专题08 圆重难点十三大题型突破-2026-2027学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题（人教版）

专题08 圆重难点十三大题型突破 【题型1：垂径定理及应用】 【题型2:点与圆的位置关系】 【题型 3:直线与圆的位置关系的判定】 【题型 4:切线判定与性质综合】 【题型 5:圆周角定理】 【题型 6:圆内接四边形】 【题型 7:三角形的内切圆) 【题型 8:三角形的外接圆】 【题型 9:正多边形与圆的综合】 【题型 10:弧长和扇形的面积】 【题型 11：圆锥的侧面积】 【题型 12:不规则图形的阴影面积】 【题型 13:圆锥侧面最短路径问题】 【题型1：垂径定理及应用】 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 2．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【答案】C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 3．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 4．如图1所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑．如图2是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； 【答案】(1) (2)圆的半径为 【分析】（1）结合题意，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）连接，由题意得，于点，则设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由题意得，． 由（1）知，于点， ． 设圆的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 圆的半径为． 【题型2:点与圆的位置关系】 5．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 6．已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 7．已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 8．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【题型 3:直线与圆的位置关系的判定】 9．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【详解】解：的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切. 10．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 11．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 【题型 4:切线判定与性质综合】 12．如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 【答案】(1)证明：如答图，作于点E，连接，． ，O为的中点， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， 即为半径， 是半圆O的切线． (2)半圆O的半径是3 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得出，则此题可证； （2）先说明是等边三角形，再求出，并根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等边三角形， ． 为的中点， ，平分． 平分， ． 在中， ， ， ． 与半圆O相切于点D， ． ， ， ， ． 故半圆O的半径是3． 13．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 14．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， 是的切线， ∴， 又∵， ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接，得到，再由切线得到，结合得到，然后得到，最后得到，然后得证结果； （2）过点作于点，先通过，，求得， ，然后设半径为，进而表示出、的长，再利用勾股定理列出关于的方程求解的值，最后得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得：， ． 【题型 5:圆周角定理】 15．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 16．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 17．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点D为优弧上一点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及正三角形的判定和性质可得，再根据圆周角定理得出答案即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴． 19．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【题型 6:圆内接四边形】 20．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 21．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 22．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 23．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【题型 7:三角形的内切圆】 24．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 25．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 26．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 27．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 【题型 8:三角形的外接圆】 28．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 29．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 30．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 31．图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物——金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜的图片．铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为了找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O，连接，，，过点C作的平行线交过点A的切线于点D，量得，，． ①求证：； ②求铜镜的半径．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心． (2)①证明：如图，连接并延长交于点E． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． ∴． ∴垂直平分． ∴； ②铜镜的半径约为 【分析】（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条线段垂直平分线的交点O，根据圆的定义可得点O即为求作； （2）①连接并延长交于点E．先根据圆的切线性质得到，再证明四边形为平行四边形得到，则可得到，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可证得结论； ②先利用垂径定理和勾股定理求得，．连接，设铜镜的半径为，利用勾股定理列方程求解r值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵，， ∴． 在中，． 连接，如图，设铜镜的半径为， 则， 在中，， ∴，整理得， ∴，解得． 答：铜镜的半径约为． 【题型 9:正多边形与圆的综合】 32．正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵半径为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 正方形的边长是． 33．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 34．如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 35．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 【题型 10:弧长和扇形的面积】 36．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 37．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 38．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 39．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小圆半径为厘米，则大圆半径为厘米， 利用垂径定理结合勾股定理列方程求出两圆半径， 利用三角函数可求出，则阴影部分半径和圆心角都可知，计算阴影部分对应的弧长，利用圆锥底面圆周长=侧面展开弧长求出底面半径． 【详解】解：连接，， ∵刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q， ∴，， ∵直尺两边平行， ∴， 则三点共线， 设小圆半径为厘米， ∵刻度尺宽度为厘米， 则大圆半径厘米， 由垂径定理得： 厘米， 在中，由勾股定理： ， 即 ∴厘米，大圆半径厘米， 在中， ∴， ∴， ， 则阴影部分对应的圆心角为， 则阴影部分（扇形）的弧长为： 厘米 设圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图与底面圆的关系，垂直的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 40．已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式和扇形面积公式，熟练掌握弧长和扇形面积公式是解题关键． 设扇形的半径为．利用弧长公式构建方程求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为根据题意得： ， ， ， 故选：D． 41．一根截面是圆形的钢管放在形架内，其横截面如图所示，形架的两边与相切，钢管的半径是，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式．先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和为可计算出，然后根据弧长公式求解． 【详解】解：形架的两边与相切， ，， ， ， 的长度． 故选：A． 【题型 11：圆锥的侧面积】 42．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆锥侧面积为. 43．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 44．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，关键是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的相等关系． 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用此关系列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 【题型 12:不规则图形的阴影面积】 45．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“所对的直角边是斜边的一半”易得，利用勾股定理可得，再根据旋转的性质，得，，，最后根据扇形面积公式和“”，计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转可得，，， ． 46．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 47．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，则，由矩形的性质可得，，，，，然后求出，，，，然后通过阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ． 48．如图所示的扇形中，为圆上一点，连接交于点，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【题型 13:圆锥侧面最短路径问题】 49．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 50．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 【答案】cm 【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度． 51．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆重难点十三大题型突破 【题型1：垂径定理及应用】 【题型2:点与圆的位置关系】 【题型 3:直线与圆的位置关系的判定】 【题型 4:切线判定与性质综合】 【题型 5:圆周角定理】 【题型 6:圆内接四边形】 【题型 7:三角形的内切圆) 【题型 8:三角形的外接圆】 【题型 9:正多边形与圆的综合】 【题型 10:弧长和扇形的面积】 【题型 11：圆锥的侧面积】 【题型 12:不规则图形的阴影面积】 【题型 13:圆锥侧面最短路径问题】 【题型1：垂径定理及应用】 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 3．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 4．如图1所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑．如图2是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； 【题型2:点与圆的位置关系】 5．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 6．已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 7．已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 8．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【题型 3:直线与圆的位置关系的判定】 9．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 10．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 11．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【题型 4:切线判定与性质综合】 12．如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径． 13．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 【题型 5:圆周角定理】 15．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 17．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点D为优弧上一点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 19．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 6:圆内接四边形】 20．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 21．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 22．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 7:三角形的内切圆】 24．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 25．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 26．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【题型 8:三角形的外接圆】 28．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 29．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 30．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 31．图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物——金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜的图片．铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为了找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O，连接，，，过点C作的平行线交过点A的切线于点D，量得，，． ①求证：； ②求铜镜的半径．（结果精确到．参考数据：） 【题型 9:正多边形与圆的综合】 32．正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 33．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 35．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【题型 10:弧长和扇形的面积】 36．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 37．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 38．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 39．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 40．已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 41．一根截面是圆形的钢管放在形架内，其横截面如图所示，形架的两边与相切，钢管的半径是，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型 11：圆锥的侧面积】 42．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 43．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 44．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【题型 12:不规则图形的阴影面积】 45．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 46．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 47．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 48．如图所示的扇形中，为圆上一点，连接交于点，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型 13:圆锥侧面最短路径问题】 49．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 50．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 51．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $