专题08 切线长定理、三角形的内切圆十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以切线长定理和三角形内切圆为核心，通过十大题型系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼“定理应用-公式推导-综合迁移”三阶解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线长定理应用|1典例+3变式|切线长相等转化线段，勾股定理计算，标等量线段|从定理定义到推理证明，形成“性质-计算-证明”递进| |三角形内切圆|1典例+3变式/题型|切线长公式求长度，内心性质求角度，S=½r(a+b+c)求面积及最值|从基础量计算到综合最值，结合直角三角形特殊公式| |综合应用|1典例+3变式/题型|圆外切四边形对边和相等，内外心性质综合，海伦公式辅助|从单一图形到多图形综合，衔接外接圆形成知识网络|

专题08 切线长定理、三角形的内切圆十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用切线长定理求解 题型02 利用切线长定理证明 题型03 由三角形的内切圆求长度 题型04 由三角形的内切圆求角度 题型05 由三角形的内切圆求面积 题型06 由三角形的内切圆求最值 题型07 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 题型08 圆外切四边形的计算 题型09 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用 ▌题型01 利用切线长定理求解 1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2. 几何符号：若切于，则，平分。 3. 常用推论：垂直平分切点连线。 4. 计算工具：勾股定理、线段等量代换，多条切线时反复使用切线长相等转化线段。 5. 做题关键：看到从同一点出发的多条切线，立刻标相等线段。 【典例1】如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【变式1-1】如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【变式1-2】如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． ▌题型02 利用切线长定理证明 1. 定理核心：切线长相等、外点与圆心连线平分切线夹角。 2. 可证明结论：线段相等、角相等、直线垂直、角平分线。 3. 常用搭配：全等三角形、等腰三角形性质。 4. 典型模型：圆外一点引双切线，形成等腰（）。 5. 思路：先写出切线长相等，再推导角或边的关系，不要跳过定理条件。 【典例2】【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【变式1-3】如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【变式1-3】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. （1）证明：是的切线. （2）如图2，连接，，求证：. ▌题型03 由三角形的内切圆求长度 1. 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心叫内心，内心是三条角平分线交点，内心到三边距离相等，距离等于内切圆半径。 2. 切线长推论：三边，，，内切圆与三边切点把三边分成三组相等线段： 设从顶点引出的切线长依次为， 3. 解题思路：直接套用上面切线长公式，列方程组求切点分割出来的线段长。 【典例3】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【变式1-2】如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-3】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． ▌题型04 由三角形的内切圆求角度 1. 内心性质：内心是三个内角角平分线交点，平分三角形的三个内角。 2. 重要角度公式：若是内心，则 3. 配套工具：三角形内角和，角平分线定义。 4. 易错：内心≠外心；外心是垂直平分线交点，不要把内外心公式记混。 【典例4】在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026九年级下·全国·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【变式1-3】如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． ▌题型05 由三角形的内切圆求面积 1. 三角形内切圆面积公式： ：三角形面积；三边长；内切圆半径；为周长，也写作。 2. 使用场景：已知三边求；已知面积周长求；已知和周长求面积。 3. 变形：，非常高频，求内切圆半径直接用。 【典例5】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【变式1-1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 【变式1-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． ▌题型06 由三角形的内切圆求最值 1. 核心公式依旧：，内切圆半径由面积、周长共同决定。 2. 常见考法：三角形一边固定，另外两边变化，求内切圆半径的最大 / 最小值。 3. 思路： ①固定底边，分析三角形面积、周长的变化； ②代入，转化成函数或者几何最值（将军饮马、二次函数、等腰取最值）； ③注意约束条件：三角形三边关系。 【典例6】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【变式1-2】如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是______． 【变式1-3】如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    ▌题型07 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 1. ，直角边，斜边。 2. 直角三角形内切圆半径专用公式： 3. 记忆：直角三角形内切圆半径 = 两直角边之和减斜边再除以 2。 4. 搭配：勾股定理，经常联立方程求边长、半径。 【典例7】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【变式1-1】设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径 是______． 【变式1-2】如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． ▌题型08 圆外切四边形的计算 1. 圆外切四边形定义：四边形四条边都和同一个圆相切。 2. 圆外切四边形重要性质：对边之和相等： 若四边形外切于圆，则。 3. 做题思路： ①直接使用对边和相等求边长； ②结合切线长定理，四组切线长两两相等； 4. 注意区分：圆内接四边形是对角互补；圆外切四边形是对边之和相等，不要混淆。 【典例8】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．0.5π 【变式1-1】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在上，若，则的直径为 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 【变式1-3】（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． ▌题型09 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 1. 通用万能公式（任意三角形）： 2. 半周长记 ，公式简写：。 3. 结合海伦公式：，已知三边可先求面积，再求内切圆半径。 4. 适用：普通锐角、钝角三角形；直角三角形是它的特殊情况。 【典例9】若四边形的对角线，相交于O，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为3，4，6，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 【变式1-1】如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【变式1-2】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． ▌题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用 1. 分清两个圆心： · 内心（内切圆圆心）：角平分线交点；到三边距离相等，距离为内切半径；只和内角有关。 · 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点；到三顶点距离相等，距离为外接圆半径。 2. 常用公式：内切圆：。 3. 常见考法：同时求；求与比值；角度、线段混合计算。 4. 辅助线：内心连顶点得角平分线；外心连顶点得到外接圆半径。 5. 直角三角形特殊：外心在斜边中点，，同时可以用。 【典例10】如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【变式1-1】 （25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 1 / 2 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此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：连接， ∵是直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． (2) 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵当以点为顶点的四边形是正方形时，， ∴是直角三角形， 由（1）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可． （）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键． 【变式1-3】 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． ▌题型03 由三角形的内切圆求长度 【典例3】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． ▌题型04 由三角形的内切圆求角度 1. 内心性质：内心是三个内角角平分线交点，平分三角形的三个内角。 2. 重要角度公式：若是内心，则 3. 配套工具：三角形内角和，角平分线定义。 4. 易错：内心≠外心；外心是垂直平分线交点，不要把内外心公式记混。 【典例4】在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】/40 【变式1-3】 【答案】 115 80 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可； （2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴ ； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴此时， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点． ▌题型05 由三角形的内切圆求面积 【典例5】【答案】C 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】． ▌题型06 由三角形的内切圆求最值 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】4πcm2． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型07 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 【典例7】【答案】A 【变式1-1】【答案】2 【变式1-2】 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． ▌题型08 圆外切四边形的计算 【典例8】【答案】C． 【变式1-1】【答案】16-8． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1)3 (2) 证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）略 ▌题型09 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 【典例9】【答案】A 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】 ▌题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用 【典例10】 【答案】(1) (2) (3)， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 略 【变式1-1】 【答案】B 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 切线长定理、三角形的内切圆十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用切线长定理求解 题型02 利用切线长定理证明 题型03 由三角形的内切圆求长度 题型04 由三角形的内切圆求角度 题型05 由三角形的内切圆求面积 题型06 由三角形的内切圆求最值 题型07 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 题型08 圆外切四边形的计算 题型09 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用 ▌题型01 利用切线长定理求解 1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2. 几何符号：若切于，则，平分。 3. 常用推论：垂直平分切点连线。 4. 计算工具：勾股定理、线段等量代换，多条切线时反复使用切线长相等转化线段。 5. 做题关键：看到从同一点出发的多条切线，立刻标相等线段。 【典例1】如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 【变式1-1】如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 【变式1-2】如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理得，得，证明是等边三角形，得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又、是的切线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【变式1-3】如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 利用切线长定理求出的长，过点D作于点F，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ▌题型02 利用切线长定理证明 1. 定理核心：切线长相等、外点与圆心连线平分切线夹角。 2. 可证明结论：线段相等、角相等、直线垂直、角平分线。 3. 常用搭配：全等三角形、等腰三角形性质。 4. 典型模型：圆外一点引双切线，形成等腰（）。 5. 思路：先写出切线长相等，再推导角或边的关系，不要跳过定理条件。 【典例2】【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【答案】(1) (2) 根据题意， 如图，连接， 可得 ， 又 是的切线 ． 【分析】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出． （2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ． 结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证． 【详解】（1）是的切线 ． （2）略 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1) 证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； (2) 证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1) 证明：当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 【变式1-3】如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． (2) 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵当以点为顶点的四边形是正方形时，， ∴是直角三角形， 由（1）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可． （）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键． 【变式1-3】如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. （1）证明：是的切线. （2）如图2，连接，，求证：. 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． ▌题型03 由三角形的内切圆求长度 1. 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心叫内心，内心是三条角平分线交点，内心到三边距离相等，距离等于内切圆半径。 2. 切线长推论：三边，，，内切圆与三边切点把三边分成三组相等线段： 设从顶点引出的切线长依次为， 3. 解题思路：直接套用上面切线长公式，列方程组求切点分割出来的线段长。 【典例3】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 【变式1-1】等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 【变式1-2】如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答， 【详解】∵内切于， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． ▌题型04 由三角形的内切圆求角度 1. 内心性质：内心是三个内角角平分线交点，平分三角形的三个内角。 2. 重要角度公式：若是内心，则 3. 配套工具：三角形内角和，角平分线定义。 4. 易错：内心≠外心；外心是垂直平分线交点，不要把内外心公式记混。 【典例4】在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（2026九年级下·全国·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．先利用切线的性质得，则根据四边形的内角和得到，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：圆是的内切圆， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-2】如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】/40 【分析】根据切线长定理得到，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【变式1-3】如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 【答案】 115 80 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可； （2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴ ； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴此时， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点． ▌题型05 由三角形的内切圆求面积 1. 三角形内切圆面积公式： ：三角形面积；三边长；内切圆半径；为周长，也写作。 2. 使用场景：已知三边求；已知面积周长求；已知和周长求面积。 3. 变形：，非常高频，求内切圆半径直接用。 【典例5】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键． 如图所示，连接， ， ，，，，由三角形内切圆性质得到，，，，然后求出，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，， ∵是的内切圆且半径为2， ∴，，， ∵的周长为26， ∴ ． 故选：C． 【变式1-1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可． 【详解】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴CD过点O，CD⊥AB， ∴CDAB＝2， ∴S△ABCAB•CD＝4， 设内切圆半径为r， ∴S△ABC（AB+BC+AC）r＝4， ∴r， ∴内切圆面积＝π×（）2π． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【变式1-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【答案】． 【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求． 【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA． ∵AB＝CB，AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴AC⊥BD，AF＝FC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°． ∴∠ABC＝60°． ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°． ∵CD＝AD＝1， ∴BC． ∴AB＝BC＝AC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴AFAC． ∵O为，△ABC的内心， ∴∠OAF∠BAC＝30°． ∴OF＝． ∴△ABC的内切圆面积为π•． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键． ▌题型06 由三角形的内切圆求最值 1. 核心公式依旧：，内切圆半径由面积、周长共同决定。 2. 常见考法：三角形一边固定，另外两边变化，求内切圆半径的最大 / 最小值。 3. 思路： ①固定底边，分析三角形面积、周长的变化； ②代入，转化成函数或者几何最值（将军饮马、二次函数、等腰取最值）； ③注意约束条件：三角形三边关系。 【典例6】如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【答案】4πcm2． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【解答】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 【变式1-2】如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．设的半径为，利用面积法结合内切圆的性质求得，连接，，作于点，利用垂径定理结合勾股定理求得，过点F作交于点M，过点G作交于点N，求得，当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，设的半径为，设与内切圆的切点分别为，连接，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 连接，，作于点， ∴，， ∵点、是的三等分点的其中两点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题可知， 过点F作交于点M，过点G作交于点N，如图， 则 ， 当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值， 此时共线，即为直径的长， ∴，即为面积最大值． 【变式1-3】如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，求出的值即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值．    点的坐标为， 点的坐标为， ∴，， ， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，， 设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最小值时点P的位置． ▌题型07 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 1. ，直角边，斜边。 2. 直角三角形内切圆半径专用公式： 3. 记忆：直角三角形内切圆半径 = 两直角边之和减斜边再除以 2。 4. 搭配：勾股定理，经常联立方程求边长、半径。 【典例7】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【分析】根据是的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据，设半径为，得到解方程即可 ． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形． 设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 【变式1-1】设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径 是______． 【答案】2 【分析】先解一元二次方程得到直角三角形两条直角边的长，再由勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形内切圆半径公式计算结果． 【详解】解：解方程． 因式分解得． 解得，． 即的两条直角边的长分别为和． 由勾股定理得，的斜边长为． 设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长． 代入得． 【变式1-2】如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． ▌题型08 圆外切四边形的计算 1. 圆外切四边形定义：四边形四条边都和同一个圆相切。 2. 圆外切四边形重要性质：对边之和相等： 若四边形外切于圆，则。 3. 做题思路： ①直接使用对边和相等求边长； ②结合切线长定理，四组切线长两两相等； 4. 注意区分：圆内接四边形是对角互补；圆外切四边形是对边之和相等，不要混淆。 【典例8】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．0.5π 【答案】C． 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论． 【详解】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F， 连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EOM＝∠FON， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM＝NF， ∴CM+CN＝CE+CF＝4， ∴OE＝2， ∴⊙O的面积为4π， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式1-1】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在上，若，则的直径为 ． 【答案】16-8． 【分析】连接AC，由题意可知AC过点O，M，且AC=AB，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示,连接AC，过点O作OP⊥AD于P,过点O作OQ⊥AB于Q,则 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC=AB，OA=OP,AD=BC． ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内，且． ∴AH=FC． 设的直径为x，则 FC=AH=x． ∵， ∴AB=BC=x+4．MC=x，AM= ∴AC= ∵AC=AB， ∴=（x+4） 解得：x=16-8． 即的直径为16-8． 故答案为：16-8． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关 键． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，准确做出辅助线求解是解题的关键． 连接，，，，，，，，根据已知条件求出，再计算4个三角形面积即可； 【详解】如图，连接，，，，，，，， 圆与四边形各边相切， ，，，， ， ，，， ， 又圆与四边形各边相切， ，，，， 圆的半径为2， ， ． 故答案． 【变式1-3】（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2) 证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）略 ▌题型09 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系 1. 通用万能公式（任意三角形）： 2. 半周长记 ，公式简写：。 3. 结合海伦公式：，已知三边可先求面积，再求内切圆半径。 4. 适用：普通锐角、钝角三角形；直角三角形是它的特殊情况。 【典例9】若四边形的对角线，相交于O，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为3，4，6，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，，，，的周长为L，分别表示出四个三角形的面积，再根据由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得，进而可得，由此列出方程，即可解出． 【详解】解：设的内切圆半径为，，，，的周长为L， 如图，是的内切圆，切点分别为，，，则， 由切线长定理可知：，，，， ，，，，，， ∴， 同理：，，，    由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得：， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、等高三角形面积之比等于对应的底之比的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、等高三角形面积之比等于对应的底之比是解答本题的关键． 【变式1-1】如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，且，则的周长为（   ） A．32 B．30 C．28 D．26 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 【变式1-2】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． ▌题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用 1. 分清两个圆心： · 内心（内切圆圆心）：角平分线交点；到三边距离相等，距离为内切半径；只和内角有关。 · 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点；到三顶点距离相等，距离为外接圆半径。 2. 常用公式：内切圆：。 3. 常见考法：同时求；求与比值；角度、线段混合计算。 4. 辅助线：内心连顶点得角平分线；外心连顶点得到外接圆半径。 5. 直角三角形特殊：外心在斜边中点，，同时可以用。 【典例10】如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 略 【变式1-1】 （25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1) 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【变式1-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $