接OA,OB,OC,过点A作AH⊥BC于点H,由题意易得OD=OE=OF,设BH=cm,则 CH=(16-)m,然后根据勾股定理可得t=5,进而根据等积法可进行求解： (3)如(2)的解图，由(2)可知：AH=53cm,AB=10cm,⊙0的半径为2W3cm,然后可得 ∠ABH=60°，则有∠AOC=180°-∠0AC-∠OCA=120°，进而根据弧长计算公式可进行求解。 【详解】(1)解：，⊙0是△ABC的内切圆， :BD=BE,AD=AF,CE=CF BD=BE=x,AD=AF=y,CE=CF=z,AB=10cm,BC=16cm,CA=14cm, x+y=10 x=6 y+z=14,解得： y=4 x+z=16 z=10 ∴.BD=6cm: (2)解：连接OA,OB,OC,过点A作AH⊥BC于点H,如图所示： D HE C 由题意得：OD=OE=OF」 设BH=-1cm,则CH=(16-)cm, 在Rt△ABH中，由勾股定理可得：AH2=AB2-BH=100-12, 14/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得：AH=AC2-CH2=196-(16-)2, :100-2=196-(16-)}2, 解得：t=5, ·.AH=V196-(16-5)}=53cm, .weC-5.on+8we5.ce. CH-AB-OD+C-OF+CE-(AB+AC+RC)OD 16×5V3 ..OD= =2v3cm, 0+14+16 即⊙0的半径为2W3cm: (3)解：如(2)的解图： 由(2)可知：AH=53cm,AB=10cm,⊙0的半径为23cm, .sin∠ABH= AH3 AB 2 ∴∠ABH=60° .∠BAC+∠ACB=120°， :OA,OC分别平分∠BAC,∠ACB, a20ac-3B4C∠oc1=4cB, :∠0AC+∠0CA=)∠BAC+5∠ACB=60, ∴.∠A0C=180°-∠OAC-∠0CA=120° 120×π×2V54V5 ·A0,C0与00围成的劣弧的弧长为180 -cm 3 15. 【答案】(1)2 25S (2)r= a+b+c+d 【分析】(1)利用探究的结论，计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径； (2)若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为S,各边长分别为a,b,cd, 15/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利用四边形面积等于4个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式. 【详解】(1)解：52+12=132， ∴此三角形为直角三角形， :三角形的面积S=号×5x12=30. 2 2×30 5+12+13-2. (2)解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD,则 S=S.o4R+S.onc+S.ocp+S.OpA 1 AB.r+BC.r+ CD.r+DA 2 -a+bc+小r. ∴.r= a+b+c+d D B 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.D 4.B 5.c 二、填空题 6.2 16/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.117 8.24cm/24厘米 9.5 10.(5,1) (8099,1) 三、解答题 11. 【答案】(1)117.5° (2)6 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题 (1)根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论： (2)根据切线长定理，构建方程组解决问题即可· 【详解】(I)解：△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F, ∠D80-ABc,∠Dc0=5∠ACB, ∠D80+∠DC0-∠ABc+4CB=(∠ABc+∠ACB)=625, :在AB0C中，∠B0C=180°-（∠DB0+∠DC0)=180°-62.5°=117.5°； (2)解：⊙0是△ABC的内切圆， .AE=AF,BD=BF,CD=CE, 设AE=x,BD=y,CD=z, 又AB=13,BC=11,AC=10, x+y=13 .x+z=10 y+z=11 x=6 解得y=7」 z=4 .AF=6 12. 【答案】(1)见解析 17129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形.熟练掌握证明切线的方 法并使用面积相等法是解决本题的关键， (I)根据平行线的判定可得OC∥AD,再根据垂直即可证明： (2)先根据边长结合勾股定理可求解CE的长度，再由面积相等法即可求解. 【详解】(1)证明：连接OC,如图 D :AC平分∠DAB, .∠DAC=∠CAO, ..OA=OC. .∠OAC=∠AC0. .∠DAC=∠ACO, OC∥AD, .AD⊥CE, .OC⊥CE, .OC是半圆O的半径， .CE是半圆O的切线. (2)解：：AB=6,OB=BE, .'.OE=6,OA=OC=3 .在RtAOCE中，OC=3,OE=6. .CE=V0E2-0C2=V62-32=35, S-0CxCE-OExCF 即x3x35=x6xCF. 解得CF= 35 2· 13. 18/29 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析： (2)⊙0的半径是6. 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中， 一般先连接切点和圆心，再证明垂直：同时熟记切线垂直于经过切点的半径， (I)过O点作OE⊥CD于点E,先根据切线的性质得到OA⊥AD,再根据角平分线的性质可得OE=OA, 由OE是⊙0的半径，且OE⊥DC,即可作出判断： (2)过点D作DF⊥BC于点F,先根据切线的性质得到AB上AD,AB⊥BC从而可证得四边形ABFD是 矩形，根据矩形的性质可得AD=BF,AB=DF从而可得FC的长，再根据切线的性质求得DC的长，在 Rt△DFC中，根据勾股定理即可求得DF的长，进而即可得解. 【详解】(1)解：证明：过O点作OE⊥CD于点E, A D M 切于点A, B CN:AM⊙0 .OA⊥AD 又DO平分∠ADC, ..OE=OA, :0A为⊙0的半径， ∴.OE是⊙O的半径，且OE⊥DC, ∴.CD是⊙O的切线： (2)解：过点D作DF⊥BC于点F, A DM E 分别切 于点A,B, B F C N..AM BN ⊙0 .AB⊥AD,AB⊥BC, ∴.四边形ABFD是矩形， .AD=BF,AB=DF. 19/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AD=4,BC=9 .FC=9-4=5, AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E, .AD=DE,BC=CE .DC=AD+BC=4+9=13. 在Rt△DFC中， DF=VDC2-FC2=V132-52=12, .AB=DF=12, 01-4=6， 即⊙0的半径是6. 14. 【答案】(1)见解析 (2)MN=2√7 【分析】(I)连接OA,OD.由圆切线的定义得出OD⊥AB,由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 得出A0=B0=C0.再由等腰三角形三线合一即可得出答案. (2)过点O作OG⊥MN于点G,连接ON.设⊙0的半径为r,则OE=OF=r,OB=CF=r+l.先由勾 股定理定理得出r=4,再由垂径定理得出MG=NG,再根据矩形的判定和性质得出OG=AD=3,再根据 勾股定理得出GV, 再利用垂径定理求值即可， 【详解】(I)解：连接OA,OD」 A ◇M D B 与 相切， :AB⊙O .OD⊥AB 在Rt△ABC中，∠A=90°，BO=CO .∴.AO=BO=CO ∴.AD=BD. 20/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：过点O作OG⊥MN于点G,连接ON. 入 D B F 设⊙0的半径为r,则OE=OF=r,OB=OC=r+1, AB=6, .AD=BD=3 在Rt△OBD中， ∠ODB=90° ..BD2+OD2 =OB2. .32+r2=(r+102 解得：r=4. MN为⊙O的弦， ..MG=NG :∠A=∠ADO=∠AGO=90°， ∴.四边形ADOG为矩形. .OG=AD=3」 在Rt△OGN中， .∠OGN=90°. .GN=NO2-0G2=7 .MN=2√7」 15. 【答案】(I)∠DC0(答案不唯一) (2)见详解 4 315 【分析】(1)由角平分线的定义，即可求解： (2)由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得∠ACD=∠BOC,由同弧所对的圆周角相等得 21/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=∠ABD,结合平行线的性质得OC⊥CE,即可得证； BC 6 3 3 (3)由正弦函数得sin∠A= B10,n∠BCE=5,sm∠A=sm∠D-C5- CD5,结合勾股定理，即 可求解。 【详解】(1)解：CO平分∠ACD, ∴∠AC0=∠DCO, 故答案为：∠DCO;(答案不唯一) (2)证明：'CO平分∠ACD, ∴.∠ACD=2∠ACO」 OA=OC, .∴.∠OAC=∠ACO .∠BOC=∠OAC+∠ACO=2∠ACO .∠ACD=∠BOC, AD=AD .∠ACD=∠ABD. .∴∠BOC=∠ABD. .OC∥DB CE⊥DB, .OC⊥CE, .CE是⊙O的切线： (3)解：⊙0的半径为5， AB=10, AB是⊙O的直径， :∠ACB=90°， ..sin A=BC6 3 AB1051 ∠AC0+∠BC0=90°， OC⊥CE, .∠BCO+∠BCE=90°， ∴.∠BCE=∠ACO, .·∠A=∠ACO 22/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCE=∠A, sin∠BCE=3 .BE_3 BC 5, BE_3 65 解得：BE=18 , ∴CE=VBC2-BE2 BC=BC, ∠A=∠D, CE 3 ∴.sin∠A=sin∠D= 24 53 CD 5 解得：CD=8, ..DE =CD2-CE .BD=DE-BE 3218 55 =14 5 16. 【答案】(1)证明见解析 23129 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)5 (3)6√万 【分析】(I)由平行四边形的性质得BF∥CD,进而由CD⊥AB可得BF⊥AB,即可求证： (2)连接OC,设OC=OA=x,则OE=x-4,在R△CE0中利用勾股定理解答即可求解： (3)过点F作FM⊥CD交CD的延长线于点M,证明△FDM≌aBCE(AAS),可得FM=BE=6, DM=CE=26,即得CM=CD+DM=6N6,再根据勾股定理即可求解. 【详解】(I)证明：，四边形BCDF是平行四边形， BF∥CD, ,CD⊥AB, .BF⊥AB, :AB是⊙O的直径， ∴.BF是⊙O的切线： (2)解：连接0C,设0C=OA=x,则0E=x-4, CD⊥AB, :CE=DE=)CD=26,∠CE0=90° CE2+0E2-0C2, 即26)+(x-4)}=x2, 解得：x=5, .⊙0的半径为5： 夕 A (3)解：过点F作FM⊥CD交CD的延长线于点M, 24/29 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 D ---M A .CD⊥AB,FM⊥CD, .∠M=∠BEC=90°， :四边形BCDF是平行四边形， .FD=BC,FD∥BC. .∠FDM=∠BCE .△FDM≌△BCE(AAS) ∴.FM=BE,DM=CE=2V6 ..CM=CD+DM=46+26=66. .⊙0的半径为5， .AB=10 .BE=AB-AE=10-4=6, .FM=6」 .CF=VCM2+FM2=V66)}+6=6N万. 17. 【答案】(1)见解析 (2)2V3 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角 三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键： (1)可证∠ADB=∠ACB=90°，则由HL定理可证明结论： (2)连接OC,根据垂径定理可得AD=CD,根据全等三角形的性质可得AD=BC,从而证明△OBC是 等边三角形，由直角三角形的性质即可求解： (3)根据△OBC是等边三角形，可得∠OCB=60°，得出∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°，即可证明. 【详解】(1).证明：AB是⊙0的直径， 25/29 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB=∠ACB=90°」 .AB=AB,BD=AC, ∴.RtADB≌RtABCA(HL): (2)解：连接OC,DC, D B .OD⊥AC, .AD=DC, .AD=DC, .△ADB≌△BCA, .AD=BC. .AD=DC=BC, ∠AOD=∠COD=∠BOC=60°， ..OB=OC, ∴△OBC是等边三角形， .∠ABC=60°， AB=4, .4C-AB-simLABC4x (3)证明：：△OBC是等边三角形， QBC=0B=AB=2,/008=600 2 .BC=BP, .∠BCP=∠P, .∠ABC=60°， .∠BCP+∠P=2∠BCP=60°， ∴.∠BCP=30° .∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°， 26/29 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC⊥PC, .OC是⊙0的半径， ∴PC是⊙O的切线. 18. 【答案】(1)见解析 B6: 【分析】(1)先根据坐标可得：⊙O的半径为1，如图1，过点O作OM⊥BC于M,根据勾股定理和面积 法可得OM=1,即可得结论： (2)如图2，连接OD,OE,过点D作DG1x轴于G,过点E作EF⊥x轴于F,证明 a+b① 3 ,得 、可得3 ，并结合勾股定理即可解 △DGO≌aOFE(AAS) DG=OF=a OG=EF=m 3m+b② 答 【详解】(1)证明：：点A(0,-), .OA=1,即⊙0的半径为1， 如图1，过点O作OM⊥BC于M, B大 图1 时，y=-5425 当636 3 x+- 3 当x=0时，y=2 23 点C的坐标为 0, 3 0c=23 3’ 27/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当，=0时，-5+2V5 3t =0, 3 .x=2, ∴点B的坐标为(2,0)， .OB=2, 由勾股定理得：BC=VOC2+OB .-x0CxB-CxOM 2 125 14 23 ×2= -×OM, 23 .OM=1, 直线BC与⊙0相切： (2)解：如图2，连接OD,OE,过点D作DG⊥x轴于G,过点E作EF⊥x轴于F, .∠DG0=LOFE=90°， .∠EOF+∠OEF=90°， 图2 设OF=a,EF=m, .∠DAE=45°， .∠D0E=90°， ∴.∠EOF+∠DOG=90°， .∠OEF=∠DOG, ..OD=OE. .△DGO≌aOFE(AAS). ∴.DG=OF=a,OG=EF=m, 28/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D(-m,a）,E(a,m）, “点D,B在直线y=-5x 3x+b(b>0)上， ms、V a+b① 3 a= 3m+b② 把①代入②得：a=55】 33a+b+b, 3+5)b ∴.a= 4 m=-53+5b+h-356 34 4 .a2+m2=12」 ee b=± 6 3 b>0, :b6 · 29/29